Upotetaan paine-anturi vedellä täytettyyn mittalasiin ja tutkitaan paineen riippuvuutta syvyydestä.

Hydrostaattinen paine

Taulukoidaan paine ja syvyys.

Esitetään mittaustulokset  (h, p) -koordinaatistossa.

Hydrostaattinen paine

Paine (kPa)

Syvyys (cm)

Huomataan, että paine on suoraan verrannollinen syvyyteen.

p ~ h

Hydrostaattinen paine

Tarkastellaan suoran ympyrälieriön muotoista nestepatsasta.

V=\color{Green}Ah
V=AhV=\color{Green}Ah
m = \rho V
m=ρVm = \rho V

Nestepatsaan tilavuus

Nestepatsaan massa

m = \rho \color{Green}A h
m=ρAhm = \rho \color{Green}A h
||V=A h
∣∣V=Ah||V=A h

Nestepatsaan paino 

\color{Salmon}G=mg
G=mg\color{Salmon}G=mg
||m=\rho A h
∣∣m=ρAh||m=\rho A h
\color{Salmon}G=\rho\color{Green} A hg
G=ρAhg\color{Salmon}G=\rho\color{Green} A hg
\overline{G}
G‾\overline{G}
\color{Green}A
A\color{Green}A
h
hh

Hydrostaattinen paine

Nestepatsaan pohjaan kohdistuva paine

p=\dfrac{\rho\color{Green} A hg}{\color{Green}A}
p=ρAhgAp=\dfrac{\rho\color{Green} A hg}{\color{Green}A}
p=\dfrac{\color{Salmon}G}{\color{Green}A}
p=GAp=\dfrac{\color{Salmon}G}{\color{Green}A}
||G=\rho A hg
∣∣G=ρAhg||G=\rho A hg
p=\rho hg
p=ρhgp=\rho hg
\overline{G}
G‾\overline{G}
\color{Green}A
A\color{Green}A
h
hh

Hydrostaattinen paine

Hydrostaattinen paine on väliaineeseen kohdistuvan painon aiheuttama paine. 

p_{hydro}=\rho g h
phydro=ρghp_{hydro}=\rho g h
\rho
ρ\rho
h
hh

on aineen tiheys

on syvyys

g
gg

on putoamiskiihtyvyys

h
hh
p_0
p0p_0
p_{kok}=p_0+p_{hydro}
pkok=p0+phydrop_{kok}=p_0+p_{hydro}
=p_0 + \rho g h
=p0+ρgh=p_0 + \rho g h
\rho
ρ\rho
p_0
p0p_0

Esimerkki

Kyhmylyhtykrotti elää meressä 4000 metrin syvyydellä. Laske kyhmylyhtykrottiin kohdistuvan paineen suuruus.

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

h
hh
p_0
p0p_0
p_{kok}
pkokp_{kok}
h=4000 \text{ m}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2, \ p_0=101 \ 325 \text{ Pa}, \ \rho=1030 \text{ kg/m}^3
h=4000 m, g=9,81 m/s2, p0=101 325 Pa, ρ=1030 kg/m3h=4000 \text{ m}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2, \ p_0=101 \ 325 \text{ Pa}, \ \rho=1030 \text{ kg/m}^3

Lasketaan kalaan kohdistuva kokonaispaine, joka on hydrostaattisen paineen ja ilmanpaineen summa.

p_{kok}=\color{CornflowerBlue}{p_0}+p_{hydro}
pkok=p0+phydrop_{kok}=\color{CornflowerBlue}{p_0}+p_{hydro}
=\color{CornflowerBlue}{p_0}+\rho gh
=p0+ρgh=\color{CornflowerBlue}{p_0}+\rho gh
=101 \ 325 \text{ Pa}
=101 325 Pa=101 \ 325 \text{ Pa}
\approx 41 \text{ MPa}
≈41 MPa\approx 41 \text{ MPa}
+ 1030 \text{ kg/m}^3 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 4000 \text{ m}
+1030 kg/m3⋅9,81 m/s2⋅4000 m + 1030 \text{ kg/m}^3 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 4000 \text{ m}

Ratkaisu GeoGebralla

Yksikkösijoitus menee "nätisti", kun sijoittaa

p_0 = 101325*kg*m/s^2/m^2

eli pascalin määritelmän SI-järjestelmässä.

