Vino heittoliike

Alkunopeus

\color{CornflowerBlue}{v_{0x}} =\color{Salmon}{v_0} \cos \alpha
v0x=v0cos⁡α\color{CornflowerBlue}{v_{0x}} =\color{Salmon}{v_0} \cos \alpha
\color{CornflowerBlue}{v_{0y}} =\color{Salmon}{v_0} \sin \alpha
v0y=v0sin⁡α\color{CornflowerBlue}{v_{0y}} =\color{Salmon}{v_0} \sin \alpha

Vino heittoliike

Nopeus 

\color{CornflowerBlue}{v_x} =\color{CornflowerBlue}{v_{0x}}
vx=v0x\color{CornflowerBlue}{v_x} =\color{CornflowerBlue}{v_{0x}}
\color{CornflowerBlue}{v_y} =\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}-gt
vy=v0y−gt\color{CornflowerBlue}{v_y} =\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}-gt

Nopeus 

\color{CornflowerBlue}{v_x} = \color{Salmon}{v_{0}} \cos \alpha
vx=v0cos⁡α\color{CornflowerBlue}{v_x} = \color{Salmon}{v_{0}} \cos \alpha
\color{CornflowerBlue}{v_y} =\color{Salmon}{v_0} \sin \alpha-gt
vy=v0sin⁡α−gt\color{CornflowerBlue}{v_y} =\color{Salmon}{v_0} \sin \alpha-gt

josta saadaan

Lakikorkeus ja nousuaika

Pallon nopeus pienenee, kunnes pallo saavuttaa lakikorkeuden.

Lakikorkeudessa pallon nopeuden y-suuntainen komponentti on hetkellisesti nolla.

Ratkaistaan pallon nousuaika.

\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}-gt_n=0
v0y−gtn=0\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}-gt_n=0
t_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}}{g}
tn=v0ygt_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}}{g}

Esimerkki

Tarmokas hyönteiskunnan voimanpesä kaskas kykenee hyppäämään 70 cm suoraan ylöspäin.

Mikä on kaskaksen suurin lähtönopeus?

Kuinka pitkälle kaskas pystyy hyppäämään?

a)

b)

Ratkaisu a-kohtaan

Kirjataan lähtöarvot

\color{Goldenrod}h=0,70 \text{ m}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2
h=0,70 m, g=9,81 m/s2\color{Goldenrod}h=0,70 \text{ m}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2

Oletetaan, että ilmanvastus on mitätön.

Lakikorkeudella

v_y = 0 \text{ m/s}.
vy=0 m/s.v_y = 0 \text{ m/s}.

Ratkaistaan nousuaika

t_n
tnt_n
v_0-gt_n=0
v0−gtn=0v_0-gt_n=0
t_n = \dfrac{v_0}{g}
tn=v0gt_n = \dfrac{v_0}{g}

1.

v_y=0
vy=0v_y=0

Ötökän liike on tasaisesti kiihtyvää. Ratkaistaan ötökän alkunopeus.

h=v_0 t_n - \dfrac{1}{2}gt_n^2
h=v0tn−12gtn2h=v_0 t_n - \dfrac{1}{2}gt_n^2
h=v_0 \big( \dfrac{v_0}{g}\big) - \dfrac{1}{2}g\big( \dfrac{v_0}{g} \big)^2
h=v0(v0g)−12g(v0g)2h=v_0 \big( \dfrac{v_0}{g}\big) - \dfrac{1}{2}g\big( \dfrac{v_0}{g} \big)^2
h=\dfrac{v_0^2}{g}-\dfrac{v_0^2}{2g}
h=v02g−v022gh=\dfrac{v_0^2}{g}-\dfrac{v_0^2}{2g}
h=\dfrac{v_0^2}{2g}
h=v022gh=\dfrac{v_0^2}{2g}
||t_n = \frac{v_0}{g}
∣∣tn=v0g||t_n = \frac{v_0}{g}

