Le produit Scalaire 

Activité : Une approche du produit scalaire. (Nathan 2011 p 215)

θ : "Thêta" 

δ : "Delta" 

Que devient l'expression δ = AC²  AB²  BC²

 lorsque le triangle ABC n'est pas rectangle ?

D'après le théorème de Pythagore on a :

AC² = AH² + CH²        (triangle ACH)

et     BC² = BH² + CH²        (triangle BCH)

On en déduit que AC² − BC² = AH² BH²        

équivaut donc à  δ = AH² − AB² − BH² (1)

δ = AC² − AB²  BC²

AH = AB + BH

AH² =(AB + BH)²

(1) ⇔ δ = AB² + BH² + 2 x AB x BH − AB² − BH²

⇔ δ =  2 x AB x BH

donc

⇔ δ =  2 x AB x BC x cos θ

ce qui donne en développant :

AH² = AB² + BH² + 2 x AB x BH

cos \theta=\dfrac{BH}{BC}

δ = AH² − AB² − BH² (1)

BH=BC \times cos \theta

AH = AB BH

AH² =(AB BH)²

donc

ce qui donne en développant :

AH² = AB² + BH² 2 x AB x BH

(1) ⇔ δ = AB² + BH² 2 x AB x BH − AB² − BH²

⇔ δ =  2 x AB x BH

⇔ δ =  2 x AB x BC x cos (π − θ)

δ =  2 x AB x BC x cos θ

cos (\pi -\theta)=\dfrac{BH}{BC}

δ = AH² − AB² − BH² (1)

BH=BC \times cos (\pi-\theta)
cos (\pi-\theta)=-cos\theta

Pour la figure 3, la démonstration est la même que pour la figure 2.

Conclusion

Remarque : un produit scalaire est un nombre et non un vecteur !

Conclusion

Définition triangulaire du produit scalaire (Expression avec les normes)

Expression trigonométrique du produit scalaire

Produit Scalaire

1. Différentes expressions du produit scalaire

1.1 Norme d’un vecteur

1.2 Définition triangulaire du produit scalaire

figure 1

Une autre expression du produit scalaire avec les normes :

Exemple :

Soit ABC un triangle avec AB = 6 , AC = 14 et BC = 10.

\vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(6^2 + 14^2 - 10^2) = 66

Démonstration :

1.3 Expression trigonométrique

Démonstration : voir l’activité du livre p 215 (Nathan Transmath édition 2011)

1.4 Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé

Démonstration :

Exemples : Calculs de produits scalaires (1 à 4 p 220 Transmath)

a)

b)

c)

-2\times2+4\times(-1)=-8

Exemples : Calculs à partir du produit scalaire (5 à 10 p 221)

  • Déterminer une valeur approchée de la mesure d'un angle
  • Calculer une longueur 
\dfrac{10}{2\sqrt{10}\times5}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}
AC=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}
AC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

On note θ l’angle géométrique associé.

donc

On a AB x AC = 15 et AC = 3 donc AB = 5.  

AP : Avril 2016

\vec{ED}.\vec{EC}=ED \times EC \times \frac {ED}{EC} = ED^2 = 9
\vec{AB}.\vec{AC}=AB \times AC \times cos\; 60 = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3
\vec{AB}.\vec{AE}=AB \times AE \times cos \;150 = 2 \times 4 \times \frac{-\sqrt{3}}{2} = -4\sqrt{3}

a) 

b)

c)

d)

ou

e)

\vec{AB}.\vec{EA}=AB \times EA \times cos \;30 = 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}
\vec{AB}.\vec{EA}=\vec{AB}.(-\vec{AE}) =- \vec{AB}.\vec{AE} = 4\sqrt{3}
\vec{AB}.\vec{EC}=\vec{AB}.(\vec{EA}+\vec{AC})=\vec{AB}.\vec{EA}+\vec{AB}.\vec{AC}=4\sqrt{3}+3

(ou projection)

\vec{AB}.\vec{AC}=AB \times AC \times cos\; 60 = 4 \times 4 \times \frac{1}{2} = 8

a) 

b)

c)

d)

e)

f)

\vec{CB}.\vec{AC}=\vec{CB}.(-\vec{CA})=-\vec{CB}.\vec{CA}=-8
\vec{AA'}\;et\;\vec{BC}\;sont\;orthogonaux\;donc\;\vec{AA'}.\vec{BC}=0
\vec{OA}.\vec{OB} = OA \times OB \times cos\; 120 = \left( \frac{2}{3} \times \frac{4\sqrt{3}}{2} \right)^2 \times \frac{-1}{2} = -\frac{8}{3}
\vec{OA'}.\vec{OC} = \vec{OA'}.(\vec{OA'}+\vec{A'C})= \vec{OA'}^2+\vec{OA'}.\vec{A'C}= \left( \frac{1}{3} \times \frac{4\sqrt{3}}{2} \right)^2=\frac{4}{3}
\vec{A'B'}\;et\;\vec{AB}

sont colinéaires et de sens contraires donc 

\vec{A'B'}.\vec{AB} = -A'B' \times AB = -2 \times 4 =- 8
AB = \sqrt{2}
AC = 2\sqrt{2}
BC = 3\sqrt{2}
\vec{AB}.\vec{AC}=-AB \times AC = -\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = -4
\vec{AB}\;et\;\vec{AC}

