Ominaislämpökapasiteetti

Q=cm\Delta T
Q=cmΔTQ=cm\Delta T

c on aineen ominaislämpökapasiteetti

Ominaislämpökapasiteetti (c) kuvaa 

  • kuinka paljon aineeseen sitoutuu
  • kuinka paljon aineesta vapautuu

lämpöenergiaa (Q) yhtä kilogrammaa ja yhden kelvinasteen lämpötilamuutosta kohti.

Q vapautuva/sitoutuva lämpöenergia

on aineen lämpötilamuutos

\Delta T
ΔT\Delta T
[c]=1 \ \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}
[c]=1 JkgK[c]=1 \ \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}

Ominaislämpökapasiteetti

Esimerkki

Järvivettä kannetaan saunan pesutupaan 30 l.

Kuinka paljon järviveteen pitää lisätä kiukaan vedenlämmittimestä+80 asteista vettä, jotta saadaan +37 asteista pesuvettä?

Järviveden lämpötila on +10 celsiusastetta.

lähde: Harvia.fi

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

c=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ m_0=30 \text{ kg}, \ t_{0}=10 \ ^\circ\text{C}, \ t_{1}=80 \ ^\circ \text{C}, \ t_2=37 \ ^\circ \text{C}
c=4,19kJkgK, m0=30 kg, t0=10 C, t1=80 C, t2=37 Cc=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ m_0=30 \text{ kg}, \ t_{0}=10 \ ^\circ\text{C}, \ t_{1}=80 \ ^\circ \text{C}, \ t_2=37 \ ^\circ \text{C}

Kuuman veden luovuttama lämpöenergia on yhtä suuri kuin kylmän veden vastaanottama lämpöenergia.

Tarkastellaan kuuman ja kylmän veden muodostamaa systeemiä eristettynä

Q_{\text{luovutettu}}=Q_\text{vastaanotettu}
Qluovutettu=QvastaanotettuQ_{\text{luovutettu}}=Q_\text{vastaanotettu}
Q_\text{vast}=cm\Delta T
Qvast=cmΔTQ_\text{vast}=cm\Delta T

Tapa I

Q_\text{vast}=4190 \frac{\text{J}}{\text{kg K}} \cdot 30 \text{ kg} \cdot 27 \text{ K}
Qvast=4190Jkg K30 kg27 KQ_\text{vast}=4190 \frac{\text{J}}{\text{kg K}} \cdot 30 \text{ kg} \cdot 27 \text{ K}
Q_\text{vast}=3 \ 393 \ 900 \text{ J}
Qvast=3 393 900 JQ_\text{vast}=3 \ 393 \ 900 \text{ J}
Q_{luov}=cm_1\Delta T_1
Qluov=cm1ΔT1Q_{luov}=cm_1\Delta T_1
m_1=\dfrac{Q_{\text{luov}}}{c\Delta T_1}
m1=QluovcΔT1m_1=\dfrac{Q_{\text{luov}}}{c\Delta T_1}
m_1=\dfrac{3 \ 393 \ 900 \text{ J}}{4190 \frac{\text{J}}{\text{ kg K}}\cdot 43 \text{ K}}
m1=3 393 900 J4190J kg K43 Km_1=\dfrac{3 \ 393 \ 900 \text{ J}}{4190 \frac{\text{J}}{\text{ kg K}}\cdot 43 \text{ K}}
m_1 = 18,8 \ldots \text{ kg} \approx 19 \text{ kg}
m1=18,8 kg19 kgm_1 = 18,8 \ldots \text{ kg} \approx 19 \text{ kg}

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

c=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ m_0=30 \text{ kg}, \ t_{0}=10 \ ^\circ\text{C}, \ t_{1}=80 \ ^\circ \text{C}, \ t_2=37 \ ^\circ \text{C}
c=4,19kJkgK, m0=30 kg, t0=10 C, t1=80 C, t2=37 Cc=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ m_0=30 \text{ kg}, \ t_{0}=10 \ ^\circ\text{C}, \ t_{1}=80 \ ^\circ \text{C}, \ t_2=37 \ ^\circ \text{C}

Kuuman veden luovuttama lämpöenergia on yhtä suuri kuin kylmän veden vastaanottama lämpöenergia.

