Lämpölaajeneminen

Kaasun lämpötilan kasvaa

Rakenneosien keskimääräinen nopeus kasvaa

Kaasun paine kasvaa.

Ilmapallon tilavuus kasvaa

Kaasuissa

Lämpölaajeneminen

Kappaleen lämpötila kasvaa

Rakenneosat värähtelevät laajemmalla alueella

Keskimääräinen etäisyys viereisistä rakenneosista kasvaa

Kappaleen tilavuus kasvaa

Kiinteissä aineissa

Lämpenee

Pituuden lämpölaajeneminen

l=l_0(1+ \alpha \Delta T)
l=l0(1+αΔT)l=l_0(1+ \alpha \Delta T)
\Delta l=l_0\alpha \Delta T
Δl=l0αΔT\Delta l=l_0\alpha \Delta T

Uusi pituus

Pituuden muutos

l_0
l0l_0
\alpha
α\alpha
\Delta T
ΔT\Delta T

pituus aluksi

l
ll

pituus lopuksi

pituuden lämpötilakerroin

lämpötilan muutos

Kappaleen lämpölaajenemisesta aiheutuva pituuden muutos saadaan laskettua kaavalla:

Esimerkki

Eiffel-tornin korkeudeksi on 20,00 celsiusasteen lämpötilassa mitattu 320,0 metriä. Torni on valmistettu takoraudasta.

 

Laske Eiffel-tornin korkeus talvella, kun pariisissa lämpötila on -10,00 celsiusastetta.

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

l
ll
l_0
l0l_0
\Delta l
Δl\Delta l
l=l_0(1+ \alpha \Delta T)
l=l0(1+αΔT)l=l_0(1+ \alpha \Delta T)
l_0=320,0 \text{ m},
l0=320,0 m,l_0=320,0 \text{ m},
\ \Delta t=-10^\circ\text{ C}-20^\circ \text{ C}=-30^\circ \text{ C},
 Δt=−10∘ C−20∘ C=−30∘ C,\ \Delta t=-10^\circ\text{ C}-20^\circ \text{ C}=-30^\circ \text{ C},
\alpha = 12 \cdot 10^{-6} \frac{1}{\text{K}}
α=12⋅10−61K\alpha = 12 \cdot 10^{-6} \frac{1}{\text{K}}

Lämpötilan muutos on yhtä suuri kelvin- ja celsiusasteina.

\Delta T =- 30 \text{ K}
ΔT=−30 K\Delta T =- 30 \text{ K}

Sijoitetaan lukuarvot pituuden lämpötilamuutoksen  kaavaan.

l=320 \text{ m} \cdot (1+ 12 \cdot 10^{-6} \frac{1}{\text{m}}\cdot (-30 \text{ K}))
l=320 m⋅(1+12⋅10−61m⋅(−30 K))l=320 \text{ m} \cdot (1+ 12 \cdot 10^{-6} \frac{1}{\text{m}}\cdot (-30 \text{ K}))
l \approx 319,9 \text{ m}
l≈319,9 ml \approx 319,9 \text{ m}

Esimerkki

Fysiikan ylioppilaskoe kevät 2007

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

Piirretään kuva tilanteesta.

d_T
dTd_T
d_M
dMd_M
t_0=21,5^\circ \text{ C},
t0=21,5∘ C,t_0=21,5^\circ \text{ C},
d_{T0}=25,220 \text{ mm}, \ \alpha_T=12\cdot 10^{-6} \text{ 1/K}
dT0=25,220 mm, αT=12⋅10−6 1/Kd_{T0}=25,220 \text{ mm}, \ \alpha_T=12\cdot 10^{-6} \text{ 1/K}
d_{M0}=25,232 \text{ mm}, \ \alpha_M = 21\cdot 10^{-6} \text{ 1/K}
dM0=25,232 mm, αM=21⋅10−6 1/K d_{M0}=25,232 \text{ mm}, \ \alpha_M = 21\cdot 10^{-6} \text{ 1/K}

Rajatilanteessa messinkikuulan halkaisija on yhtä suuri kuin teräslevyn reiän.

