AULA 29

Amostragem de Sinais de TD

Prof. Dr. Adenauer G. CASALI

09 de Setembro de 2024

Conteúdo da Aula

AULA 29

AULA 28

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Processo de Amostragem de um sinal de tempo discreto

Exemplos

Etapas da subamostragem

Etapas da sobreamostragem

Amostragem de sinais de tempo contínuo

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

1. Produto por trem de impulso

x_p(t) = x(t) \times p(t)
p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)
x_d[n]=x(nT)

2. Discretização

Amostragem de sinais de tempo contínuo

E se o sinal já for de tempo discreto?

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

1. Produto por trem de impulso

x_p[n] = x[n] \times p[n]
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]
=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]

Amostragem de sinais de tempo discreto

Intervalo de amostragem N

Inteiro maior que 1!

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

1. Produto por trem de impulso

x_p[n] = x[n] \times p[n]
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]
=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]

Amostragem de sinais de tempo discreto

N=3

Retém uma em cada N amostras do sinal (zera o resto)

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

1. Produto por trem de impulso

x_p[n] = x[n] \times p[n]
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]
=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]

Amostragem de sinais de tempo discreto

2. Dizimação: remover os zeros

x_b[n] = x_p[nN] =x[nN]

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

1. Produto por trem de impulso

x_p[n] = x[n] \times p[n]
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]

Amostragem de sinais de tempo discreto

P(\Omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-k\frac{2\pi}{N})
X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)
X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}P(\Theta)X(\Omega-\Theta)d\Theta
X_p(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{2\pi}{N})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{2\pi}\delta(\Theta-k\frac{2\pi}{N})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{0-\epsilon}^{2\pi -\epsilon}\delta(\Theta-k\frac{2\pi}{N})X(\Omega-\Theta)d\Theta

k= 0, 1, 2, 3,..., N-1

E na frequência?

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

1. Produto por trem de impulso

x_p[n] = x[n] \times p[n]
p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]

Amostragem de sinais de tempo discreto

X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}P(\Theta)X(\Omega-\Theta)d\Theta
X_p(\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Theta-k\frac{2\pi}{N})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{2\pi}\delta(\Theta-k\frac{2\pi}{N})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{0-\epsilon}^{2\pi -\epsilon}\delta(\Theta-k\frac{2\pi}{N})X(\Omega-\Theta)d\Theta
=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(\Omega-k\frac{2\pi}{N})
P(\Omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-k\frac{2\pi}{N})
X_p(\Omega)=X(\Omega)\ast P(\Omega)

Cópias do Espectro, dividas por N e deslocadas de múltiplos de

\omega_s=\frac{2\pi}{N}

E na frequência?

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

1. Produto por trem de impulso

Amostragem de sinais de tempo discreto

X(\Omega)
P(\Omega)
\Omega
\Omega
\Omega
X_p(\Omega)

Aliasing:

se

\omega_s-\omega_m<\omega_m
\frac{2\pi}{N}<2\omega_m
N > \frac{\pi}{\omega_m}

E na frequência?

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

2. Dizimação

Amostragem de sinais de tempo discreto

E na frequência?

X_p(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_p[n]e^{-jn\Omega }
X_b(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_b[n]e^{-jn\Omega}
x_p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]\delta[n-kN]e^{-jn\Omega }
=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[kN]e^{-jkN\Omega }
=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[nN]e^{-jn\Omega}
X_b(\Omega)=X_p(\Omega/N)

Re-escala na frequência (multiplica o eixo da frequencia por N)

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Amostragem de sinais de tempo discreto

X(\Omega)
\Omega
\Omega
\Omega
X_b(\Omega)

E na frequência?

2. Dizimação

X_p(\Omega)

Espectro retorna a ser periódico com período

 

2\pi
\omega_s=\frac{2\pi}{N}

Espectro periódico com período

 

Espectro periódico com período

 

2\pi

Fonte das imagens: Oppenheim and Willsky, "Sinais e Sistemas", Pearson, 2ª ed.(2010)

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Amostragem de sinais de tempo discreto

Sobreamostragem?

1. Insira um número N-1 de zeros entre amostras

X_b(\Omega)
\Omega
X_p(\Omega)
\Omega
H(\Omega)
H(\Omega)

2. Passe por um filtro de reconstrução

X(\Omega)
\Omega

Fonte das imagens: Oppenheim and Willsky, "Sinais e Sistemas", Pearson, 2ª ed.(2010)

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Amostragem de sinais de tempo discreto

Tempo

Frequência

Multiplicar por trem de impulsos com período N (zerar amostras)

Dividir o espectro por 1/N e recplicá-lo a cada

\frac{2\pi}{N}

Remover N-1 zeros entre as amostras (dizimação)

Multiplicar a frequência por N

Inserir N-1 zeros entre as amostras

Dividir a frequência por N

Interpolar

Usar um filtro de reconstrução passa-baixa

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 1

Considere o sinal x[n] com o espectro abaixo.