Tarkastellaan kuuman ja kylmän veden muodostamaa systeemiä eristettynä

Q_{\text{luovutettu}}=Q_\text{vastaanotettu}
Qluovutettu=QvastaanotettuQ_{\text{luovutettu}}=Q_\text{vastaanotettu}
c\color{Goldenrod}{m_1}\Delta t_{12}=cm_0\Delta t_{02}
cm1Δt12=cm0Δt02c\color{Goldenrod}{m_1}\Delta t_{12}=cm_0\Delta t_{02}
||:c
:c||:c
\color{Goldenrod}{m_1}(t_1-t_2)=m_0(t_2-t_0)
m1(t1t2)=m0(t2t0)\color{Goldenrod}{m_1}(t_1-t_2)=m_0(t_2-t_0)
||:(t_1-t_2)
:(t1t2)||:(t_1-t_2)
\color{Goldenrod}{m_1}=m_0\dfrac{t_2-t_0}{t_1-t_2}
m1=m0t2t0t1t2\color{Goldenrod}{m_1}=m_0\dfrac{t_2-t_0}{t_1-t_2}
\color{Goldenrod}{m_1}=30 \text{ kg} \cdot \frac{37 \ ^\circ \text{C}-10 \ ^\circ \text{C}}{80\ ^\circ \text{C}-37 \ ^\circ \text{C}}
m1=30 kg37 C10 C80 C37 C\color{Goldenrod}{m_1}=30 \text{ kg} \cdot \frac{37 \ ^\circ \text{C}-10 \ ^\circ \text{C}}{80\ ^\circ \text{C}-37 \ ^\circ \text{C}}
\color{Goldenrod}{m_1} \approx 18,8 \text{ kg}
m118,8 kg\color{Goldenrod}{m_1} \approx 18,8 \text{ kg}

Vastaus: noin 19 litraa

Tapa II

Esimerkki

Kalorimetrissa on 600 grammaa vettä lämpötilassa +25,0 celsiuastetta.

Kalorimetrin lämpökapasiteetti on 120 J/K. Alumiinikappale, jonka massa on 220 grammaa, lämmitetään kiehuvassa vedessä.

Lämmityksen jälkeen alumiinikappale laitetaan kalorimetriin. 

Kalorimetrissä olevan veden ja alumiinikappaleen loppulämpötilaksi mitataan +30,2 celsiusastetta.

 

Laske alumiinin ominaislämpökapasiteetti.

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

m_v=0,600 \text{ kg}, \ m_a=0,220 \text{ kg}, \ C=120 \ \frac{\text{J}}{\text{K}}, \ c_v=4190 \ \frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}
mv=0,600 kg, ma=0,220 kg, C=120 JK, cv=4190 JkgKm_v=0,600 \text{ kg}, \ m_a=0,220 \text{ kg}, \ C=120 \ \frac{\text{J}}{\text{K}}, \ c_v=4190 \ \frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}

Tarkastellaan kalorimetrin, siellä olevan veden ja alumiinkappaleen muodostamaa systeemiä eristettynä.

Q_{\text{luovutettu}}=Q_\text{vastaanotettu}
Qluovutettu=QvastaanotettuQ_{\text{luovutettu}}=Q_\text{vastaanotettu}
c_am_a\Delta T_a=C\Delta T_v+c_vm_v\Delta T_v
camaΔTa=CΔTv+cvmvΔTvc_am_a\Delta T_a=C\Delta T_v+c_vm_v\Delta T_v
||:m_a\Delta T_a
:maΔTa||:m_a\Delta T_a
c_a=\dfrac{C\Delta T_v+c_vm_v\Delta T_v}{m_a\Delta T_a}
ca=CΔTv+cvmvΔTvmaΔTac_a=\dfrac{C\Delta T_v+c_vm_v\Delta T_v}{m_a\Delta T_a}
c_a=\dfrac{120\ \frac{\text{J}}{\text{K}}\cdot 5,2\text{ K}+4190 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\cdot 0,600 \text{ kg}\cdot 5,2\text{ K}}{0,220 \text{ kg} \cdot 69,8 \text{ K}}
ca=120 JK5,2 K+4190JkgK0,600 kg5,2 K0,220 kg69,8 Kc_a=\dfrac{120\ \frac{\text{J}}{\text{K}}\cdot 5,2\text{ K}+4190 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\cdot 0,600 \text{ kg}\cdot 5,2\text{ K}}{0,220 \text{ kg} \cdot 69,8 \text{ K}}
c_a \approx 890 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}
ca890JkgKc_a \approx 890 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}
\Delta t_v= 30,2\ ^\circ \text{C}-25,0 \ ^\circ \text{ C}
Δtv=30,2 C25,0  C\Delta t_v= 30,2\ ^\circ \text{C}-25,0 \ ^\circ \text{ C}
\Delta t_v=5,2\ ^\circ \text{C}
Δtv=5,2 C\Delta t_v=5,2\ ^\circ \text{C}
\Delta t_a=100\ ^\circ\text{C}-30,2 \ ^\circ \text{C}
Δta=100 C30,2 C\Delta t_a=100\ ^\circ\text{C}-30,2 \ ^\circ \text{C}
\Delta t_a=69,8 \ ^\circ \text{C}
Δta=69,8 C\Delta t_a=69,8 \ ^\circ \text{C}

