Esimerkki
Täydennä lauseke neliöksi.
x^2+2x
x2+2x
4x^2+25
4x2+25
a)
b)
Ratkaisu
x^2+2x
x2+2x
x^2+2x\color{Salmon}{+1}
x2+2x+1
=(x+1)^2
=(x+1)2
||(a+b)=a^2+2ab+b^2
∣∣(a+b)=a2+2ab+b2
4x^2+25
4x2+25
4x^2\color{Salmon}{+20x} +25
4x2+20x+25
=(2x+5)^2
=(2x+5)2
||(a+b)=a^2+2ab+b^2
∣∣(a+b)=a2+2ab+b2
Esimerkki
4x^2+4y^2-16=0
4x2+4y2−16=0
Mitä pistejoukkoa yhtälö esittää?
a)
b)
x^2+5x+y^2=0
x2+5x+y2=0
Ratkaisu
4x^2+4y^2-16=0
4x2+4y2−16=0
||+16
∣∣+16
4x^2+4y^2=16
4x2+4y2=16
||:4
∣∣:4
x^2+y^2=4
x2+y2=4
x^2+y^2=2^2
x2+y2=22
Ympyrää, jonka keskipiste on origo ja säde 2.
Ratkaisu
||+\Big(\frac{5}{2}\Big)^2
∣∣+(25)2
||(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
∣∣(a+b)2=a2+2ab+b2
Ympyrää, jonka keskipiste on
x^2+5x+y^2=0
x2+5x+y2=0
x^2+5x+\color{Salmon}{\Big(\frac{5}{2} \Big)^2}+y^2=\color{Salmon}{\Big( \frac{5}{2}\Big)^2}
x2+5x+(25)2+y2=(25)2
\Big(x+\frac{5}{2}\Big)^2+y^2={\Big( \frac{5}{2}\Big)^2}
(x+25)2+y2=(25)2
\Big(\frac{5}{2}, \ 0\Big)
(25, 0)
ja säde
\frac{5}{2}.
25.
Esimerkki
Ympyrän keskipiste on (5,0) ja säde 2. Määritä ympyrän yhtälö.
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(x−a)2+(y−b)2=r2
||(a, b)=(5,0)
∣∣(a,b)=(5,0)
(x-5)^2+(y-0)^2=r^2
(x−5)2+(y−0)2=r2
||r=2
∣∣r=2
(x-5)^2+y^2=2^2
(x−5)2+y2=22
(x-5)^2+y^2=4
(x−5)2+y2=4
Ratkaisu
Esimerkki
Ympyrän yhtälö on
||(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
∣∣(x−a)2+(y−b)2=r2
Ratkaisu
x^2+y^2=2.
x2+y2=2.
Mikä on ympyrän keskipiste ja säde?
x^2+y^2=2
x2+y2=2
Keskipiste (0,0) ja säde
(x-0)^2+(y-0)^2=(\sqrt{2})^2
(x−0)2+(y−0)2=(√2)2
\sqrt{2}.
√2.
Esimerkki
Pistejoukon yhtälö on
-y^3+x^2+3=0
−y3+x2+3=0
Onko piste (1, -1) pistejoukossa?
Onko piste (2, -1) pistejoukon ala- vai yläpuolella?
a)
b)
Ratkaisu a-kohtaan
Piste (1, -1) on pistejoukossa jos se toteuttaa pistejoukon yhtälön.
-y^3+x^2+3=0
−y3+x2+3=0
-(-1)^3+1^2+3=0
−(−1)3+12+3=0
1+1+3=0
1+1+3=0
Sijoitetaan x = 1 ja y = -1 pistejoukon yhtälöön.
5=0
5=0
Epätosi
||x=1, \ y=-1
∣∣x=1, y=−1
Piste (1, -1) ei ole pistejoukossa.
Ratkaisu b-kohtaan
Ratkaistaan pistejoukon pisteen y-koordinaatti, kun x-koordinaatti on 2.
-y^3+x^2+3=0
−y3+x2+3=0
||x=2
∣∣x=2
-y^3+2^2+3=0
−y3+22+3=0
-y^3+7=0
−y3+7=0
y^3=7
y3=7
Pistejoukon piste
on pisteen (2,-1) yläpuolella.