Ominaislämpökapasiteetti

Q=cm\Delta T

c on aineen ominaislämpökapasiteetti

Ominaislämpökapasiteetti (c) kuvaa 

  • kuinka paljon aineeseen sitoutuu
  • kuinka paljon aineesta vapautuu

lämpöenergiaa (Q) yhtä kilogrammaa ja yhden kelvinasteen lämpötilamuutosta kohti.

Q vapautuva/sitoutuva lämpöenergia

on aineen lämpötilamuutos

\Delta T
[c]=1 \ \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}

Ominaislämpökapasiteetti

Esimerkki

Järvivettä kannetaan saunan pesutupaan 30 l.

Kuinka paljon järviveteen pitää lisätä kiukaan vedenlämmittimestä+80 asteista vettä, jotta saadaan +37 asteista pesuvettä?

Järviveden lämpötila on +10 celsiusastetta.

lähde: Harvia.fi

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

c=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ m_0=30 \text{ kg}, \ t_{0}=10 \ ^\circ\text{C}, \ t_{1}=80 \ ^\circ \text{C}, \ t_2=37 \ ^\circ \text{C}

Kuuman veden luovuttama lämpöenergia on yhtä suuri kuin kylmän veden vastaanottama lämpöenergia.

Tarkastellaan kuuman ja kylmän veden muodostamaa systeemiä eristettynä

Q_{\text{luovutettu}}=Q_\text{vastaanotettu}
Q_\text{vast}=cm\Delta T

Tapa I

Q_\text{vast}=4190 \frac{\text{J}}{\text{kg K}} \cdot 30 \text{ kg} \cdot 27 \text{ K}
Q_\text{vast}=3 \ 393 \ 900 \text{ J}
Q_{luov}=cm_1\Delta T_1
m_1=\dfrac{Q_{\text{luov}}}{c\Delta T_1}
m_1=\dfrac{3 \ 393 \ 900 \text{ J}}{4190 \frac{\text{J}}{\text{ kg K}}\cdot 43 \text{ K}}
m_1 = 18,8 \ldots \text{ kg} \approx 19 \text{ kg}

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

c=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ m_0=30 \text{ kg}, \ t_{0}=10 \ ^\circ\text{C}, \ t_{1}=80 \ ^\circ \text{C}, \ t_2=37 \ ^\circ \text{C}

Kuuman veden luovuttama lämpöenergia on yhtä suuri kuin kylmän veden vastaanottama lämpöenergia.

Tarkastellaan kuuman ja kylmän veden muodostamaa systeemiä eristettynä

Q_{\text{luovutettu}}=Q_\text{vastaanotettu}
c\color{Goldenrod}{m_1}\Delta t_{12}=cm_0\Delta t_{02}
||:c
\color{Goldenrod}{m_1}(t_1-t_2)=m_0(t_2-t_0)
||:(t_1-t_2)
\color{Goldenrod}{m_1}=m_0\dfrac{t_2-t_0}{t_1-t_2}
\color{Goldenrod}{m_1}=30 \text{ kg} \cdot \frac{37 \ ^\circ \text{C}-10 \ ^\circ \text{C}}{80\ ^\circ \text{C}-37 \ ^\circ \text{C}}
\color{Goldenrod}{m_1} \approx 18,8 \text{ kg}

Vastaus: noin 19 litraa

Tapa II

Esimerkki

Kalorimetrissa on 600 grammaa vettä lämpötilassa +25,0 celsiuastetta.

Kalorimetrin lämpökapasiteetti on 120 J/K. Alumiinikappale, jonka massa on 220 grammaa, lämmitetään kiehuvassa vedessä.

Lämmityksen jälkeen alumiinikappale laitetaan kalorimetriin. 

Kalorimetrissä olevan veden ja alumiinikappaleen loppulämpötilaksi mitataan +30,2 celsiusastetta.

 

Laske alumiinin ominaislämpökapasiteetti.

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

m_v=0,600 \text{ kg}, \ m_a=0,220 \text{ kg}, \ C=120 \ \frac{\text{J}}{\text{K}}, \ c_v=4190 \ \frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}

Tarkastellaan kalorimetrin, siellä olevan veden ja alumiinkappaleen muodostamaa systeemiä eristettynä.