kalorimetri, vesi lämpenevät

alumiini jäähtyy

Esimerkki

Sähkökiukaan teho on 6,0 kW. Kuinka kauan kestää lämmittää 21 kuutiometriä ilmaa +20 celsiuasteen lämpötilasta +80 celsiusasteeseen? Saunan lämpökapasiteetti on 180 kJ/K.

CC BY SA 3.0 Todtanis 

Ratkaisu

Kiukaan tekemä lämmitystyö on yhtä suuri kuin saunan ja saunassa olevan ilman vastaanottama lämpöenergia.

Kirjataan lähtöarvot

P=6000 \text{ W}, \ V=21 \text{ m}^3, \ \Delta T=60 \text{ K}, \ C=180 \ 000 \text{ J/K}, \ \rho=1,293 \text{ kg/m}^3, \ c=1010 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}
P=6000 W, V=21 m3, ΔT=60 K, C=180 000 J/K, ρ=1,293 kg/m3, c=1010JkgKP=6000 \text{ W}, \ V=21 \text{ m}^3, \ \Delta T=60 \text{ K}, \ C=180 \ 000 \text{ J/K}, \ \rho=1,293 \text{ kg/m}^3, \ c=1010 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}

Tarkastellaan kiuasta, saunaa ja saunassa olevaa ilmaa eristettynä systeeminä.

W=Q
W=QW=Q
P\color{Goldenrod}t=c\color{Salmon}m\Delta T+C\Delta T
Pt=cmΔT+CΔTP\color{Goldenrod}t=c\color{Salmon}m\Delta T+C\Delta T
P\color{Goldenrod}t=c\color{Salmon}{\rho V}\Delta T+C\Delta T
Pt=cρVΔT+CΔTP\color{Goldenrod}t=c\color{Salmon}{\rho V}\Delta T+C\Delta T
\color{Goldenrod}t=\dfrac{c\color{Salmon}{\rho V}\Delta T+C\Delta T}{P}
t=cρVΔT+CΔTP\color{Goldenrod}t=\dfrac{c\color{Salmon}{\rho V}\Delta T+C\Delta T}{P}
||\color{Salmon}{m=\rho V}
m=ρV||\color{Salmon}{m=\rho V}
||:P
:P||:P
\color{Goldenrod}t=\dfrac{c\color{Salmon}{\rho V}\Delta T+C\Delta T}{P}
t=cρVΔT+CΔTP\color{Goldenrod}t=\dfrac{c\color{Salmon}{\rho V}\Delta T+C\Delta T}{P}
\color{Goldenrod}t=\dfrac{1010 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\cdot 1,293 \text{ kg/m}^3 \cdot 21 \text{ m}^3 \cdot 80 \text{ K}+180000 \text{ J/K}\cdot 80 \text{ K}}{6000 \text{ W}}
t=1010JkgK1,293 kg/m321 m380 K+180000 J/K80 K6000 W\color{Goldenrod}t=\dfrac{1010 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\cdot 1,293 \text{ kg/m}^3 \cdot 21 \text{ m}^3 \cdot 80 \text{ K}+180000 \text{ J/K}\cdot 80 \text{ K}}{6000 \text{ W}}

Sijoitetaan tunnetut lukuarvot

\color{Goldenrod}t \approx 2766 \text{ s} \approx 46 \text{ min}
t2766 s46 min\color{Goldenrod}t \approx 2766 \text{ s} \approx 46 \text{ min}

Vastaus: Saunan lämmitykseen kuluu noin 46 minuuttia.

Fysiikan ylioppilaskoe

Syksy 2011 Tehtävä 3

Ratkaisu a-kohtaan

Oletetaan, että hauki on pääosin vettä.