 

X(\Omega)
\Omega

a) Qual é o máximo intervalo entre as amostras para a subamostragem sem aliasing deste sinal.

 

b) Qual seria o máximo intervalo entre as amostras para uma subamostragem sem aliasing do sinal y[n] obtido pela sobreamostragem de x[n] por um fator 2.

a)

\omega_m=\frac{2\pi}{9}
2\omega_m=\frac{4\pi}{9}

Taxa de Nyquist:

Para não ter Aliasing:

\omega_s\ge\frac{4\pi}{9}
\frac{2\pi}{N}\ge\frac{4\pi}{9}
N\le\frac{9}{2}
N=4
X(\Omega)
\Omega

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 1

Considere o sinal x[n] com o espectro abaixo.

 

X(\Omega)
\Omega

a) Qual é o máximo intervalo entre as amostras para a subamostragem sem aliasing deste sinal.

 

b) Qual seria o máximo intervalo entre as amostras para uma subamostragem sem aliasing do sinal y[n] obtido pela sobreamostragem de x[n] por um fator 2.

b)

\omega_m=\frac{\pi}{9}
2\omega_m=\frac{2\pi}{9}

Taxa de Nyquist:

Primeiro: sobreamostragem por um fator 2, isto é, divide o eixo da frequência por 2.

\omega_s\ge\frac{2\pi}{9}
\frac{2\pi}{N}\ge\frac{2\pi}{9}
N\le 9
N=9
X_u(\Omega)
\Omega

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 1

Considere o sinal x[n] com o espectro abaixo.

 

X(\Omega)
\Omega

a) Qual é o máximo intervalo entre as amostras para a subamostragem sem aliasing deste sinal.

 

b) Qual seria o máximo intervalo entre as amostras para uma subamostragem sem aliasing do sinal y[n] obtido pela sobreamostragem de x[n] por um fator 2.

\omega_m=\frac{\pi}{9}
2\omega_m=\frac{2\pi}{9}

Taxa de Nyquist:

\omega_s\ge\frac{2\pi}{9}
\frac{2\pi}{N}\ge\frac{2\pi}{9}
N\le 9
N=9
X_{ub}(\Omega)
\Omega

b)

Primeiro: sobreamostragem por um fator 2, isto é, multiplica o eixo da frequência por 2.

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 2

Considere o sistema na figura abaixo que recebe uma entrada x[n] e produz uma saída y[n]. O sistema de inserção de zeros insere dois pontos com amplitude zero entre cada um dos valores da sequência x[n]. O sistema de dizimação é definido por y[n]=w[5n], sendo w[n] a saída do filtro ideal.

Se

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}

encontre a saída para

\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}
\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

a)

b)

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}
X(\Omega)=?
\Omega_c
-\Omega_c
\pi
-\pi
A
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(\Omega)e^{j\Omega n}d\Omega
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega_c}^{\Omega_c}Ae^{j\Omega n}d\Omega
=\frac{A}{2\pi}\frac{e^{j\Omega n}}{jn }\Bigr|_{\Omega=-\Omega_c}^{\Omega=\Omega_c}
=\frac{A}{2\pi}\frac{e^{j\Omega_c n}-e^{-j\Omega_c n}}{jn }
=\frac{A\sin(\Omega_c n)}{\pi n}
A=1
\Omega_c=\Omega_1

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 2

Considere o sistema na figura abaixo que recebe uma entrada x[n] e produz uma saída y[n]. O sistema de inserção de zeros insere dois pontos com amplitude zero entre cada um dos valores da sequência x[n]. O sistema de dizimação é definido por y[n]=w[5n], sendo w[n] a saída do filtro ideal.

Se

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}

encontre a saída para

\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}
\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

a)

b)

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}
X(\Omega)=
\Omega_1
-\Omega_1
\pi
-\pi
1

Inserção de zeros (divide por três na frequência):

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 2

Considere o sistema na figura abaixo que recebe uma entrada x[n] e produz uma saída y[n]. O sistema de inserção de zeros insere dois pontos com amplitude zero entre cada um dos valores da sequência x[n]. O sistema de dizimação é definido por y[n]=w[5n], sendo w[n] a saída do filtro ideal.

