AULA 27

Teorema da Amostragem

Prof. Dr. Adenauer G. CASALI

02 de Setembro de 2024

Conteúdo da Aula

O Problema da Amostragem

AULA 27

AULA 26

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

O Teorema da Amostragem

O Processo da Amostragem

O Problema da Amostragem

O problema da Amostragem

Exemplo de tempo discreto

Exemplo de tempo contínuo

 

O Processo de Amostragem

O Teorema da Amostragem

Fontes das imagens :

https://gfycat.com/stickers/search/cell+signaling

https://www.lafsozluk.com/2017/09/sonar-nedir-ne-demektir-ne-ise-yarar.html

https://www.shutterstock.com/pt/video/clip-11109230-ekg-monitor-icu-unit-show-waves-blood

Análise de Sinais

Aula 25

Prof. Dr. Adenauer CASALI

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

O Problema da Amostragem

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Vamos selecionar uma em cada 4 amostras de x[n]

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Exemplo:

Amostrando um sinal de tempo discreto...

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]
x_p[n]=x[n]\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]
x_d[k]=x[kN]

Sinal final reamostrado

"Dizimação"

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

Mas o que acontece na frequência?

Já encontramos esse sinal antes:

resposta ao impulso do filtro ideal passa baixa de frequencia de corte

\frac{\pi}{8}
X(\Omega)
\Omega

Tempo discreto

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Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

Sinal periódico, período 4. Série de Fourier:

a_k=\frac{1}{4}\sum_{n=<4>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{4}n}
=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{3}x[n]e^{-jk\frac{\pi}{2}n}
=\frac{1}{4}
P(\Omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\delta(\Omega-k\frac{2\pi}{N})
=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-k\frac{\pi}{2})
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

P(\Omega)=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-k\frac{\pi}{2})
P(\Omega)
\Omega
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]

Tempo discreto

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Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

P(\Omega)
\Omega
X(\Omega)

Convolução!

X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)

Tempo discreto

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Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

P(\Theta)=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})
X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}P(\Theta)X(\Omega-\Theta)d\Theta
X_p(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{4}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{2\pi}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta

k= 0, 1, 2, 3

=\frac{1}{4}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{0-\epsilon}^{2\pi -\epsilon}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta

Tempo discreto

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Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

P(\Theta)=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})
=\frac{1}{4}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{2\pi}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{4}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{0-\epsilon}^{2\pi -\epsilon}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)

k=0

k=1

k=2

k=3

X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}P(\Theta)X(\Omega-\Theta)d\Theta
X_p(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{\pi}{2})X(\Omega-\Theta)d\Theta

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
X(\Omega)
\Omega

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
X(\Omega)
X(\Omega-\frac{\pi}{2})
+
\Omega

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
X(\Omega)
X(\Omega-\frac{\pi}{2})
X(\Omega-\pi)
+
+
\Omega

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

X(\Omega)
X(\Omega-\frac{\pi}{2})
X(\Omega-\pi)
X(\Omega-\frac{3\pi}{2})
+
+
+
X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
\Omega

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
\Omega
X_p(\Omega)

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo discreto...

O que acontece na frequência?

X_p(\Omega)
X_p(\Omega)=\frac{1}{4}\Bigl(X(\Omega)+X(\Omega-\frac{\pi}{2})+X(\Omega-\pi) + X(\Omega-\frac{3\pi}{2})\Bigr)
\Omega

Amostrando um sinal de tempo discreto...

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

O que acontece na frequência?

"Dizimação"

X_p(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_p[n]e^{-jn\Omega }
X_d(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]e^{-jn\Omega}
x_p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]e^{-jn\Omega }
=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]e^{-jkN\Omega }
X_d(\Omega)=X_p(\Omega/N)

(multiplica o eixo da frequencia no gráfico por N)

x_d[k]
X_d(N\Omega)=X_p(\Omega)

Re-escala na frequência (multiplica o eixo da frequencia por N)

Introdução: amostrando um sinal de tempo discreto

Tempo discreto

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Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Processo de Amostragem: Tempo Discreto

Etapa 1: Produto por trem de impulso 

(intervalo de amostragem N)

X(\Omega)
P(\Omega)
X_p(\Omega)

Espectro resultante é multiplicado por 1/N e replicado a cada 

\omega_s=\frac{2\pi}{N}
\omega_s

Espectro original

\Omega
\Omega
\Omega

Espectro do trem de impulso

Espectro resultante

Tempo discreto

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Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Eixo da frequência é multiplicado por N

\omega_s=\frac{2\pi}{N}
X(\Omega)
\Omega
\Omega
\Omega
X_d(\Omega)
X_p(\Omega)

Espectro retorna a ser periódico com período

 

2\pi
\omega_s=\frac{2\pi}{N}

Espectro periódico com período

 

Espectro periódico com período

 

2\pi

Etapa 2: Dizimação

(intervalo de amostragem N)

Processo de Amostragem: Tempo Discreto

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

É possível recuperar

a partir de         ?

x[n]
x_p[n]

Para o nosso exemplo...

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando um sinal de tempo contínuo...

Fontes das imagens

https://jp.mathworks.com/company/newsletters/articles/teaching-medical-instrumentation-at-the-university-of-washington.html

http://www.ling197m.krisyu.org/pages/13/13-erp-language-music.html

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Contínuo x Discreto

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Fontes das imagens

https://jp.mathworks.com/company/newsletters/articles/teaching-medical-instrumentation-at-the-university-of-washington.html

http://www.ling197m.krisyu.org/pages/13/13-erp-language-music.html

Frequência de Amostragem:

número de amostras por unidade da variável independente

Exemplo:

\omega_s=1000Hz

1000 amostras (discretas) a cada segundo

Amostrando um sinal de tempo contínuo...