sont colinéaires et de sens contraires donc 

\vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(6^2 + 14^2 - 10^2) = 66
\vec{CA}.\vec{CB}=\frac{1}{2}(14^2 + 10^2 - 6^2) = 130
\vec{AB}.\vec{DC}=AB \times DC = 36
\vec{CA}.\vec{DA}=\vec{CA}.\vec{CB}=130
\vec{AB}\;et\;\vec{DC}

sont colinéaires et de même sens donc 

\vec{EB}.\vec{EC}=\frac{1}{2}(4^2 + 4^2 - 4^2) = 8
\vec{BA}.\vec{DC}=-4 \times 4 = -16
\vec{BA}\;et\;\vec{DC}

sont colinéaires et de sens contraires donc 

\vec{AC}.\vec{AB}=\frac{1}{2}((4\sqrt{2})^2 + 4^2 - 4^2) = 16

1.5 Expression à l’aide de projections

figure 2

figure 3

\vec{u}
\vec{v}
\vec{u}
\vec{v}

Démonstration :

On\; projette\;\vec{v}\;sur\;\vec{u} :

On obtient le vecteur 

\vec{v'}
\vec{v'}
\vec{v'}
\vec{v'}
\vec{u}.\vec{v}=\vec{u}.\vec{v'}

On a 

avec 

\;\vec{u}\;et\;\vec{v'}

colinéaires.

a)

\vec{u}.\vec{v}=4 \times 1=4

b)

\vec{u}.\vec{v}=-4 \times 3=-12

c)

\vec{u}.\vec{v}=4 \times 3=12

3.

AH = \dfrac{12}{6}=2

2. Règles de calcul sur le produit scalaire

2.1 Commutativité - Bilinéarité

Propriété 1 : Soient              deux vecteurs.

 

\vec{u}\;et\;\vec{v}
\vec{u}\;.\;\vec{v}=\vec{v}\;.\;\vec{u}

Le produit scalaire 

est commutatif.

Propriété 2 : Soient                   trois vecteurs et k un nombre réel.

1.                                                      et

2.                                                      et 

\vec{u},\vec{v}\;et\;\vec{w}
(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}
\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}
(k\vec{u}).\vec{v}=k\times(\vec{u}.\vec{v})
\vec{u}.(k\vec{v})=k\times(\vec{u}.\vec{v})

Remarques :
1. On dit que le produit scalaire est bilinéaire

2. Ces règles de calcul ressemblent aux règles « habituelles » sur les nombres. Il y a cependant une nuance importante :

2.2 Identités remarquables

Propriété 1 : Soient              deux vecteurs.

 

 

 

\vec{u}\;et\;\vec{v}

Démonstration (partielle) :

3. Produit scalaire et orthogonalité

Démonstration :

Les vecteurs        et        d'une part,        et        d'autre part,

sont orthogonaux donc 

On en déduit que : 

H

4. Produit scalaire et droite

4.1 Vecteur normal à une droite

Définition : Soit une droite d. On appelle vecteur normal à une droite d, un vecteur non nul      orthogonal à tout vecteur directeur      de d.

 

 

 

 

 

\vec{u}
\vec{n}

4.2 Vecteur normal et équation de droite

Exemple : On se place dans un repère orthonormé 

du plan. Soit la droite d d'équation cartésienne 2x − 3y − 6 = 0 . Un vecteur directeur de d est :
Un vecteur normal                  de d est tel que : 

Soit : 3a + 2b = 0.
a = 2 et b = 3 conviennent, ainsi le vecteur                     est un vecteur normal de d.

(O;\vec{i};\vec{j})
\vec{u}(3;2)
\vec{n}(a;b)
\vec{n}(2;-3)
\vec{u}.\vec{n}=0

Propriété :

  • Une droite de vecteur normal                  admet une équation cartésienne de la forme                                       où c est un nombre réel à déterminer.
  • Réciproquement, la droite d d'équation cartésienne                                                  admet le vecteur                pour vecteur normal.
\vec{n}(a;b)
ax+by+c=0
ax+by+c=0
\vec{n}(a;b)

Démonstration :

Conséquences :

  • Si les droites d et d’ ont respectivement pour équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0 alors « d et d’ sont perpendiculaires » équivaut à aa'+ bb' = 0 .
  • Si les droites d et d’ ont respectivement pour équations réduites y = mx + p et y = m'x + p'
    alors « d et d’ sont perpendiculaires » équivaut à mm' = −1.

En effet,

                                                   

sont des vecteurs normaux respectivement à d et d’.

Méthode  : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal.

Dans un repère orthonormé                   du plan, on considère la droite d passant par le point A(−5 ; 4) et dont un vecteur normal est le vecteur
Déterminer une équation cartésienne de la droite d.

(O;\vec{i};\vec{j})
\vec{n}(3;-1).

Comme                      est un vecteur normal de d, une équation cartésienne de d est de la forme 3x − y + c = 0 .

\vec{n}(3;-1)

Le point A(−5 ; 4) appartient à la droite d, donc : 3×( −5) − 4 + c = 0 et donc : c = 19 .

Une équation cartésienne de d est : 3x − y + 19 = 0

\vec{ON}(-3\,;y_N)
\vec{BA}(3\,;6)
\vec{OM}(4\,;y_M)
\vec{AC}(4\,;-6)
\vec{ON}.\vec{BA}=0\Leftrightarrow-9+6y_N=0\Leftrightarrow y_N=\dfrac{3}{2}
\vec{OM}.\vec{AC}=0\Leftrightarrow 16-6y_M=0\Leftrightarrow y_M=\dfrac{8}{3}
N\left(-3\,;\dfrac{3}{2}\right)
M\left(4\,;\dfrac{8}{3}\right)