如何學習微積分

學習數學,就像小孩子長大的過程一樣,並無捷徑可尋,完全是經驗的累積。

因此,要瞭解數學、領會數學,可把數學當語言、當工具,那花時間思考是必備的條件。

微積分的主要內容:

  • 由極限觀念的確立,而討論連續函數的性質。
  • 討論速度、加速度等觀念。
  • 求函數圖形所圍的面積。
  • 討論無窮級數的收發散問題。

  • 討論多變數函數的偏導數、多重積分等。

微積分基本定理

發展歷史在教學上

應用與啟發

微積分的發展過程不同於一般微積分教材中先教微分後教積分的次序模式, 而是積分概念的發展先於微分概念。

積分學的概念溯源自古希臘探求面積、體積與弧長的努力。

而微分學則主要導因於十七世紀計算切線斜率與瞬間速率的需求。

早在十七世紀初, 義大利數學家托里契里 (Evangelista Torricelli, 1608∼1647) 已經認識到廣義拋物線的微分與積分運算是互逆的。 托里契里的結果以現今的符號可以表示如下:

\frac{d}{dx}\int^{x}_{0}x^{n}dx=\frac{d}{dx}(\frac{x^{n+1}}{n+1})=x^n
ddx0xxndx=ddx(xn+1n+1)=xn\frac{d}{dx}\int^{x}_{0}x^{n}dx=\frac{d}{dx}(\frac{x^{n+1}}{n+1})=x^n
\text{其中n為自然數}
n\text{其中n為自然數}

Evangelista Torricelli

1608年-1647年

牛頓與萊布尼茲

關於微積分基本定理的發現

Isaac Newton

1643年-1727年

Gottfried Wilhelm Leibniz

1646年-1716年

微積分的三個發展階段

一. 微積分的前驅工作

文藝復興以來自然科學的蓬勃發展, 到了十七世紀開始進入綜合突破的階段。 這些發現所面臨的數學困難, 最後匯總成四個核心問題, 並最終導致微積分的產生。

四個問題分別為:

1. 運動中速度、加速度與距離之間的互求問題;
2. 曲線求切線的問題;
3. 求函數的極大值、 極小值問題;
4. 如何計算長度、 面積、 體積與重心等問題。

二. 微積分的創立

微積分基本定理的建立標誌著微積分的誕生, 這是 Newton 與 Leibniz 的功勞, 是他們創立了微積分。

三. 微積分的嚴格化和外微分形式的建立

微積分的創立,進一步發展數學的天地。由於微積分解決問題的特殊能力, 數學家們致力於微積分的多種多樣的應用, 於是建立了不少以微積分方法為主的分支學科, 如常微分方程、偏微分方程、 積分方程、 變分法等等, 因而形成了數學的三大分支之一的分析。

應用微積分方法於幾何上, 開拓一個新的幾何分支—微分幾何; 應用於力學上, 就有理論力學; 應用於天文上就有了天體力學等等。

常微分方程、偏微分方程及微分幾何現在也已成為大學數學的基礎課。

以微積分的方法

求四邊形面積公式

三角形可被三個邊長完全確定,

但四邊形則不行。

可利用海龍公式以三角形的三個邊長來計算三角形的面積。

至於四邊形求面積的公式, 不能只用四個邊長,還要加上頂角的角度,計算的公式由 Bretschneider 在1842年提出。

\Delta^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd cos^2(\frac{\alpha+\gamma}{2})
Δ2=(sa)(sb)(sc)(sd)abcdcos2(α+γ2)\Delta^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd cos^2(\frac{\alpha+\gamma}{2})

Text

Carl Anton Bretschneider, 1808-1878

以積分計算

球面三角形的面積

所謂球面三角形, 是指在球面上以測地線 (大圓的一部份) 為三邊所圍成的三角形。

如下圖, O是球心, A、B、C 是三角形的三個頂點。

其中圓弧AB、BC、CA 均為大圓的一部份,為球面△ABC的邊。

\text{將球心置於原點,並以}\theta,\varphi\text{將單位球面參數化,}
,θ,φ,\text{將球心置於原點,並以}\theta,\varphi\text{將單位球面參數化,}
\theta\text{代表經度,}\frac{\pi}{2}-\varphi\text{代表緯度,則有}
θ,π2φ,\theta\text{代表經度,}\frac{\pi}{2}-\varphi\text{代表緯度,則有}
x=sin\varphi cos\theta
x=sinφcosθx=sin\varphi cos\theta
y=sin\varphi sin\theta
y=sinφsinθy=sin\varphi sin\theta
z=cos\varphi
z=cosφz=cos\varphi
x^2+y^2+z^2=1
x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1

為了簡化積分, 我們只考慮直角三角形 。

將 A 置於北極, 圓弧 AC在 xz 平面, B 點的 y 坐標大於0, ∠C = π/2,如下圖所示

C=(sin\varphi_0,0,cos\varphi_0)
C=(sinφ0,0,cosφ0)C=(sin\varphi_0,0,cos\varphi_0)
B=(sin\varphi_1cosA,sin\varphi_1sinA,cos\varphi_1)
B=(sinφ1cosA,sinφ1sinA,cosφ1)B=(sin\varphi_1cosA,sin\varphi_1sinA,cos\varphi_1)
A=(0,0,1)
A=(0,0,1)A=(0,0,1)
\Delta ABC=\int^{A}_{\theta=0}\int^{?}_{\varphi=0}sin\varphi d\varphi d\theta
ΔABC=θ=0Aφ=0?sinφdφdθ\Delta ABC=\int^{A}_{\theta=0}\int^{?}_{\varphi=0}sin\varphi d\varphi d\theta
\text{計算後得到}cot\varphi=-\frac{l}{n}cos\theta \text{代入上式}
cotφ=lncosθ\text{計算後得到}cot\varphi=-\frac{l}{n}cos\theta \text{代入上式}
\Delta ABC=A+cos^{-1}(\frac{-lsinA}{\sqrt{l^2+n^2}})-\frac{\pi}{2}
ΔABC=A+cos1(lsinAl2+n2)π2\Delta ABC=A+cos^{-1}(\frac{-lsinA}{\sqrt{l^2+n^2}})-\frac{\pi}{2}
=A+B-\frac{\pi}{2}
=A+Bπ2=A+B-\frac{\pi}{2}
=A+B+C-\pi
=A+B+Cπ=A+B+C-\pi
(C=\frac{\pi}{2})
(C=π2)(C=\frac{\pi}{2})