Fysiikan ylioppilaskoe kevät 2007

Ratkaisu a-kohtaan

Kappaleen massa m kuvaa kappaleen kykyä vastustaa etenemisliikkeen muutosta.

\sum \overline{F}=m\overline{a}
∑F‾=ma‾\sum \overline{F}=m\overline{a}
m_1
m1m_1
m_2
m2m_2

Jos molempiin kappaleisiin vaikuttaa yhtä suuri voima, niin kevyemmän kappaleen kiihtyvyys on suurempi.

Kappaleen hitausmomentti J kuvaa kappaleen kykyä vastustaa pyörimisliikkeen muutosta tietyn akselin suhteen.

\sum M=J\alpha
∑M=Jα\sum M=J\alpha
J_1
J1J_1
J_2
J2J_2

Jos molempiin kappaleisiin vaikuttaa yhtä suuri momentti, niin kappaleella jolla on pienempi hitausmomentti on suurempi kulmakiihtyvyys.

Hitausmomentti J riippuu kappaleen massasta ja massan jakautumisesta  pyörimisakselin suhteen.

J=\sum mr^2
J=∑mr2J=\sum mr^2
J_1
J1J_1
J_2
J2J_2

Esim.

J=\dfrac{1}{2}mr^2
J=12mr2J=\dfrac{1}{2}mr^2

Umpinaisen sylinterin tai ympyrälevyn hitausmomentti

Ratkaisu b-kohtaan

Kirjataan lähtöarvot

r=0,30 \text{ m}, \ m=48 \text{ kg}, \ \color{Goldenrod}{a}=6,1 \text{ m/s}^2, g=9,81 \text{m/s}^2
r=0,30 m, m=48 kg, a=6,1 m/s2,g=9,81m/s2r=0,30 \text{ m}, \ m=48 \text{ kg}, \ \color{Goldenrod}{a}=6,1 \text{ m/s}^2, g=9,81 \text{m/s}^2

Rattaan pyörimisen liikeyhtälön

\sum M=J\color{Goldenrod}{\alpha}
∑M=Jα\sum M=J\color{Goldenrod}{\alpha}

Punnuksen liikeyhtälö

\text{NII } \sum \overline{F}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}}
NII ∑F‾=ma‾\text{NII } \sum \overline{F}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}}
\color{Salmon}{\overline{G}}+\color{Salmon}{\overline{T}}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}}
G‾+T‾=ma‾\color{Salmon}{\overline{G}}+\color{Salmon}{\overline{T}}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}}
\color{Salmon}{G}-\color{Salmon}{T}=m\color{Goldenrod}{a}
G−T=ma\color{Salmon}{G}-\color{Salmon}{T}=m\color{Goldenrod}{a}

+

\color{Salmon}{T}=\color{Salmon}{G}-m\color{Goldenrod}{a}
T=G−ma\color{Salmon}{T}=\color{Salmon}{G}-m\color{Goldenrod}{a}
\color{Salmon}{T}=mg-m\color{Goldenrod}{a}
T=mg−ma\color{Salmon}{T}=mg-m\color{Goldenrod}{a}

Langan jännitysvoima

\color{Salmon}{T}=mg-m\color{Goldenrod}{a}
T=mg−ma\color{Salmon}{T}=mg-m\color{Goldenrod}{a}

Rattaan pyörimisen liikeyhtälön

\sum M=J\color{Goldenrod}{\alpha}
∑M=Jα\sum M=J\color{Goldenrod}{\alpha}
\color{Salmon}T r=J\color{Goldenrod}{\alpha}
Tr=Jα\color{Salmon}T r=J\color{Goldenrod}{\alpha}
||:\alpha
∣∣:α||:\alpha
J=\dfrac{\color{Salmon}T r}{\color{Goldenrod}\alpha}
J=TrαJ=\dfrac{\color{Salmon}T r}{\color{Goldenrod}\alpha}

Oletetaan, että vaijeri ei liu'u, jolloin 

a\color{White}=\alpha \color{White}{r.}
a=αr.a\color{White}=\alpha \color{White}{r.}
||\alpha =\frac{a}{r}
∣∣α=ar||\alpha =\frac{a}{r}
J=\dfrac{\color{Salmon}T r}{\frac{\color{Goldenrod}a}{r}}
J=TrarJ=\dfrac{\color{Salmon}T r}{\frac{\color{Goldenrod}a}{r}}
J=\dfrac{\color{Salmon}T r^2}{\color{Goldenrod}a}
J=Tr2aJ=\dfrac{\color{Salmon}T r^2}{\color{Goldenrod}a}
\color{Salmon}{T}=m(g-\color{Goldenrod}{a})
T=m(g−a)\color{Salmon}{T}=m(g-\color{Goldenrod}{a})
J=\dfrac{\color{Salmon}T r^2}{\color{Goldenrod}a}
J=Tr2aJ=\dfrac{\color{Salmon}T r^2}{\color{Goldenrod}a}
||T=m(g-a)
∣∣T=m(g−a)||T=m(g-a)
J=\dfrac{m(g-\color{Goldenrod}a) r^2}{\color{Goldenrod}a}
J=m(g−a)r2aJ=\dfrac{m(g-\color{Goldenrod}a) r^2}{\color{Goldenrod}a}
J=\dfrac{48 \text{ kg} \cdot (9,81 \text{ m/s}^2-6,1 \text{ m/s}^2) \cdot (0,30 \text{ m})^2}{6,1 \text{ m/s}^2}
J=48 kg⋅(9,81 m/s2−6,1 m/s2)⋅(0,30 m)26,1 m/s2J=\dfrac{48 \text{ kg} \cdot (9,81 \text{ m/s}^2-6,1 \text{ m/s}^2) \cdot (0,30 \text{ m})^2}{6,1 \text{ m/s}^2}

Sijoitetaan lukuarvot

J \approx 2,63 \text{ kgm}^2
J≈2,63 kgm2J \approx 2,63 \text{ kgm}^2

Vastaus:

Rattaan hitausmomentti on noin

2,6 \text{ kgm}^2
2,6 kgm22,6 \text{ kgm}^2