d_T = d_M
dT=dMd_T = d_M
d_{T0}(1+\alpha_T \color{CornflowerBlue}{\Delta T})=d_{M0}(1+\alpha_M \color{CornflowerBlue}{\Delta T})
dT0(1+αTΔT)=dM0(1+αMΔT)d_{T0}(1+\alpha_T \color{CornflowerBlue}{\Delta T})=d_{M0}(1+\alpha_M \color{CornflowerBlue}{\Delta T})
d_{T0}+d_{T0}\alpha_T \color{CornflowerBlue}{\Delta T}=d_{M0}+d_{M0}\alpha_M \color{CornflowerBlue}{\Delta T}
dT0+dT0αTΔT=dM0+dM0αMΔTd_{T0}+d_{T0}\alpha_T \color{CornflowerBlue}{\Delta T}=d_{M0}+d_{M0}\alpha_M \color{CornflowerBlue}{\Delta T}
d_{T0}\alpha_T\ \color{CornflowerBlue}{\Delta T}-d_{M0}\alpha_M \color{CornflowerBlue}{\Delta T}=d_{M0}-d_{T0}
dT0αT ΔT−dM0αMΔT=dM0−dT0d_{T0}\alpha_T\ \color{CornflowerBlue}{\Delta T}-d_{M0}\alpha_M \color{CornflowerBlue}{\Delta T}=d_{M0}-d_{T0}
\color{CornflowerBlue}{\Delta T}(d_{T0}\alpha_T-d_{M0}\alpha_M)=d_{M0}-d_{T0}
ΔT(dT0αT−dM0αM)=dM0−dT0 \color{CornflowerBlue}{\Delta T}(d_{T0}\alpha_T-d_{M0}\alpha_M)=d_{M0}-d_{T0}
\color{CornflowerBlue}{\Delta T}=\dfrac{d_{M0}-d_{T0}}{d_{T0}\alpha_T-d_{M0}\alpha_M}
ΔT=dM0−dT0dT0αT−dM0αM \color{CornflowerBlue}{\Delta T}=\dfrac{d_{M0}-d_{T0}}{d_{T0}\alpha_T-d_{M0}\alpha_M}

Messinkikuulan ja teräslevyn lämpötilan muutos          on yhtä suuri.

\Delta T
ΔT\Delta T

Sijoitetaan lukuarvot

\color{CornflowerBlue}{\Delta T}=\dfrac{d_{M0}-d_{T0}}{d_{T0}\alpha_T-d_{M0}\alpha_M}
ΔT=dM0−dT0dT0αT−dM0αM \color{CornflowerBlue}{\Delta T}=\dfrac{d_{M0}-d_{T0}}{d_{T0}\alpha_T-d_{M0}\alpha_M}
\color{CornflowerBlue}{\Delta T}=\dfrac{25,232 \text{ mm}-25,220 \text{ mm}}{25,220 \text{ mm} \cdot 12\cdot 10^{-6} \text{ 1/K} -25,232 \text{ mm} \cdot 21 \cdot 10^{-6} \text{ 1/K}}
ΔT=25,232 mm−25,220 mm25,220 mm⋅12⋅10−6 1/K−25,232 mm⋅21⋅10−6 1/K \color{CornflowerBlue}{\Delta T}=\dfrac{25,232 \text{ mm}-25,220 \text{ mm}}{25,220 \text{ mm} \cdot 12\cdot 10^{-6} \text{ 1/K} -25,232 \text{ mm} \cdot 21 \cdot 10^{-6} \text{ 1/K}}
\color{CornflowerBlue}{\Delta T}\approx - 52,8 \text{ K}
ΔT≈−52,8 K \color{CornflowerBlue}{\Delta T}\approx - 52,8 \text{ K}

Ratkaistaan lämpötila lopuksi.

\Delta t = t_1 - t_0
Δt=t1−t0\Delta t = t_1 - t_0
t_1 = \Delta t +t_0
t1=Δt+t0t_1 = \Delta t +t_0
t_1 = -52,8^\circ \text{C}+21,5^\circ \text{C}
t1=−52,8∘C+21,5∘Ct_1 = -52,8^\circ \text{C}+21,5^\circ \text{C}
t_1 = -31,3^\circ \text{C}
t1=−31,3∘Ct_1 = -31,3^\circ \text{C}

Kuula ja levy pitää jäähdyttää -31,3 celsiusasteeseen.

d_T
dTd_T
d_M
dMd_M

Vastaus: