Análise de Sinais - Aula 28

AULA 28

Interpolação e Aliasing

Prof. Dr. Adenauer G. CASALI

04 de Setembro de 2024

Conteúdo da Aula

Interpolação: ideal e não ideal

AULA 28

AULA 27

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercícios

Aliasing

Teorema de Amostragem

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Teorema de Amostragem

x(t) = \frac{\sin(\frac{\pi}{8}t)}{\pi t}

X(\omega) = 1 \:\:\:\textrm{se }|\omega|<\pi/8

= 0 \:\:\:\textrm{se }|\omega|>\pi/8

\omega_m=\frac{\pi}{8}

\omega_s>\frac{\pi}{4}

T<8

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Teorema de Amostragem

x(t) = \frac{\sin(\frac{\pi}{8}t)}{\pi t}

T=5

x[n] = \frac{\sin(\frac{5\pi}{8}n)}{5\pi n}

Como é possível partir do sinal amostrado e recuperar o sinal de tempo contínuo?

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Reconstruindo sinais

x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Reconstruindo sinais

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

X_r(\omega)=X_p(\omega)H_r(\omega)

x_r(t)=x_p(t)\ast h_r(t)

x_r(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_p(\tau)h_r(t-\tau)d\tau

=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)p(\tau)h_r(t-\tau)d\tau

=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau-nT)h_r(t-\tau)d\tau

Reconstruindo sinais

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

x_r(t)=x_p(t)\ast h_r(t)

x_r(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_p(\tau)h_r(t-\tau)d\tau

=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)p(\tau)h_r(t-\tau)d\tau

=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_r(t-nT)

Reconstruindo sinais

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

X_r(\omega)=X_p(\omega)H_r(\omega)

x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_r(t-nT)

Reconstruindo sinais

Amostras de "encaixe"

Função de interpolação

(resposta ao impulso do filtro de reconstrução)

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Reconstruindo sinais: interpolação ideal

x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_r(t-nT)

h_r(t) =T \frac{\sin(\frac{\omega_s}{2} t)}{\pi t}

x(t)

x(t)=T\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT) \frac{\sin(\frac{\pi}{T} (t-nT)}{\pi (t-nT)}

Interpolação

Ideal

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Reconstruindo sinais: retentores

x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_r(t-nT)

h_r(t)=h_0(t)

x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)h_0(t-nT)

Interpolação não ideal: exemplo

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Reconstruindo sinais: retentores

H_0(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}h_0(t)e^{-j\omega t}dt

=\int_{0}^{T}e^{-j\omega t}dt

H_0(\omega)=\frac{1}{-j\omega}e^{-j\omega t}\Bigr|_{{t=0}}^{t=T}

=\frac{1}{-j\omega}(e^{-j\omega T}-1)

=\frac{e^{-j\omega T/2}}{-j\omega}(e^{-j\omega T/2}-e^{j\omega T/2})

=\frac{2e^{-j\omega T/2}}{\omega}\sin(\omega T/2)

E na frequência?

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Reconstruindo sinais: retentores

H_0(\omega)=\frac{2e^{-j\omega T/2}}{\omega}\sin(\omega T/2)

E na frequência?

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Teorema da Amostragem

Porém: e se o teorema de amostragem não for respeitado?

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

http://webdemo.inue.uni-stuttgart.de/webdemos/02_lectures/uebertragungstechnik_1/sampling_theorem/index.php?id=3

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

https://www.youtube.com/watch?v=4BoeATJk7dg

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

https://www.youtube.com/watch?v=QOwzkND_ooU

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

https://www.youtube.com/watch?v=jHS9JGkEOmA

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

https://www.showmetech.com.br/anti-aliasing-efeito-torna-melhor-jogatina/

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Como evitar aliasing na amostragem de sinais reais?

Filtro analógico anti-aliasing:

Passa-baixa com frequência de corte menor que

\frac{\omega_s}{2}

\omega_s>2\omega_m

\omega_m<\frac{\omega_s}{2}

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Fontes das imagens

https://jp.mathworks.com/company/newsletters/articles/teaching-medical-instrumentation-at-the-university-of-washington.html

http://www.ling197m.krisyu.org/pages/13/13-erp-language-music.html

Taxa de Nyquist = 200Hz

Teorema da amostragem: podemos amostrar com frequências de amostragem superiores a 200Hz

Certo?

Certo! Mas antes da amostragem: filtro anti-aliasing!

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Informação relevante está abaixo de 100Hz

Análise de Sinais

Aula 22

Prof. Dr. Adenauer CASALI

Exemplos

Exercício

Amostragem de sinais em tempo discreto

Subamostragem

Sobreamostragem

Fonte das imagens: Oppenheim and Willsky, "Sinais e Sistemas", Pearson, 2ª ed.(2010)

Considere o sinal x[n] com o espectro abaixo.

