Cálculo I

(com Pokémons)

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#HumanisingScience #EuRuKo @hannelita

Cálculo

༼ つ ◕_◕ ༽つ༼ つ ◕_◕ ༽つ

Why Pokémon?

Usually people like it or have nothing against it

Good analogies

Easy to understand

Diversity and acceptance

Pré-Cálculo

Cálculo

Mais poderoso

Um pouco mais hostil

Aumento

Distância

Aumento

Distância

Se Onix fosse um gráfico

Se Onix fosse um gráfico

A

B

Qual a inclinação da curva?

Qual a área abaixo desse trecho?

Qual a distância entre A e B?

Pense num algoritmo recursivo e continue ampliando.

Precisamos analisar melhor esses trechos das funções

O que acontece quando apertamos A?

Isso é o esperado! 

O mesmo ocorre para funções

f(x) = 3x+1
f(x)=3x+1f(x) = 3x+1
f(x) = 3x+1
f(x)=3x+1f(x) = 3x+1

O que esperamos se nos aproximarmos de x=2?

f(x) = 3x+1
f(x)=3x+1f(x) = 3x+1
x=1,8; x=1,9; x=1,99
x=1,8;x=1,9;x=1,99x=1,8; x=1,9; x=1,99
x=2,1; x=2,05; x=2,001
x=2,1;x=2,05;x=2,001x=2,1; x=2,05; x=2,001

Esperamos um resultado que se aproxima de 7.

E se o gráfico tivesse um salto em x=2?

O limite não muda!

Em um problema sobre limites, nunca temos x exatamente igual a 2.

De volta ao GIF

O que acontece se nado pela esquerda?

Mas nesse caso:

(pokémon Gold/Silver)

Aproximar-se do Farfetch'd pela direita ou pela esquerda faz diferença!!

Há funções em que isso também ocorre!

Qual o limite p/ x se aproximando de 2? Hmm... 

Pela esquerda

Pela direita

Vamos à definição formal

TL;DR: O limite existe para um valor se:

  • Limite pela esquerda existe
  • Limite pela direita existe
  • Limite pela esquerda = Limite pela direita

Um extra sobre "descontinuidade"

Por que tivemos que dar uma olhada em polinômios?

(os verdadeiros problemas sobre limites estão aqui)

0/0
0/00/0

Alguns casos

  • Teorema do confronto
  • Limites no infinito
  • Assíntotas horizontais

O que muda com a evolução?

O que muda com o aumento dos níveis?

O que muda com items?

A matemática que estuda a mudança da função é o Cálculo Diferencial

Como o poder de ataque pode mudar em uma batalha? 

base

Swords Dance

Charm

Derivada é uma razão

Símbolos p/ derivada

É tranquilo analisar uma reta

Inclinação

É tranquilo analisar uma reta

f(x) = 3x+1
f(x)=3x+1f(x) = 3x+1

Inclinação

Para os pontos x=1 e x=2, temos:

Inclinação

Para os pontos x=3 e x=5, temos:

Numa reta, a inclinação não muda!

A variação da reta é constante!

variação = 3

3 também é o coeficiente angular (m)

Como as curvas variam?

f(x) = x^2
f(x)=x2f(x) = x^2

Para os pontos x=0 e x=4, temos:

Para os pontos x=0 e x=2, temos:

Parece que essa curva varia! É diferente da razão constante que encontramos na reta

Como podemos reduzir o intervalo que analisamos para termos uma alta precisão na razão de variação?

Queremos que h

seja mínimo!

Substituindo na equação:

f(x) = x^2
f(x)=x2f(x) = x^2
f(x) = x^2
f(x)=x2f(x) = x^2

OK...

Existe uma função que rege a razão pela qual a curva muda

No caso, encontramos 2x

2x é a equação que rege a inclinação da reta tangente ao ponto da curva que estamos analisando

Poderia ser qualquer outra função, de qualquer grau.

Essa função que rege a inclinação da reta tangente ao ponto é a derivada

Derivando funções na vida real

Polinômios

  • Regra da constante
  • Regra do "tombo"
  • Regra da soma

Regra do produto

y = pikachu x ratata

Regra do produto

y' = (pikachu ATACA e ratata recebe)  ou

(ratata ATACA e Pikachu recebe)

y' = (pikachu' x ratata) + (ratata' x Pikachu)

Quem ataca primeiro?

Regra do Quociente

Regra da cadeia

Para funções compostas!