Esimerkki

Jousta, jonka jousivakio on 20 N/m, venytetään 5,0 cm. Kuinka suuri on jousen jousivoima on?

 

Samaa jousta puristetaan kasaan 5,0 cm.

Kuinka suuri jousen jousivoima on?

a)

b)

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

\color{CornflowerBlue}{\Delta x_1}=5,0 \text{ cm}
Δx1=5,0 cm\color{CornflowerBlue}{\Delta x_1}=5,0 \text{ cm}
\color{Goldenrod}{\Delta x_2}=-5,0 \text{ cm}
Δx2=−5,0 cm\color{Goldenrod}{\Delta x_2}=-5,0 \text{ cm}
F=-kx
F=−kxF=-kx

Jousivoiman suuruus saadaan laskettua käyttämällä Hooken lakia                    .

\color{Salmon}{F_1}=-20 \text{ N/m} \cdot \color{CornflowerBlue}{0,05 \text{ m}}
F1=−20 N/m⋅0,05 m\color{Salmon}{F_1}=-20 \text{ N/m} \cdot \color{CornflowerBlue}{0,05 \text{ m}}
\color{Salmon}{F_2}=-20 \text{ N/m} \cdot (- \color{Goldenrod}{0,05 \text{ m}})
F2=−20 N/m⋅(−0,05 m)\color{Salmon}{F_2}=-20 \text{ N/m} \cdot (- \color{Goldenrod}{0,05 \text{ m}})
k=20 \text{ N/m}
k=20 N/mk=20 \text{ N/m}
\color{Salmon}{F_1}=-1,0 \text{ N}
F1=−1,0 N\color{Salmon}{F_1}=-1,0 \text{ N}
\color{Salmon}{F_2}=1,0 \text{ N}
F2=1,0 N\color{Salmon}{F_2}=1,0 \text{ N}

+

Esimerkki

Kevyeen jouseen ripustetaan punnus, jonka massa on 250 g, jolloin jousi venyy 7,3 cm.

Määritä jousen jousivakio.

Ratkaisu

\overline{F}
F‾\overline{F}
\overline{G}
G‾\overline{G}

Jousi on tasapainossa etenemisen suhteen, joten Newtonin 2. lain mukaan

Kirjataan lähtöarvot

x=7,3 \text{ cm}, \ m=0,250 \text{ kg}
x=7,3 cm, m=0,250 kgx=7,3 \text{ cm}, \ m=0,250 \text{ kg}
\sum \overline{F}=\overline{0}.
∑F‾=0‾.\sum \overline{F}=\overline{0}.
\sum \overline{F}=\overline{0}
∑F‾=0‾\sum \overline{F}=\overline{0}
\color{Salmon}{\overline{F}}+\color{CornflowerBlue}{\overline{G}}=\overline{0}
F‾+G‾=0‾\color{Salmon}{\overline{F}}+\color{CornflowerBlue}{\overline{G}}=\overline{0}
\color{Salmon}F-\color{CornflowerBlue}G=0
F−G=0\color{Salmon}F-\color{CornflowerBlue}G=0
k\color{Goldenrod}x-mg=0
kx−mg=0k\color{Goldenrod}x-mg=0
k\color{Goldenrod}x=mg
kx=mgk\color{Goldenrod}x=mg
k=\dfrac{mg}{\color{Goldenrod}x}
k=mgxk=\dfrac{mg}{\color{Goldenrod}x}
||F=kx, \ G=mg
∣∣F=kx, G=mg||F=kx, \ G=mg
||:x
∣∣:x||:x

+

\overline{F}
F‾\overline{F}
\overline{G}
G‾\overline{G}

Sijoitetaan tunnetut lukuarvot.

k=\dfrac{mg}{\color{Goldenrod}x}
k=mgxk=\dfrac{mg}{\color{Goldenrod}x}
k=\dfrac{0,250 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2}{0,073 \text{ m}}
k=0,250 kg⋅9,81 m/s20,073 mk=\dfrac{0,250 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2}{0,073 \text{ m}}
k \approx 0,34 \text{ N/m}
k≈0,34 N/mk \approx 0,34 \text{ N/m}

Fysiikan ylioppilaskoe, Kevät 2000

Tehtävä 5a.

Kun kaksi kappaletta ripustetaan jouseen kuvion mukaisesti, jousi venyy 128 mm. Kappaleita yhdistävä lanka poltetaan poikki.

 

a) Kuinka suurella kiihtyvyydellä kappaleet lähtevät liikkeelle?

Ratkaisu A-kohtaan

Kirjataan lähtöarvot

x=0,128 \text{ m}, \ m_1=0,52 \text{ kg}, \ m_2 = 0,22 \text{ kg}
x=0,128 m, m1=0,52 kg, m2=0,22 kgx=0,128 \text{ m}, \ m_1=0,52 \text{ kg}, \ m_2 = 0,22 \text{ kg}

Tarkastellaan punnuksien muodostamaa systeemiä.

Piirretään kuva tilanteesta.

