你懂得數嗎?

我可不懂!

數數難嗎?

數數不容易。數數的理論根據就是一一對應。

於有限集而言,可能不容易體會這個概念的重要,因為我們已經非常熟悉1、2、3 · · · 這些數字。

 

數數難嗎?

於無限集而言, 一一對應是無限集理論的基石,由此而得的基數概念,成為十九世紀後期由德國數學家CANTOR 發展起來的集合論的中心概念。

加法原理

實現一個事件,如果能分成兩類方式,彼此互不相同,並且按第一類方式有 m 種實現該事件的辦法,按第二類方式有 n 種實現該事件的辦法,那麼以這兩類方式實現這個事件共有 m+n 種辦法。

乘法原理

實現一個事件,如果能分成兩個階段,彼此互無相干,並且知道實現第一階段有 m 種辦法, 實現第二階段有 n 種辦法,那麼通過這兩個階段實現這個事件共有 mn 種辦法。

答案是 3×3=9

注意,如果你討厭上下兩球都是 V,便只有8種。 乘法原理不適用,是因為兩個階段變成互有相干了。要得出答案,可有兩種思路。 其一是先用乘法原理得出9種,排除兩球俱為 V 的一種,即是8種。其二是混合使用加法原理及乘法原理。

這個問題的答案,在東西方均有悠久歷史,十三世紀宋元的書本裡載有乘方圖,說明源於古法(北宋賈憲的立成釋鎖算法, 時約公元1020年),用以解代數方程或開高次方。

組合數目

從N個元中取出r 個不同元的組合數目?

十七世紀中葉法國數學家PASCAL 創立的算術三角形,用以計算概率問題,在一百多年前已經有西歐數學家提過,而且也就是賈憲提出來的乘方圖。

組合數目

從N個元中取出r 個不同元的組合數目?

很多數數問題都能套進一種球罐模型作考慮。把r 個球放進N 個有標號的罐,共有多少種方法呢?

 

球罐模型

橋牌離散數學

叫牌

叫牌分建設性和破壞性兩種。建設性叫牌的目在和同伴間交換牌情。因此是離散數學「編碼問題」的一個應用。一手牌十三張可以是五十二張牌的任何組合,因此有             的不同牌型。

\left ( \frac{52}{13} \right )
(5213)\left ( \frac{52}{13} \right )

打牌

打牌分成莊家和防家兩邊。莊家要以最大的機率完成合約,防家要以最大的機率擊垮合約。所以打牌基本上是機率的應用,而且這些機率的計算都是組合性的。

賽牌

安排橋賽比安排任何其它比賽更麻煩,因為多了一個牌的好壞的因素。

賽球,雙方用的是同一個球;賽棋,雖有黑棋、白棋之分,但沒有好壞之分;賽牌贏的一方卻總要有聽輸方的抱怨:「我的牌真壞」的雅量。

幸福結局問題
鴿籠原理與拉姆西定理

1932年Klein提出這樣的問題:對於給定的正整數n,能否找到一個正整數N(n),使得平面上任意N(n)點(其中任三點不共線)中,均能找到n點形成凸多邊形。

Klein 證明平面上任意三點都不共線的五點,不外乎下面三種情況,而每種情況下都保證能構成一個凸四邊形,定理從而得證。

一、五點自身就構成一個凸五邊形,其中任意四點
        均構成凸四邊形。

二、其中一點為其餘四點所包圍,則外部四點構成
        凸四邊形。

三、其中兩點位於其餘三點所構成的三角形內部。
        若作一直線通過這兩點,則該直線將三角形分
        為兩部分,必有兩個頂點位於直線的一端,
        那麼這兩頂點與原來的兩點構成凸四邊形。

幸福結局問題

這個問題包括兩件事情,首先,這樣的N(n)是否一定存在? 其次,如果存在,那麼最小的N(n)是多少?