2.

v_0 = \sqrt{2gh}
v0=2ghv_0 = \sqrt{2gh}

, josta

Hmm...keksitkö toista tapaa ratkaista lähtönopeuden?

v_0 = \sqrt{2\cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 0,70 \text{ m}}
v0=2⋅9,81 m/s2⋅0,70 mv_0 = \sqrt{2\cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 0,70 \text{ m}}
\approx 3,7 \text{ m/s}
≈3,7 m/s\approx 3,7 \text{ m/s}
v_x= \color{CornflowerBlue}{v_0} \cos \color{Salmon}\alpha
vx=v0cos⁡αv_x= \color{CornflowerBlue}{v_0} \cos \color{Salmon}\alpha
v_y= \color{CornflowerBlue}{v_0} \sin \color{Salmon}\alpha - gt
vy=v0sin⁡α−gtv_y= \color{CornflowerBlue}{v_0} \sin \color{Salmon}\alpha - gt

Nopeuden x- ja y-suuntaiset komponentit

Lakikorkeudella

v_y = 0 \text{ m/s}.
vy=0 m/s.v_y = 0 \text{ m/s}.

Ratkaistaan nousuaika

t_n
tnt_n
\color{CornflowerBlue}{v_0} \sin \color{Salmon}\alpha - gt_n=0
v0sin⁡α−gtn=0\color{CornflowerBlue}{v_0} \sin \color{Salmon}\alpha - gt_n=0
t_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{v_0} \sin \color{Salmon}\alpha}{g}
tn=v0sin⁡αgt_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{v_0} \sin \color{Salmon}\alpha}{g}

Kantama on suurin, kun 

\color{Salmon}\alpha=45^{\circ}
α=45∘\color{Salmon}\alpha=45^{\circ}

1.

2.

3.

t_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{3,71 \text{ m/s}}\cdot \sin \color{Salmon}{45^{\circ}}}{9,81 \text{ m/s}^2}
tn=3,71 m/s⋅sin⁡45∘9,81 m/s2t_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{3,71 \text{ m/s}}\cdot \sin \color{Salmon}{45^{\circ}}}{9,81 \text{ m/s}^2}
t_n \approx 0,267 \text{ s}
tn≈0,267 st_n \approx 0,267 \text{ s}

Ratkaisu b-kohtaan

5.

||v_x = v_0 \cos \alpha
∣∣vx=v0cos⁡α||v_x = v_0 \cos \alpha

Vaakasuunnassa ötökän liike on tasaista

\color{Goldenrod}{\Delta x} = v_ x \cdot t_l
Δx=vx⋅tl\color{Goldenrod}{\Delta x} = v_ x \cdot t_l
\color{Goldenrod}{\Delta x} = v_0 \cos \alpha \cdot t_l
Δx=v0cos⁡α⋅tl\color{Goldenrod}{\Delta x} = v_0 \cos \alpha \cdot t_l

4.

Lentoaika on

t_l = 2 t_n
tl=2tnt_l = 2 t_n
= 2 \cdot 0,267 \text{ s}=0,534 \text{ s}
=2⋅0,267 s=0,534 s = 2 \cdot 0,267 \text{ s}=0,534 \text{ s}
\color{Goldenrod}{\Delta x} = 3,71 \text{ m/s} \cdot \cos 45^{\circ} \cdot 0,534 \text{ s}
Δx=3,71 m/s⋅cos⁡45∘⋅0,534 s\color{Goldenrod}{\Delta x} = 3,71 \text{ m/s} \cdot \cos 45^{\circ} \cdot 0,534 \text{ s}
\color{Goldenrod}{\Delta x} \approx 1,4 \text{ m}
Δx≈1,4 m\color{Goldenrod}{\Delta x} \approx 1,4 \text{ m}

Esimerkki

Kanuunankuulan lähtönopeus on 300 m/s.