Se

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}

encontre a saída para

\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}
\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

a)

b)

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}
X(\Omega)=
\Omega_1
-\Omega_1
\pi
-\pi
1

Inserção de zeros (divide por três na frequência):

\frac{\Omega_1}{3}
-\frac{\Omega_1}{3}
1
\pi
-\pi
\Omega
\frac{2\pi-\Omega_1}{3}
\frac{-2\pi+\Omega_1}{3}

Filtro passa-baixa ideal

a)

\frac{\pi}{5}
\frac{\Omega_1}{3}\le \frac{\pi}{5}
-\frac{\pi}{5}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 2

Considere o sistema na figura abaixo que recebe uma entrada x[n] e produz uma saída y[n]. O sistema de inserção de zeros insere dois pontos com amplitude zero entre cada um dos valores da sequência x[n]. O sistema de dizimação é definido por y[n]=w[5n], sendo w[n] a saída do filtro ideal.

Se

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}

encontre a saída para

\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}
\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

a)

b)

\frac{\Omega_1}{3}
-\frac{\Omega_1}{3}
1
\pi
-\pi
\Omega
W(\Omega):

Amostragem com dizimação (N=5):

Divide o espectro por 5

Multiplica o eixo da frequência por 5.

\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}

a)

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 2

Considere o sistema na figura abaixo que recebe uma entrada x[n] e produz uma saída y[n]. O sistema de inserção de zeros insere dois pontos com amplitude zero entre cada um dos valores da sequência x[n]. O sistema de dizimação é definido por y[n]=w[5n], sendo w[n] a saída do filtro ideal.

Se

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}

encontre a saída para

\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}
\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

a)

b)

\frac{5\Omega_1}{3}
-\frac{5\Omega_1}{3}
1/5
\pi
-\pi
\Omega
Y(\Omega):
y[n]=\frac{\sin(\frac{5\Omega_1}{3} n)}{5\pi n}
\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}

a)

Amostragem com dizimação (N=5):

Divide o espectro por 5

Multiplica o eixo da frequência por 5.

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 2

Considere o sistema na figura abaixo que recebe uma entrada x[n] e produz uma saída y[n]. O sistema de inserção de zeros insere dois pontos com amplitude zero entre cada um dos valores da sequência x[n]. O sistema de dizimação é definido por y[n]=w[5n], sendo w[n] a saída do filtro ideal.

Se

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}

encontre a saída para

\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}
\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

a)

b)

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}
X(\Omega)=
\Omega_1
-\Omega_1
\pi
-\pi
1

Inserção de zeros (divide por três na frequência):

\frac{\Omega_1}{3}
-\frac{\Omega_1}{3}
1
\pi
-\pi
\Omega
\frac{2\pi-\Omega_1}{3}
\frac{-2\pi+\Omega_1}{3}

Filtro passa-baixa ideal

b)

\frac{\pi}{5}
\frac{\Omega_1}{3}> \frac{\pi}{5}
-\frac{\pi}{5}

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 2

Considere o sistema na figura abaixo que recebe uma entrada x[n] e produz uma saída y[n]. O sistema de inserção de zeros insere dois pontos com amplitude zero entre cada um dos valores da sequência x[n]. O sistema de dizimação é definido por y[n]=w[5n], sendo w[n] a saída do filtro ideal.

Se

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}

encontre a saída para

\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}
\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

a)

b)

\frac{\pi}{5}
-\frac{\pi}{5}
1
\pi
-\pi
\Omega
W(\Omega):

Amostragem com dizimação (N=5):

Divide o espectro por 5

Multiplica o eixo da frequência por 5.

\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

b)

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

Exemplo 2

Considere o sistema na figura abaixo que recebe uma entrada x[n] e produz uma saída y[n]. O sistema de inserção de zeros insere dois pontos com amplitude zero entre cada um dos valores da sequência x[n]. O sistema de dizimação é definido por y[n]=w[5n], sendo w[n] a saída do filtro ideal.

Se

x[n]=\frac{\sin(\Omega_1 n)}{\pi n}

encontre a saída para

\Omega_1\le \frac{3\pi}{5}
\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

a)

b)

1/5
\pi
-\pi
\Omega
Y(\Omega):
y[n]=\frac{1}{5}\delta[n]

Amostragem com dizimação (N=5):

Divide o espectro por 5

Multiplica o eixo da frequência por 5.

\Omega_1 > \frac{3\pi}{5}

b)

Processamento em tempo discreto de sinais contínuos

Exemplos

Conversor C/D

Conversor D/C

Amostragem

AMOSTRAGEM DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

Exemplos

Sobreamostragem

Subamostragem

  • Ler a(s) leitura(s) recomendada(s) e slides da aula
  • Assistir a(s) vídeo-aula(s) recomendada(s) no Moodle 
  • Fazer exercício(s) recomendado(s)

Em casa: preparar-se para a aula 30

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