Tempo discreto

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Frequência de Amostragem:

número de amostras por unidade da variável independente

x(t)
p(t)
\times
p(t)=...+ \delta(t) + \delta(t-T)+ \delta(t-2T)+...
p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)

Exemplo:

\omega_s=1000 \times 2\pi rad/s

1000 amostras (discretas) a cada segundo

T=\frac{2\pi}{\omega_s} = 0.001s = 1ms

1 amostra a cada 1 milisegundo

Período ou Intervalo de Amostragem:

=1000 Hz
x[n]

Amostrando um sinal de tempo contínuo...

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Exemplo:

\omega_s=1000 \times 2\pi rad/s

1000 amostras (discretas) a cada segundo

T=\frac{2\pi}{\omega_s} = 0.0001s = 1ms

1 amostra a cada 1 milisegundo

Período ou Intervalo de Amostragem:

x[n]
x(t=nT)

Sinal de tempo discreto (EEG digital)

Sinal tempo contínuo (EEG) calculado nos tempos correspondentes aos múltiplos do Intervalo de Amostragem

=
=1000 Hz

Frequência de Amostragem:

número de amostras por unidade da variável independente

Amostrando um sinal de tempo contínuo...

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo

A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:

1) Produto pelo trem de impulso: preserva-se amostras discretas em tempos correspondentes a múltiplos do intervalo de amostragem, zerando todos os demais tempos.

x(t)
p(t)
\times
p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)
x_d[n]=x(nT)
\omega_s=\frac{2\pi}{T}

Intervalo de Amostragem

Frequência de Amostragem

2) Discretização: define-se o sinal de tempo discreto correspondente como sendo a sequência            

 

x(nT)

Tempo discreto

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Tempo contínuo

Processo de Amostragem

1) Primeira etapa

x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)
X_p(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x_p(t)e^{-j\omega t}dt
=\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)\Bigr]e^{-j\omega t}dt
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)e^{-j\omega t}dt
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}

O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo

A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

1) Primeira etapa

x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)
X_p(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}
X_p(\omega + \frac{2\pi}{T})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn(\omega+\frac{2\pi}{T}) T}
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}e^{-jn2\pi}
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}
=X_p(\omega)

O espectro resultante é periódico: repete-se a cada

\omega_s=\frac{2\pi}{T}

O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo

A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

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Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

x_p(t)=x(t) \times p(t)
X_p(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}P(\theta)X(\omega-\theta)d\theta

Primeira etapa: replicar o espectro original a cada        e somar as cópias (divididas por T)

\omega_s
p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
P(\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\frac{2\pi}{T})
X_p(\omega)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\omega-n\frac{2\pi}{T})

Sim! Veja esse resultado de uma outra forma:

trem de impulso de período T no tempo

produto no tempo

convolução na frequência

trem de impulso de período             

\frac{2\pi}{T}

1) Primeira etapa: o espectro de um sinal contínuo torna-se periódico?

O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo

A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

2) Segunda etapa:

X_p(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-jn\omega T}
x_d[n]=x(nT)
X_p(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]e^{-jn\omega T}
X_d(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_d[n]e^{-jn\Omega}

Mas a TF de um sinal discreto é definida por:

\omega T = \Omega
\omega = \frac{\Omega}{T}

Intervalo de Amostragem

Frequência Normalizada

(sem unidade, ângulo)

Frequência "física"

(exemplo: ciclos por segundo)

O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo

A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

1) Produto pelo trem de impulso: preservar amostras discretas em tempos correspondentes a múltiplos do intervalo de amostragem, zerando todos os demais tempos.

1) Na frequência: replicar o espectro original em cópias deslocadas de múltiplos da frequência de amostragem e somar as cópias dividindo pelo intervalo de amostragem

2) Na frequência: renormalizar as frequências multiplicando-as pelo intervalo de amostragem

2) Discretização: define-se o sinal de tempo discreto correspondente como sendo a sequência            

 

x(nT)

O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo

A amostragem de um sinal de tempo contínuo também ocorre em duas etapas:

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

SIM!

2\pi-\omega_mT

O Processo de Amostragem: Tempo Contínuo

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

O Teorema da Amostragem

2\pi-\omega_mT

Tempo discreto

O Problema da Amostragem

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Teorema da Amostragem

Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Exemplo:

x(t)=\sin(\frac{5\pi}{2}t) + \cos(\frac{3\pi}{4}t)
\omega_m=\frac{5\pi}{2}
2\omega_m=5\pi

Qual o máximo intervalo de amostragem para se amostrar o sinal abaixo de forma apropriada?

\omega_s>2\omega_m
\omega_s>5\pi
T<\frac{2\pi}{2\omega_m}
T<\frac{2}{5}s

Tempo discreto

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Tempo contínuo

Processo de Amostragem

Amostrando o EEG?

Fontes das imagens

https://jp.mathworks.com/company/newsletters/articles/teaching-medical-instrumentation-at-the-university-of-washington.html

http://www.ling197m.krisyu.org/pages/13/13-erp-language-music.html

Informação relevante está abaixo de 100Hz

Taxa de Nyquist = 200Hz

Teorema da amostragem: podemos amostrar com frequências de amostragem superiores a 200Hz

Certo?

Tempo discreto

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Tempo contínuo

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