Kanuunaa korotetaan 30 astetta. Kuinka pitkälle kanuunankuula lentää?

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

Piirretään kuva tilanteesta.

\color{CornflowerBlue}{v_0} = 300 \text{ m/s}, \ \color{Salmon}\alpha=30^{\circ}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2
v0=300 m/s, α=30∘, g=9,81 m/s2\color{CornflowerBlue}{v_0} = 300 \text{ m/s}, \ \color{Salmon}\alpha=30^{\circ}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2

Lakikorkeudella

\color{CornflowerBlue}{v_y}=0.
vy=0.\color{CornflowerBlue}{v_y}=0.
\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}-gt_n=0
v0y−gtn=0\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}-gt_n=0
t_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}}{g}
tn=v0ygt_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}}{g}

Jaetaan lähtönopeus x- ja y-suuntaisiin komponentteihin.

\color{CornflowerBlue}{v_{0x}}=\color{CornflowerBlue}{v_0}\cos \color{Salmon}\alpha
v0x=v0cos⁡α\color{CornflowerBlue}{v_{0x}}=\color{CornflowerBlue}{v_0}\cos \color{Salmon}\alpha
\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}=\color{CornflowerBlue}{v_0}\sin \color{Salmon}\alpha
v0y=v0sin⁡α\color{CornflowerBlue}{v_{0y}}=\color{CornflowerBlue}{v_0}\sin \color{Salmon}\alpha

Ratkaistaan nousuaika

t_n.
tn.t_n.
t_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{v_{0}}\sin \color{Salmon}\alpha}{g}
tn=v0sin⁡αgt_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{v_{0}}\sin \color{Salmon}\alpha}{g}
t_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{300 \text{ m/s}} \cdot \sin \color{Salmon}{30^{\circ}}}{9,81 \text{ m/s}^2}
tn=300 m/s⋅sin⁡30∘9,81 m/s2t_n = \dfrac{\color{CornflowerBlue}{300 \text{ m/s}} \cdot \sin \color{Salmon}{30^{\circ}}}{9,81 \text{ m/s}^2}
t_n \approx 15,3 \text{ s}
tn≈15,3 st_n \approx 15,3 \text{ s}

1.

2.

\Delta x = \color{CornflowerBlue}{v_x} \cdot t_l
Δx=vx⋅tl\Delta x = \color{CornflowerBlue}{v_x} \cdot t_l

3.

t_l = 2 t_n
tl=2tnt_l = 2 t_n

Ratkaistaan lentoaika

t_l = 2 \cdot 15,3 \text{ s}
tl=2⋅15,3 st_l = 2 \cdot 15,3 \text{ s}
t_l = 30,6 \text{ s}
tl=30,6 st_l = 30,6 \text{ s}

4.

Kuulan liike x-suunnassa on tasaista.

\Delta x = \color{CornflowerBlue}{v_{0x}} \cdot t_l
Δx=v0x⋅tl\Delta x = \color{CornflowerBlue}{v_{0x}} \cdot t_l
\Delta x = \color{CornflowerBlue}{v_{0}}\cos \color{Salmon}{\alpha} \cdot t_l
Δx=v0cos⁡α⋅tl\Delta x = \color{CornflowerBlue}{v_{0}}\cos \color{Salmon}{\alpha} \cdot t_l
\Delta x = \color{CornflowerBlue}{300 \text{ m/s}} \cdot \cos \color{Salmon}{30^{\circ}} \cdot 30,6 \text{ s}
Δx=300 m/s⋅cos⁡30∘⋅30,6 s\Delta x = \color{CornflowerBlue}{300 \text{ m/s}} \cdot \cos \color{Salmon}{30^{\circ}} \cdot 30,6 \text{ s}
\Delta x \approx 7950 \text{ m}
Δx≈7950 m\Delta x \approx 7950 \text{ m}

Vastaus:

Kuula lentää 8,0 km päähän