Hauen lämpökapasiteetti saadaan laskettua 

\color{Salmon}C=\color{CornflowerBlue}cm
C=cm\color{Salmon}C=\color{CornflowerBlue}cm

Kirjataan lähtöarvot

c=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ m =1,8 \text{ kg}
c=4,19kJkgK, m=1,8 kgc=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ m =1,8 \text{ kg}
\color{Salmon}C=\color{CornflowerBlue}{4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}} \cdot 1,8 \text{ kg}
C=4,19kJkgK1,8 kg\color{Salmon}C=\color{CornflowerBlue}{4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}} \cdot 1,8 \text{ kg}
\color{Salmon}C \approx 7,5 \frac{\text{kJ}}{\text{K}}
C7,5kJK\color{Salmon}C \approx 7,5 \frac{\text{kJ}}{\text{K}}

            ominaislämpökapasiteetin avulla.

lämpökapasiteetti

veden

Ratkaisu b-kohtaan

Oletetaan, että mikroaaltouunin tekemä  lämmitystyö kuluu veden lämmittämiseen ja että lämpöhäviöitä ei ole.

Kirjataan lähtöarvot

P=750 \text{ W}, \ t=30 \text{ s}, \ m=0,20 \text{ kg}, \ c=4190 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}
P=750 W, t=30 s, m=0,20 kg, c=4190JkgKP=750 \text{ W}, \ t=30 \text{ s}, \ m=0,20 \text{ kg}, \ c=4190 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}
W=Q
W=QW=Q
Pt=cm\Delta T
Pt=cmΔTPt=cm\Delta T
||:cm
:cm||:cm
\Delta T=\dfrac{Pt}{cm}
ΔT=Ptcm\Delta T=\dfrac{Pt}{cm}
\Delta T=\dfrac{750 \text{W} \cdot 30 \text{ s}}{4190 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 0,200 \text{ kg}}
ΔT=750W30 s4190JkgK0,200 kg\Delta T=\dfrac{750 \text{W} \cdot 30 \text{ s}}{4190 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 0,200 \text{ kg}}
\Delta T\approx 27 \text{ K}
ΔT27 K\Delta T\approx 27 \text{ K}

Vesi lämpenee 27 celsiusastetta.

Vastaus:

Ratkaisu c-kohtaan

Oletetaan, että vesi ei vastaanota lämpöenergiaa ympäristöstä, mutta kykenee luovuttamaan lämpöenergiaa ympäristöön vapaasti.

1. Vesi kylmenee

2. Vesi jäätyy

3. Jää kylmenee

c_v=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{ K}}, \ \Delta T_v=20 \text{ K}
cv=4,19kJkg K, ΔTv=20 Kc_v=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{ K}}, \ \Delta T_v=20 \text{ K}
s=333 \ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}
s=333 kJkgs=333 \ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}
c_j=2,09 \ \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ \Delta T_j=18 \text{ K}
cj=2,09 kJkgK, ΔTj=18 Kc_j=2,09 \ \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ \Delta T_j=18 \text{ K}
Q_1=c_vm\Delta T_v
Q1=cvmΔTvQ_1=c_vm\Delta T_v
Q_2=sm
Q2=smQ_2=sm
Q_3=c_jm\Delta T_j
Q3=cjmΔTjQ_3=c_jm\Delta T_j
Q_{\text{kok}}=4,19\frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{ K}} \cdot 0,18 \text{ kg} \cdot 20 \text{ K} + 333 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}\cdot 0,18 \text{ kg}+2,09 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 0,18 \text{ kg} \cdot 18 \text{ K}
Qkok=4,19kJkg K0,18 kg20 K+333kJkg0,18 kg+2,09kJkgK0,18 kg18 KQ_{\text{kok}}=4,19\frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{ K}} \cdot 0,18 \text{ kg} \cdot 20 \text{ K} + 333 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}\cdot 0,18 \text{ kg}+2,09 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 0,18 \text{ kg} \cdot 18 \text{ K}
Q_\text{kok}=Q_1+Q_2+Q_3
Qkok=Q1+Q2+Q3Q_\text{kok}=Q_1+Q_2+Q_3
Q_\text{kok} \approx 82 \text{ kJ}
Qkok82 kJQ_\text{kok} \approx 82 \text{ kJ}

Vastaus: 

Vedestä on poistettava lämpöenergiaa noin 82 kJ.