Szekeres 找出了保證可構成凸n 邊形的所需點數,儘管這個數目比他們猜想的2n−2 + 1 大很多,他的證明還是贏得了Esther Klein的芳心,四年後有情人終成眷屬。

從此Erdős 把這個問題稱為「幸福結局問題」,永垂數學史。

鴿籠原理

假定有n + 1 隻鴿子和n 個鳥籠,如果要讓所有鴿子飛入籠中, 則存在某一個籠子裡面至少有兩隻鴿子。

這個看似簡單的原理俗稱「鴿籠原理」,又稱「抽屜原理」,由十九世紀德國數學家Dirichlet提出,以解決數論上的一些問題,有人亦稱之為Dirichlet (抽屜) 原理。 

https://amininima.wordpress.com/2013/04/22/pigeonholes/

佔有問題

在組合學(combinatorics)與機率論的發展歷史中,將n個球放在k個箱中是個很重要的模式,這個問題稱為佔有問題 (occupancy problem),佔有問題的應用很廣。

佔有問題的應用

車禍
n件車禍發生於週一到週日的可能情形,相當於置n個球於k=7個箱中的分佈狀況。

抽樣
n個人按職業分類,則人相當於球,類別相當於箱子。

錯印
一本書k頁中有n個印錯的分配情形,相當於n個球置於k個箱中的分配情形。

佔有問題的應用

彩券收集
所收集的彩券相當於球,彩券種類相當於箱子。

骰子
擲一個骰子n次所出現點數的分配,相當於置n個球於k=6個箱的分佈。

化學
長鏈聚合體與氧分子發生反應,每一鏈可與0,1, 2,......個氧分子發生作用,則反應的氧分子相當於球,而聚合鏈相當於箱子。

動動腦~~ 算算看!!

問題:
某醫院九月份共接生80個嬰兒,記錄下每個嬰兒的出生日期,則這個事件的發生共有幾種方法?

動動腦~~算算看!!

解: 嬰兒看成是球,日期看成是箱子。若不區分嬰兒,只區分日期,則為2a的情況,n=80,k=30,故有C(80+301,301)=C(109,29)種方法。若每天至少接生一個嬰兒,則為2b的情況,共有C(109,29)種方法。若不區分嬰兒,亦不區分日期, 我們只想知道有幾天接生兩個嬰兒,有幾天接生三個嬰兒,......,則為4a的情況,需考慮80分割成30個或更少的正整數和。

且談「囚徒困局」現象

To plead guilty or not guilty, that is the question.

「囚徒困局」面面觀 1/2

假使你和朋友作了些於法不容的事,被警察逮到關了起來。 這時進來一位檢察官,他說如果你乖乖認罪,幫警方指證你的朋友的話,將可無罪開釋。如果你不招,而你的朋友招供的話,你將被判五年牢獄。

「囚徒困局」面面觀 2/2

假使你們兩人都不招,因為還有相當的證據在警方手中,足夠判你們兩人每人兩年。

若你們兩個分別都招供,由於證據確鑿,對不起,每人都得坐四年牢。這樣的條件另一位檢察官正在跟你的朋友說明,請問在這種局面下, 你招還是不招?

「囚徒困局」大解析

現在我們將問題分析並將利害關係製成一張表。其中的數字對,左邊數字的絕對值表示你的坐牢年數,右邊數字的絕對值表示你朋友的坐牢年數。因為坐牢總是件倒楣事,所以用負數代表滿意的程度,因此負得越多處罰得越厲害。

「囚徒困局」大揭密 1/2

如果你的朋友招了,你若不招會關五年,你若招了會關四年, 所以招供對你有利。倘若你的朋友不招,你若不招會關二年,你若招了就可以撒鴨子跑了,當然還是招供對你有利。

「囚徒困局」大揭密 2/2

總之,無論你的朋友招還是不招,招供對你都比較有利。你的朋友應該不比你更笨,相同的邏輯思考,也會使他選擇招供,於是你們就哥倆好的到牢裡四年。如果你們別那麼邏輯,但是有決不出賣朋友的江湖義氣,兩人都死不招認,反倒可以只關二年。