Esimerkki

Ratkaise yhtälö

a)

|x|=10

∣ x ∣ = 10

|2x+4|=7

∣ 2 x + 4 ∣ = 7

b)

Ratkaisu a-kohtaan

x \geq 0

x \geq 0

1.

x < 0

x < 0

2.

|x|=10

∣ x ∣ = 10

||x \geq 0

∣ ∣ x \geq 0

x=10

x = 10

|x|=10

∣ x ∣ = 10

||x <0

∣ ∣ x < 0

x=-10

x = - 10

Vastaus:

x=10 \text{ tai } x=-10

x = 10 t a i x = - 10

Ratkaisu b-kohtaan

2x+4 \geq 0

2 x + 4 \geq 0

1.

2x+4 < 0

2 x + 4 < 0

2.

|2x+4|=7

∣ 2 x + 4 ∣ = 7

||x \geq -2

∣ ∣ x \geq - 2

2x+4=7

2 x + 4 = 7

|2x+4|=7

∣ 2 x + 4 ∣ = 7

||x <-2

∣ ∣ x < - 2

2x \geq-4

2 x \geq - 4

x \geq-2

x \geq - 2

2x < -4

2 x < - 4

x < -2

x < - 2

2x=3

2 x = 3

x=\dfrac{3}{2}

x = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 2 ​}

2x+4=-7

2 x + 4 = - 7

2x=-11

2 x = - 11

x=-\dfrac{11}{2}

x = - \frac{​ 1 1 ​ ​}{​ 2 ​}

||:2

∣ ∣ : 2

||:2

∣ ∣ : 2

Vastaus:

x=\dfrac{3}{2} \text{ tai } x=-\dfrac{11}{2}

x = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 2 ​} t a i x = - \frac{​ 1 1 ​ ​}{​ 2 ​}

Graafinen ratkaisu

"\text{abs}(x) "

" a b s (x) "

"\text{abs}(2x+4) "

" a b s (2 x + 4) "

Itseisarvoyhtälö

|f(x)|=a, \ a \geq 0

∣ f (x) ∣ = a, a \geq 0

f(x)=a

f (x) = a

f(x)=-a

f (x) = - a

tai

|f(x)|=a, \ a<0

∣ f (x) ∣ = a, a < 0

Yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä luvun itseisarvo on aina epänegatiivinen.

Itseisarvoyhtälön ratkaiseminen:

1.

2.

Esimerkki

Ratkaise yhtälö

|5x-10|-3=0

∣ 5 x - 10 ∣ - 3 = 0

ratkaisu

|5x-10|-3=0

∣ 5 x - 10 ∣ - 3 = 0

|5x-10|=3

∣ 5 x - 10 ∣ = 3

5x-10=-3

5 x - 10 = - 3

tai

5x-10=3

5 x - 10 = 3

5x=13

5 x = 13

5x=7

5 x = 7

x=\dfrac{13}{5}

x = \frac{​ 1 3 ​ ​}{​ 5 ​}

tai

x=\dfrac{7}{5}

x = \frac{​ 7 ​ ​}{​ 5 ​}

Esimerkki

|x|<5

∣ x ∣ < 5

|2x+1|\geq 3

∣ 2 x + 1 ∣ \geq 3

Ratkaise epäyhtälö

Ratkaisu A-kohtaan

|x|<5

∣ x ∣ < 5

Luvut joiden itseisarvo on pienempi kuin 5, ovat lukusuoralla lukujen -5 ja 5 välissä.

-5 < x<5

- 5 < x < 5

tai yhtäpitävästi voidaan merkitä

] -5, 5 [

] - 5, 5 [

Ratkaisu B-kohtaan

|2x+1|\geq3

∣ 2 x + 1 ∣ \geq 3

2x+1 \geq 3

2 x + 1 \geq 3

2x+1 \leq -3

2 x + 1 \leq - 3

2x\geq 2

2 x \geq 2

x\geq 1

x \geq 1

2x\leq -4

2 x \leq - 4

x\leq -2

x \leq - 2

tai

||:2 \ (>0)

∣ ∣ : 2 (> 0)

Itseisarvoepäyhtälö

|f(x)|< \color{Salmon}{a}, \text{ kun } \color{Salmon}{a} >0

∣ f (x) ∣ < a, k u n a > 0

\color{Salmon}{-a} < f(x) < \color{Salmon}{a}

- a < f (x) < a

|f(x)|> \color{Salmon}{a}, \text{ kun } \color{Salmon}{a} >0

∣ f (x) ∣ > a, k u n a > 0

f(x)<\color{Salmon}{-a} \text{ tai } f(x)>\color{Salmon}{-a}

f (x) < - a t a i f (x) > - a

f(x) >\color{Salmon}{-a}\text{ ja } f(x)< \color{Salmon}{a}

f (x) > - a j a f (x) < a

Esimerkki

Ratkaise epäyhtälö

|x^2-4|<3

∣ x ​ 2 ​ ​ - 4 ∣ < 3

Ratkaisu

|x^2-4|<3

∣ x ​ 2 ​ ​ - 4 ∣ < 3

-3 < x^2-4<3

- 3 < x ​ 2 ​ ​ - 4 < 3

-3 < x^2-4

- 3 < x ​ 2 ​ ​ - 4

x^2-4<3

x ​ 2 ​ ​ - 4 < 3

1< x^2

1 < x ​ 2 ​ ​

x^2<7

x ​ 2 ​ ​ < 7

x^2-1=0

x ​ 2 ​ ​ - 1 = 0

x=\pm 1

x = \pm 1

x^2-7=0

x ​ 2 ​ ​ - 7 = 0

x=\pm \sqrt{7}

x = \pm \sqrt ​ 7 ​ ​ ​

-1

- 1

1

-\sqrt{7}

- \sqrt ​ 7 ​ ​ ​

\sqrt{7}

\sqrt ​ 7 ​ ​ ​

1 < x^2

1 < x ​ 2 ​ ​

x^2<7

x ​ 2 ​ ​ < 7

T

E

T

E

Tapa 1

Vastaus:

Epäyhtälö

|x^2-4|<3

∣ x ​ 2 ​ ​ - 4 ∣ < 3

toteutuu, kun

-\sqrt{7} < x<-1 \text{ tai } 1 < x < \sqrt{7}

- \sqrt ​ 7 ​ ​ ​ < x < - 1 t a i 1 < x < \sqrt ​ 7 ​ ​ ​

1 < x^2

1 < x ​ 2 ​ ​

x^2<7

x ​ 2 ​ ​ < 7

Tapa 2

ylöspäin

aukeava

paraabeli

0 < x^2-1

0 < x ​ 2 ​ ​ - 1

x^2-7<0

x ​ 2 ​ ​ - 7 < 0

x^2-1=0

x ​ 2 ​ ​ - 1 = 0

x=\pm 1

x = \pm 1

x^2-7=0

x ​ 2 ​ ​ - 7 = 0

x=\pm \sqrt{7}

x = \pm \sqrt ​ 7 ​ ​ ​

x^2-7<0

x ​ 2 ​ ​ - 7 < 0

0 < x^2-1

0 < x ​ 2 ​ ​ - 1

Vastaus:

Epäyhtälö

|x^2-4|<3

∣ x ​ 2 ​ ​ - 4 ∣ < 3

toteutuu, kun

-\sqrt{7} < x<-1 \text{ tai } 1 < x < \sqrt{7}

- \sqrt ​ 7 ​ ​ ​ < x < - 1 t a i 1 < x < \sqrt ​ 7 ​ ​ ​