MAA3 - Geometria

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksiettä kolmiulotteisissa tilanteissa
harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita
ratkaisee geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa.

KESKEISET SISÄLLÖT

kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
sini- ja kosinilause
ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

MAB2 - Geometria

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

harjaantuu tekemään havaintoja ja päätelmiä kuvioiden ja kappaleiden geometrisista ominaisuuksista
vahvistaa tasokuvioiden ja kolmiulotteisten kappaleiden kuvien piirtämisen taitojaan
osaa ratkaista käytännön ongelmia geometriaa hyväksi käyttäen.

KESKEISET SISÄLLÖT

kuvioiden yhdenmuotoisuus
suorakulmaisen kolmion trigonometria
Pythagoraan lause
kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen
geometrian menetelmien käyttö koordinaatistossa

MAB2 - Geometria

KESKEISET SISÄLLÖT

kuvioiden yhdenmuotoisuus
suorakulmaisen kolmion trigonometria
Pythagoraan lause
kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen
geometrian menetelmien käyttö koordinaatistossa

MAA3 - Geometria

KESKEISET SISÄLLÖT

kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
sini- ja kosinilause
ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

Pitkä matematiikka 3, Sanoma Pro

Kulma
Suunnikkaan ja kolmion kulmat
Yhdenmuotoisuus
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde
Suorakulmaisen kolmion trigonometria
Pythagoraan lause
Tylpän kulman kosini ja sini
Pinta-aloja
Sinilause
Kosinilause
Ympyrä
Ympyrän tangentti
Kehäkulma
Suorakulmainen särmiö
Kulma avaruudesa
Pallo
Lieriö
Kartio

Summa 2, Edita

Geometrian käsitteitä
Suorat ja kulmat
Yksikönmuunnokset ja pyöristäminen
Yhdenmuotoisuus
Kolmiot
Tasokuviot
Pythagoraan lause
Trigonometriaa
Monikulmiot
Ympyrä
Sektori
Ympyrän sovelluksia
Avaruusgeometria
Lieriö
Kartio
Pallo

Kolmion kulmien summa tasossa

Pythagoraan lause

Millaisen todistuksen esittäisit lukiolaisille?

Voisiko todistamisen antaa opiskelijoiden tehtäväksi?

Millainen on todistamisen rooli geometriassa?

Pythagoraan lause

ABCD

A B C D

Neliö

Pythagoraan lause

Yksikköympyrä

\sin \alpha = \dfrac{\color{Salmon}y}{\color{Green}1}=\color{Salmon}y

sin α = \frac{​ y ​ ​}{​ 1 ​} = y

\cos \alpha = \dfrac{\color{CornflowerBlue}x}{\color{Green}1}=\color{CornflowerBlue}x

cos α = \frac{​ x ​ ​}{​ 1 ​} = x

P(\color{CornflowerBlue}x, \ \color{Salmon}y)=P(\cos \alpha, \ \sin \alpha)

P (x, y) = P (cos α, sin α)

Sinin symmetria

\sin \alpha = \sin (180^{\circ}-\alpha)

sin α = sin (18 0 ​ \circ ​ ​ - α)

Kolmion pinta-alan trigonometrinen kaava

\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}bh_1

A = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} b h ​ 1 ​ ​

\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}ab\sin \gamma

A = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a b sin γ

\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}ah_2

A = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a h ​ 2 ​ ​

||\sin \gamma = \frac{h_1}{a}

∣ ∣ sin γ = \frac{​ h ​ 1 ​ ​ ​ ​}{​ a ​}

||\sin \beta = \frac{h_2}{c}

∣ ∣ sin β = \frac{​ h ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ c ​}

\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}ac \sin \beta

A = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a c sin β

\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}ch_3

A = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} c h ​ 3 ​ ​

||\sin (180^{\circ}-\alpha) = \frac{h_3}{b}

∣ ∣ sin (18 0 ​ \circ ​ ​ - α) = \frac{​ h ​ 3 ​ ​ ​ ​}{​ b ​}

\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2} bc \sin(180^{\circ}- \alpha)

A = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} b c sin (18 0 ​ \circ ​ ​ - α)

||\sin (180^{\circ}-\alpha) = \sin \alpha

∣ ∣ sin (18 0 ​ \circ ​ ​ - α) = sin α

\dfrac{1}{2} bc \sin \alpha=\dfrac{1}{2}ab\sin \gamma =\dfrac{1}{2}ac \sin \beta

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} b c sin α = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a b sin γ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a c sin β

\dfrac{\sin \alpha}{a}=\dfrac{\sin \gamma}{c}=\dfrac{\sin\beta}{b}

\frac{​ sin α ​ ​}{​ a ​} = \frac{​ sin γ ​ ​}{​ c ​} = \frac{​ sin β ​ ​}{​ b ​}

\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{c}{\sin \gamma}=\dfrac{b}{\sin\beta}

\frac{​ a ​ ​}{​ sin α ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin γ ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin β ​}

\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{c}{\sin \gamma}=\dfrac{b}{\sin\beta}

\frac{​ a ​ ​}{​ sin α ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin γ ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin β ​}

Sinilause

Ympyrä

Ympyrä muodostuu niistä tason pisteistä, jotka ovat samalla etäisyydellä (säde) kiinteästä pisteestä (keskipiste).