Q_{\text{luovutettu}}=Q_\text{vastaanotettu}
c_am_a\Delta T_a=C\Delta T_v+c_vm_v\Delta T_v
||:m_a\Delta T_a
c_a=\dfrac{C\Delta T_v+c_vm_v\Delta T_v}{m_a\Delta T_a}
c_a=\dfrac{120\ \frac{\text{J}}{\text{K}}\cdot 5,2\text{ K}+4190 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\cdot 0,600 \text{ kg}\cdot 5,2\text{ K}}{0,220 \text{ kg} \cdot 69,8 \text{ K}}
c_a \approx 890 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}
\Delta t_v= 30,2\ ^\circ \text{C}-25,0 \ ^\circ \text{ C}
\Delta t_v=5,2\ ^\circ \text{C}
\Delta t_a=100\ ^\circ\text{C}-30,2 \ ^\circ \text{C}
\Delta t_a=69,8 \ ^\circ \text{C}

kalorimetri, vesi lämpenevät

alumiini jäähtyy

Esimerkki

Sähkökiukaan teho on 6,0 kW. Kuinka kauan kestää lämmittää 21 kuutiometriä ilmaa +20 celsiuasteen lämpötilasta +80 celsiusasteeseen? Saunan lämpökapasiteetti on 180 kJ/K.

CC BY SA 3.0 Todtanis 

Ratkaisu

Kiukaan tekemä lämmitystyö on yhtä suuri kuin saunan ja saunassa olevan ilman vastaanottama lämpöenergia.

Kirjataan lähtöarvot

P=6000 \text{ W}, \ V=21 \text{ m}^3, \ \Delta T=60 \text{ K}, \ C=180 \ 000 \text{ J/K}, \ \rho=1,293 \text{ kg/m}^3, \ c=1010 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}

Tarkastellaan kiuasta, saunaa ja saunassa olevaa ilmaa eristettynä systeeminä.

W=Q
P\color{Goldenrod}t=c\color{Salmon}m\Delta T+C\Delta T
P\color{Goldenrod}t=c\color{Salmon}{\rho V}\Delta T+C\Delta T
\color{Goldenrod}t=\dfrac{c\color{Salmon}{\rho V}\Delta T+C\Delta T}{P}
||\color{Salmon}{m=\rho V}
||:P
\color{Goldenrod}t=\dfrac{c\color{Salmon}{\rho V}\Delta T+C\Delta T}{P}
\color{Goldenrod}t=\dfrac{1010 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\cdot 1,293 \text{ kg/m}^3 \cdot 21 \text{ m}^3 \cdot 80 \text{ K}+180000 \text{ J/K}\cdot 80 \text{ K}}{6000 \text{ W}}

Sijoitetaan tunnetut lukuarvot

\color{Goldenrod}t \approx 2766 \text{ s} \approx 46 \text{ min}

Vastaus: Saunan lämmitykseen kuluu noin 46 minuuttia.

Fysiikan ylioppilaskoe

Syksy 2011 Tehtävä 3

Ratkaisu a-kohtaan

Oletetaan, että hauki on pääosin vettä.

Hauen lämpökapasiteetti saadaan laskettua 

\color{Salmon}C=\color{CornflowerBlue}cm

Kirjataan lähtöarvot

c=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ m =1,8 \text{ kg}
\color{Salmon}C=\color{CornflowerBlue}{4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}} \cdot 1,8 \text{ kg}
\color{Salmon}C \approx 7,5 \frac{\text{kJ}}{\text{K}}

            ominaislämpökapasiteetin avulla.

lämpökapasiteetti

veden

Ratkaisu b-kohtaan

Oletetaan, että mikroaaltouunin tekemä  lämmitystyö kuluu veden lämmittämiseen ja että lämpöhäviöitä ei ole.

Kirjataan lähtöarvot

P=750 \text{ W}, \ t=30 \text{ s}, \ m=0,20 \text{ kg}, \ c=4190 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}
W=Q
Pt=cm\Delta T
||:cm
\Delta T=\dfrac{Pt}{cm}
\Delta T=\dfrac{750 \text{W} \cdot 30 \text{ s}}{4190 \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 0,200 \text{ kg}}
\Delta T\approx 27 \text{ K}

Vesi lämpenee 27 celsiusastetta.

Vastaus:

Ratkaisu c-kohtaan

Oletetaan, että vesi ei vastaanota lämpöenergiaa ympäristöstä, mutta kykenee luovuttamaan lämpöenergiaa ympäristöön vapaasti.

1. Vesi kylmenee

2. Vesi jäätyy

3. Jää kylmenee

c_v=4,19 \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{ K}}, \ \Delta T_v=20 \text{ K}
s=333 \ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}
c_j=2,09 \ \frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}, \ \Delta T_j=18 \text{ K}
Q_1=c_vm\Delta T_v
Q_2=sm
Q_3=c_jm\Delta T_j
Q_{\text{kok}}=4,19\frac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{ K}} \cdot 0,18 \text{ kg} \cdot 20 \text{ K} + 333 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}}\cdot 0,18 \text{ kg}+2,09 \frac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 0,18 \text{ kg} \cdot 18 \text{ K}
Q_\text{kok}=Q_1+Q_2+Q_3
Q_\text{kok} \approx 82 \text{ kJ}

Vastaus: 

Vedestä on poistettava lämpöenergiaa noin 82 kJ.