X(\Omega)

\Omega

Qual é o máximo intervalo entre as amostras para a subamostragem sem aliasing deste sinal.

\omega_m=\frac{2\pi}{9}

2\omega_m=\frac{4\pi}{9}

Taxa de Nyquist:

Para não ter Aliasing:

\omega_s\ge\frac{4\pi}{9}

\frac{2\pi}{N}\ge\frac{4\pi}{9}

N\le\frac{9}{2}

N=4

X(\Omega)

\Omega

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Exercício 2

Considere um sinal periódico cuja representação em série de Fourier pode ser escrita como

x[n]=\sum_{k=0}^{3}(\frac{1}{2})^{k+1}e^{jk\frac{n\pi}{5}}+\sum_{k=0}^{3}(\frac{1}{2})^{k+1}e^{-jk\frac{n\pi}{5}}

x[n]=\sum_{k=-4}^{5}a_ke^{jk\frac{n\pi}{5}}

Período = 10

a_{-4}=0

a_{-3}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4

a_{-2}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^3

a_{-1}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2

a_{0}=1

a_{1}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2

a_{2}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^3

a_{3}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4

a_{4}=a_{5}=0

É possível subamostrar este sinal de modo a que se possa reconstruí-lo perfeitamente a partir da versão subamostrada aplicando-se um filtro ideal passa-baixa?

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Considere um sinal periódico cuja representação em série de Fourier pode ser escrita como

a_{-4}=0

a_{-3}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4

a_{-2}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^3

a_{-1}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2

a_{0}=1

a_{1}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2

a_{2}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^3

a_{3}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4

a_{4}=a_{5}=0

X(\Omega)=2\pi\sum_{k=-4}^{5}a_k\delta(\Omega - k\frac{\pi}{5})

|\Omega|<\pi

X(\Omega)=2\pi\sum_{k=-3}^{3}a_k\delta(\Omega - k\frac{\pi}{5})

É possível subamostrar este sinal de modo a que se possa reconstruí-lo perfeitamente a partir da versão subamostrada aplicando-se um filtro ideal passa-baixa?

Repete com período

2\pi

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Exercício 2

\frac{\pi}{5}

\frac{2\pi}{5}

\frac{3\pi}{5}

-\frac{3\pi}{5}

-\frac{2\pi}{5}

-\frac{\pi}{5}

\Omega

X(\Omega)

2\pi

-\pi

\pi

\omega_m=\frac{3\pi}{5}

2\omega_m=\frac{6\pi}{5}

\omega_s>\frac{6\pi}{5}

T<\frac{5}{3}

Mas este é um sinal discreto!!

T deve ser inteiro!

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Exercício 2

Considere um sinal periódico cuja representação em série de Fourier pode ser escrita como

Não!

Reamostragem sem aliasing em sinais de tempo discreto:

Como

T\ge 2

T<\frac{2\pi}{2\omega_m}

2<\frac{\pi}{\omega_m}

\omega_m<\frac{\pi}{2}

É possível subamostrar este sinal de modo a que se possa reconstruí-lo perfeitamente a partir da versão subamostrada aplicando-se um filtro ideal passa-baixa?

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

Exercício 2

Considere um sinal periódico cuja representação em série de Fourier pode ser escrita como

Não!

\omega_s=\frac{2\pi}{T}=\pi

É possível subamostrar este sinal de modo a que se possa reconstruí-lo perfeitamente a partir da versão subamostrada aplicando-se um filtro ideal passa-baixa?

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

E se mesmo assim o sinal fosse amostrado com Intervalo de Amostragem de 2 amostras?

Exercício 2

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

\frac{3\pi}{5}

-\frac{3\pi}{5}

\Omega

X(\Omega)

-\pi

\pi

\frac{3\pi}{5}

-\frac{3\pi}{5}

\Omega

X_p(\Omega)

-\pi

\pi

2\pi

\pi

Exercício 2

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

\frac{3\pi}{5}

-\frac{3\pi}{5}

\Omega

X_p(\Omega)

-\pi

\pi

\frac{4\pi}{5}

\Omega

X_d(\Omega)

2\pi

\frac{2\pi}{5}

-2\pi

\frac{6\pi}{5}

\frac{8\pi}{5}

\pi

2\pi

Exercício 2

Interpolação ideal

Reconstruindo Sinais

INTERPOLAÇÃO E ALIASING

Exercício

Interpolação não ideal

Aliasing

\frac{3\pi}{5}

-\frac{3\pi}{5}

\Omega

X(\Omega)

-\pi

\pi

\frac{4\pi}{5}

\Omega

X_d(\Omega)

2\pi

-\frac{4\pi}{5}

-2\pi

Após subamostragem

Antes subamostragem

Exercício 2

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