Ympyrän piiri ja pinta-ala

Ympyrän pinta-ala

Keskuskulma ja kehäkulma

Kehäkulmalause

OB=OC=r

O B = O C = r

\angle OBC=\theta.

∠ O B C = θ .

\angle COB=180^{\circ}-2\theta.

∠ C O B = 18 0 ​ \circ ​ ​ - 2 θ .

\gamma = 180^{\circ}-\angle COB

γ = 18 0 ​ \circ ​ ​ - ∠ C O B

\gamma = 180^{\circ}-(180^{\circ}-2\theta)

γ = 18 0 ​ \circ ​ ​ - (18 0 ​ \circ ​ ​ - 2 θ)

\gamma =2 \theta

γ = 2 θ

Kolmio OBC on tasakylkinen, joten

Huomataan, että

Kolmion kulmien summa on 180 astetta.

Tästä saadaan

\gamma \text{ ja } \angle COB

γ j a ∠ C O B

muodostavat oikokulman, joten

keskipiste, säde, jänne, halkaisija, sektori, ympyräkaari, keskuskulma, kehäkulma, tangentti, segmentti, keskuskolmio, sekantti

Miten kertaisit ympyrään liittyviä käsitteitä?

Tutkimustehtävät

Vertailkaa pienissä ryhmissä keksimiänne MAA3/MAB2 -kurssin tutkimustehtäviä.
Valitkaa tutkimustehtävistä yksi, jonka esittelette muulle ryhmälle.

Tangentin ominaisuuksia

Avaruusgeometria

MAB2 - Geometria

KESKEISET SISÄLLÖT

kuvioiden yhdenmuotoisuus
suorakulmaisen kolmion trigonometria
Pythagoraan lause
kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen
geometrian menetelmien käyttö koordinaatistossa

MAA3 - Geometria

KESKEISET SISÄLLÖT

kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
sini- ja kosinilause
ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

Kulma avaruudessa (MAA3)
Lieriö
- Erikoistapaukset
- Pinta-ala, tilavuus
Kartio
- Erikoistapaukset
- Pinta-ala, tilavuus
Pallo
- Pinta-ala, tilavuus
- Pallosegmentti (MAB2?)
- Kalotti (MAB2?)

Johdanto (MAB2 - Kertoma)

Kulma avaruudessa

Kartion tilavuus

Taso- ja avaruusgeometria ylioppilaskirjoituksissa

Millasia tehtäviä löysit

pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksista?
lyhyen matematiikan ylioppilaskirjoituksista?

TAVOITTEET Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

ymmärtää kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
ymmärtää pistejoukon yhtälön käsitteen ja oppii tutkimaan yhtälöiden avulla pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja
syventää itseisarvokäsitteen ymmärtämystään ja oppii ratkaisemaan sellaisia itseisarvoyhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä | f(x) | = a tai | f(x) | = | g(x) |
vahvistaa yhtälöryhmän ratkaisemisen taitojaan.

KESKEISET SISÄLLÖT

• pistejoukon yhtälö

• suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälöt

• itseisarvoyhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen

• yhtälöryhmän ratkaiseminen

• pisteen etäisyys suorasta

MAA4 - Analyyttinen geometria

Kartioleikkaukset

Pistejoukon yhtälö

Piste (x,y) kuuluu pistejoukkoon, jos ja vain jos pisteen koordinaatit toteuttavat yhtälön.

Pistejoukon yhtälö on muuttujien x ja y yhtälö, jolla on ominaisuus:

http://polku.opetus.tv/node/463

Ympyrän yhtälö

Paraabelin konstruktio

Paraabelin yhtälö

Pisteen P(x, y) etäisyys pisteestä (0,3)

d_1=\sqrt{(x-0)^2+(y-3)^2}

d ​ 1 ​ ​ = \sqrt ​ (x - 0) ​ 2 ​ ​ + (y - 3) ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​

Pisteen P(x, y) etäisyys suorasta y = -1

d_2=|y-(-1)|

d ​ 2 ​ ​ = ∣ y - (- 1) ∣

d_2=|y+1|

d ​ 2 ​ ​ = ∣ y + 1 ∣

d_1 = d_2

d ​ 1 ​ ​ = d ​ 2 ​ ​

jos ja vain jos

\sqrt{(x-0)^2+(y-3)^2}=|y+1|

\sqrt ​ (x - 0) ​ 2 ​ ​ + (y - 3) ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​ = ∣ y + 1 ∣

Paraabelin yhtälö

\vdots

⋮

y=\dfrac{1}{8}x^2+1

y = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 8 ​} x ​ 2 ​ ​ + 1

\sqrt{(x-0)^2+(y-3)^2}=|y+1|

\sqrt ​ (x - 0) ​ 2 ​ ​ + (y - 3) ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​ = ∣ y + 1 ∣

x^2+(y-3)^2=(y+1)^2

x ​ 2 ​ ​ + (y - 3) ​ 2 ​ ​ = (y + 1) ​ 2 ​ ​

Suoran yhtälö

http://polku.opetus.tv/node/467