Punnuksien muodostama systeemi on aluksi levossa, joten Newtonin 2. lain mukaan

\sum \overline{F}=\overline{0}
∑F‾=0‾\sum \overline{F}=\overline{0}
\color{Salmon}{\overline{F}}\color{Grey}+\overline{G}_{kok}\color{Grey}{=\overline{0}}
F‾+G‾kok=0‾\color{Salmon}{\overline{F}}\color{Grey}+\overline{G}_{kok}\color{Grey}{=\overline{0}}
\color{Salmon}{F}\color{Grey}-G_{kok}\color{Grey}{=0}
F−Gkok=0\color{Salmon}{F}\color{Grey}-G_{kok}\color{Grey}{=0}
\color{Salmon}{F}\color{Grey}=G_{kok}
F=Gkok\color{Salmon}{F}\color{Grey}=G_{kok}
\Big|\Big|
∣∣\Big|\Big|
F=kx
F=kxF=kx
G_{kok}=(m_1+m_2)g
Gkok=(m1+m2)gG_{kok}=(m_1+m_2)g

Punnuksien muodostamaan systeemiin kohdistuu ainoastaan kohti tasapainoasemaa suuntautuva 

        paino.

k \color{Orange}x=(m_1+m_2)g
kx=(m1+m2)gk \color{Orange}x=(m_1+m_2)g
||:x
∣∣:x||:x
k=\dfrac{(m_1+m_2)g}{\color{Orange}x}
k=(m1+m2)gxk=\dfrac{(m_1+m_2)g}{\color{Orange}x}

jousivoima 

sekä

\overline{F}
F‾\overline{F}
\overline{G}_{kok}
G‾kok\overline{G}_{kok}

Sijoitetaan lukuarvot ja lasketaan jousivakion suuruus.

k=\dfrac{(m_1+m_2)g}{\color{Orange}x}
k=(m1+m2)gxk=\dfrac{(m_1+m_2)g}{\color{Orange}x}
k=\dfrac{(0,52 \text{ kg} + 0,22 \text{ kg})\cdot 9,81 \text{ m/s}^2}{\color{Orange}{0,128 \text{ m}}}
k=(0,52 kg+0,22 kg)⋅9,81 m/s20,128 mk=\dfrac{(0,52 \text{ kg} + 0,22 \text{ kg})\cdot 9,81 \text{ m/s}^2}{\color{Orange}{0,128 \text{ m}}}
k\approx 56,714 \text{ N/m}
k≈56,714 N/mk\approx 56,714 \text{ N/m}
\overline{F}
F‾\overline{F}
\overline{G}_{kok}
G‾kok\overline{G}_{kok}

Tarkastellaan tilannetta, kun punnuksien välissä oleva lanka poltetaan poikki.

Punnukseen 1 kohdistuu jousen jousivoima 

sekä punnuksen 1 paino.

Huom! Jousivoiman suuruus ei ole muuttunut!

Punnus 1 on kiihtyvässä liikkeessä ylöspäin, joten Newtonin 2. lain mukaan

\color{Grey}{\sum \overline{F}=m_1}\overline{a}
∑F‾=m1a‾\color{Grey}{\sum \overline{F}=m_1}\overline{a}
\color{Salmon}{\overline{F}}\color{Grey}+\color{CornflowerBlue}{\overline{G}_1}\color{Grey}{=m_1}\overline{a}
F‾+G‾1=m1a‾\color{Salmon}{\overline{F}}\color{Grey}+\color{CornflowerBlue}{\overline{G}_1}\color{Grey}{=m_1}\overline{a}
\color{Salmon}{F}\color{Grey}-\color{CornflowerBlue}{G}\color{Grey}{=m_1}a
F−G=m1a\color{Salmon}{F}\color{Grey}-\color{CornflowerBlue}{G}\color{Grey}{=m_1}a
\color{Grey}k\color{Orange}x\color{Grey}{-m_1g}\color{Grey}{=m_1}a
kx−m1g=m1a\color{Grey}k\color{Orange}x\color{Grey}{-m_1g}\color{Grey}{=m_1}a
\Big|\Big|
∣∣\Big|\Big|
F=kx
F=kxF=kx
G_{1}=m_1g
G1=m1gG_{1}=m_1g
\overline{F}
F‾\overline{F}
\overline{G}_{1}
G‾1\overline{G}_{1}
\overline{a}
a‾\overline{a}
\overline{F}
F‾\overline{F}
\overline{G}_{1}
G‾1\overline{G}_{1}
\overline{a}
a‾\overline{a}
\color{Grey}k\color{Orange}x\color{Grey}{-m_1g}\color{Grey}{=m_1}a
kx−m1g=m1a\color{Grey}k\color{Orange}x\color{Grey}{-m_1g}\color{Grey}{=m_1}a
||:m_1
∣∣:m1||:m_1
a\color{Grey}=\color{Grey}{\dfrac{\color{Grey}k\color{Orange}x\color{Grey}{-m_1g}\color{Grey}{}}{m_1}}
a=kx−m1gm1a\color{Grey}=\color{Grey}{\dfrac{\color{Grey}k\color{Orange}x\color{Grey}{-m_1g}\color{Grey}{}}{m_1}}
a\color{Grey}=\color{Grey}{\dfrac{56,714 \text{ N/m} \cdot 0,128 \text{ m} -0,52 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 }{0,52 \text{ kg}}}
a=56,714 N/m⋅0,128 m−0,52 kg⋅9,81 m/s20,52 kga\color{Grey}=\color{Grey}{\dfrac{56,714 \text{ N/m} \cdot 0,128 \text{ m} -0,52 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 }{0,52 \text{ kg}}}
a\color{Grey}{\approx 4,2 \text{ m/s}^2}
a≈4,2 m/s2a\color{Grey}{\approx 4,2 \text{ m/s}^2}

Vastaus:

Punnuksen 1 kiihtyvyys on noin 4,2 m/s  ja suunta ylöspäin.

2

Punnus 2 on vapaassa pudotuksessa.

Sen kiihtyvyys on noin 9,81 m/s  ja suunta alaspäin.

2