Esimerkki

Sukellusvene on 350 metrin syvyydessä. Sukellusveneen sisällä vallitsee normaali ilmanpaine. Kuinka suuri ja minkä suuntainen voima pitäisi vähintään kohdistaa sukellusveneen pelastautumisluukkuun, jotta luukku saadaan auki? Luukun koko on 0,75 neliömetriä?

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

h=350 \text{ m}, \ \rho=1030 \text{ kg/m}^3, \ g=9,81 \text{ m/s}^2,
h=350 m, ρ=1030 kg/m3, g=9,81 m/s2,h=350 \text{ m}, \ \rho=1030 \text{ kg/m}^3, \ g=9,81 \text{ m/s}^2,
\ p_0 = 101 \ 325 \text{ Pa}, \ A=0,75 \text{ m}^2
 p0=101 325 Pa, A=0,75 m2 \ p_0 = 101 \ 325 \text{ Pa}, \ A=0,75 \text{ m}^2
h
hh
p_0
p0p_0
p_{u}
pup_{u}
p_s
psp_s
\Delta p=\color{CornflowerBlue}{p_u}-\color{CornflowerBlue}{p_s}
Δp=pu−ps\Delta p=\color{CornflowerBlue}{p_u}-\color{CornflowerBlue}{p_s}
\Delta p=(\color{CornflowerBlue}{p_0}+\rho g h)-\color{CornflowerBlue}{p_0}
Δp=(p0+ρgh)−p0\Delta p=(\color{CornflowerBlue}{p_0}+\rho g h)-\color{CornflowerBlue}{p_0}
\Delta p=\rho g h
Δp=ρgh\Delta p=\rho g h

Lasketaan sukellusveneen ulko- ja sisäpuolen välinen paine-ero.

h
hh
\overline{F}_k
F‾k\overline{F}_k

Lasketaan paine-eron luukkuun aiheuttaman voiman suuruus.

\Delta p = \dfrac{\color{Salmon}{F_k}}{\color{Grey}A}
Δp=FkA\Delta p = \dfrac{\color{Salmon}{F_k}}{\color{Grey}A}

eli

\color{Salmon}{F_k}=\Delta p \cdot \color{Grey}A
Fk=Δp⋅A\color{Salmon}{F_k}=\Delta p \cdot \color{Grey}A

Ratkaisu

||\Delta p = \rho g h
∣∣Δp=ρgh||\Delta p = \rho g h
\color{Salmon}{F_k}=\rho g h \cdot \color{Grey}A
Fk=ρgh⋅A\color{Salmon}{F_k}=\rho g h \cdot \color{Grey}A
\color{Salmon}{F_k}=1030 \text{ kg/m}^3 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 350 \text{ m} \cdot 0,75 \text{ m}^2
Fk=1030 kg/m3⋅9,81 m/s2⋅350 m⋅0,75 m2\color{Salmon}{F_k}=1030 \text{ kg/m}^3 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 350 \text{ m} \cdot 0,75 \text{ m}^2
\color{Salmon}{F_k}=\Delta p \cdot \color{Grey}A
Fk=Δp⋅A\color{Salmon}{F_k}=\Delta p \cdot \color{Grey}A
\color{Salmon}{F_k} \approx 2,7 \text{ MN}
Fk≈2,7 MN\color{Salmon}{F_k} \approx 2,7 \text{ MN}
h
hh
\overline{F}_k
F‾k\overline{F}_k

Ulkoapäin kohdistuu 2,7 meganewtonin suuruinen voima.

Sisältä on kohdistettava vähintään yhtä suuri voima, jotta luukku saadaan avattua työntämällä.

Vastaus: 

Voiman suuruus on vähintään 2,7 meganewtonia ja sen suunta on sisältä ulospäin.

 

\overline{F}
F‾\overline{F}