你懂得數嗎?

我可不懂!

數學傳播20307

數數難嗎?

數數不容易。數數的理論根據就是一一對應。

於有限集而言，可能不容易體會這個概念的重要，因為我們已經非常熟悉1、2、3 · · · 這些數字。

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數數難嗎?

於無限集而言，一一對應是無限集理論的基石，由此而得的基數概念，成為十九世紀後期由德國數學家CANTOR 發展起來的集合論的中心概念。

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加法原理

實現一個事件，如果能分成兩類方式，彼此互不相同，並且按第一類方式有 $m$ 種實現該事件的辦法，按第二類方式有 $n$ 種實現該事件的辦法，那麼以這兩類方式實現這個事件共有 $m + n$ 種辦法。

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乘法原理

實現一個事件，如果能分成兩個階段，彼此互無相干，並且知道實現第一階段有 $m$ 種辦法，實現第二階段有 $n$ 種辦法，那麼通過這兩個階段實現這個事件共有 $m n$ 種辦法。

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答案是 $3 \times 3 = 9$ 。

注意，如果你討厭上下兩球都是 $V，$ 便只有8種。乘法原理不適用，是因為兩個階段變成互有相干了。要得出答案，可有兩種思路。其一是先用乘法原理得出9種，排除兩球俱為 $V$ 的一種，即是8種。其二是混合使用加法原理及乘法原理。

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這個問題的答案，在東西方均有悠久歷史，十三世紀宋元的書本裡載有乘方圖，說明源於古法(北宋賈憲的立成釋鎖算法, 時約公元1020年)，用以解代數方程或開高次方。

組合數目

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從N個元中取出r 個不同元的組合數目?

十七世紀中葉法國數學家PASCAL 創立的算術三角形，用以計算概率問題，在一百多年前已經有西歐數學家提過，而且也就是賈憲提出來的乘方圖。

組合數目

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從N個元中取出r 個不同元的組合數目?

很多數數問題都能套進一種球罐模型作考慮。把r 個球放進N 個有標號的罐，共有多少種方法呢?

球罐模型

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橋牌和離散數學

數學傳播15201

叫牌

叫牌分建設性和破壞性兩種。建設性叫牌的目在和同伴間交換牌情。因此是離散數學「編碼問題」的一個應用。一手牌十三張可以是五十二張牌的任何組合，因此有的不同牌型。

\left ( \frac{52}{13} \right )

\left ( \frac{52}{13} \right )

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打牌

打牌分成莊家和防家兩邊。莊家要以最大的機率完成合約，防家要以最大的機率擊垮合約。所以打牌基本上是機率的應用，而且這些機率的計算都是組合性的。

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賽牌

安排橋賽比安排任何其它比賽更麻煩，因為多了一個牌的好壞的因素。

賽球，雙方用的是同一個球；賽棋，雖有黑棋、白棋之分，但沒有好壞之分；賽牌贏的一方卻總要有聽輸方的抱怨:「我的牌真壞」的雅量。

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幸福結局問題
鴿籠原理與拉姆西定理

1932年Klein提出這樣的問題：對於給定的正整數n，能否找到一個正整數N(n)，使得平面上任意N(n)點(其中任三點不共線)中，均能找到n點形成凸多邊形。

數學傳播28203

Klein 證明平面上任意三點都不共線的五點，不外乎下面三種情況，而每種情況下都保證能構成一個凸四邊形，定理從而得證。

一、五點自身就構成一個凸五邊形，其中任意四點
均構成凸四邊形。

二、其中一點為其餘四點所包圍，則外部四點構成
凸四邊形。

三、其中兩點位於其餘三點所構成的三角形內部。
若作一直線通過這兩點，則該直線將三角形分
為兩部分，必有兩個頂點位於直線的一端，
那麼這兩頂點與原來的兩點構成凸四邊形。

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幸福結局問題

這個問題包括兩件事情，首先，這樣的N(n)是否一定存在? 其次，如果存在，那麼最小的N(n)是多少?

Szekeres 找出了保證可構成凸n 邊形的所需點數，儘管這個數目比他們猜想的2n−2 + 1 大很多，他的證明還是贏得了Esther Klein的芳心，四年後有情人終成眷屬。

從此Erdős 把這個問題稱為「幸福結局問題」，永垂數學史。

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鴿籠原理

假定有n + 1 隻鴿子和n 個鳥籠，如果要讓所有鴿子飛入籠中，則存在某一個籠子裡面至少有兩隻鴿子。

這個看似簡單的原理俗稱「鴿籠原理」，又稱「抽屜原理」，由十九世紀德國數學家Dirichlet提出，以解決數論上的一些問題，有人亦稱之為Dirichlet (抽屜) 原理。

https://amininima.wordpress.com/2013/04/22/pigeonholes/

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佔有問題

在組合學(combinatorics)與機率論的發展歷史中，將 $n$ 個球放在 $k$ 個箱中是個很重要的模式，這個問題稱為佔有問題 (occupancy problem)，佔有問題的應用很廣。

數學傳播11403

佔有問題的應用

車禍
$n$ 件車禍發生於週一到週日的可能情形，相當於置 $n$ 個球於 $k = 7個箱中的分佈狀況。$

抽樣
$n個人按職業分類，則人相當於球，類別相當於箱子。$

錯印
一本書 $k$ 頁中有 $n$ 個印錯的分配情形，相當於 $n$ 個球置於 $k$ 個箱中的分配情形。

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佔有問題的應用

彩券收集
所收集的彩券相當於球，彩券種類相當於箱子。

骰子
擲一個骰子 $n$ 次所出現點數的分配，相當於置 $n$ 個球於 $k = 6$ 個箱的分佈。

化學
長鏈聚合體與氧分子發生反應，每一鏈可與0,1, 2,......個氧分子發生作用，則反應的氧分子相當於球，而聚合鏈相當於箱子。

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動動腦~~ 算算看!!

問題:
某醫院九月份共接生80個嬰兒，記錄下每個嬰兒的出生日期，則這個事件的發生共有幾種方法?

數學傳播11403

動動腦~~算算看!!

解: 嬰兒看成是球，日期看成是箱子。若不區分嬰兒，只區分日期，則為 $2 a$ 的情況， $n = 80, k = 30$ ，故有 $C (80 + 30 - 1, 30 - 1) = C (109, 29)$ 種方法。若每天至少接生一個嬰兒，則為 $2 b$ 的情況，共有 $C (109, 29)$ 種方法。若不區分嬰兒，亦不區分日期，我們只想知道有幾天接生兩個嬰兒，有幾天接生三個嬰兒，......，則為 $4 a$ 的情況，需考慮80分割成30個或更少的正整數和。