Análise de Magnitude e Fase

Esboce a magnitude e fase da seguinte resposta em frequência de um sistema LIT:

H(\Omega)=\frac{1}{(1+\frac{1}{2}e^{-j\Omega})^3}

Dica: não saia calculando! Pense.

H_1(\Omega)=\frac{1}{1+\frac{1}{2}e^{-j\Omega}}

Já conhecemos o sistema de primeira ordem:

|H_1(\Omega)|^2=\frac{1}{1+\frac{1}{2}e^{-j\Omega}}\times \frac{1}{1+\frac{1}{2}e^{j\Omega}} = \frac{1}{1+\frac{1}{2}e^{j\Omega}+\frac{1}{2}e^{-j\Omega}+\frac{1}{4}}

Vimos como calcular a sua magnitude:

=\frac{4}{5+4\cos(\Omega)}
\theta_1(\Omega)=-\arctan \Bigl(\frac{-\frac{1}{2}\sin(\Omega)}{1+\frac{1}{2}\cos(\Omega)}\Bigr)

Também vimos como calcular a sua fase:

H_1(\Omega)=\Bigl(1+\frac{1}{2}e^{-j\Omega}\Bigr)^{-1}= \Bigl(1+\frac{1}{2}\cos(\Omega) -j\frac{1}{2}\sin(\Omega)\Bigr)^{-1}
=\arctan \Bigl(\frac{\sin(\Omega)}{2+\cos(\Omega)}\Bigr)

MAIS UM EXEMPLO DE FILTRO COMPOSTO

Análise de Magnitude e Fase

Esboce a magnitude e fase da seguinte resposta em frequência de um sistema LIT:

H(\Omega)=\frac{1}{(1+\frac{1}{2}e^{-j\Omega})^3}

Agora note que o sistema solicitado nada mais é do que a conexão em sére de 3 cópias deste sistema de primeira ordem.

Portanto a magnitude deste sistema é:

|H(\Omega)|^2=(|H_1(\Omega)|^2)^3 = \Bigl(\frac{4}{5+4\cos(\Omega)}\Bigr)^3
\theta(\Omega)=3\theta_1(\Omega)=3\arctan \bigl(\frac{\sin(\Omega)}{2+\cos(\Omega)}\Bigr)

E a fase é:

MAIS UM EXEMPLO DE FILTRO COMPOSTO

Análise de Magnitude e Fase

Para esboçar o gráfico, observe primeiro a magnitude:

|H(\Omega)|^2= \Bigl(\frac{4}{5+4\cos(\Omega)}\Bigr)^3

Quando

\Omega = 0
|H(0)|^2= \Bigl(\frac{4}{9}\Bigr)^3=\frac{64}{729}

o denominador é máximo, e a magnitude é mínima

que corresponde a uma atenuação de 10,6dB

Quando

\Omega = \pi
|H(0)|^2= \Bigl(\frac{4}{1}\Bigr)^3=64

o denominador é mínimo, e a magnitude é máxima

que corresponde a uma amplificação de 18,1dB

MAIS UM EXEMPLO DE FILTRO COMPOSTO

Análise de Magnitude e Fase

Magnitude

Amplificação de 18,1 dB

 

Atenuação de 10,6 dB na frequência zero

Amplifica a máxima frequência (passa alta)

MAIS UM EXEMPLO DE FILTRO COMPOSTO

Análise de Magnitude e Fase

Os valores extremos da fase ocorrem portanto quando

\frac{d}{d\Omega}\bigl(\frac{\sin(\Omega)}{2+\cos(\Omega)}\bigr) =\frac{\cos(\Omega)}{2+\cos(\Omega)}-\frac{\sin(\Omega)(-\sin(\Omega))}{(2+\cos(\Omega))^2}
=\frac{2\cos(\Omega) + \cos^2(\Omega) + \sin^2(\Omega)}{(2+\cos(\Omega))^2}
=\frac{2\cos(\Omega) + 1}{(2+\cos(\Omega))^2}
\cos(\Omega) =- 1/2

Para o gráfico da fase, veja que:

ou seja, em

\Omega = \pm \frac{2\pi}{3}
\frac{d}{d\Omega}\arctan(X)=\frac{1}{1+X^2}\frac{d}{d\Omega}X

 Logo, podemos encontrar esses zeros calculando apenas a derivada do argumento do arcotangente (ou seja, você pode deixar o arcotangente de fora):

\theta=3\arctan \Bigl(\frac{\sin(\pm\frac{2\pi}{3})}{2+\cos(\frac{2\pi}{3})}\Bigr)=3\arctan \Bigl(\frac{\pm\frac{\sqrt{3}}{2}}{2-\frac{1}{2}}\Bigr) = 3\arctan(\frac{\pm \sqrt{3}}{3})= 3 \bigl(\pm \frac{\pi}{6}\bigr)

Ou seja, os valores extremos da fase são de

\theta= \pm \frac{\pi}{2}

Nestes pontos temos os valores extremos de fase:

MAIS UM EXEMPLO DE FILTRO COMPOSTO

Análise de Magnitude e Fase

Fase

"Tombo" em torno da máxima frequência (passa alta)

Valor máximo de

na frequência

\frac{\pi}{2}
\frac{2\pi}{3}

Valor mínimo de

na frequência

-\frac{\pi}{2}
-\frac{2\pi}{3}

MAIS UM EXEMPLO DE FILTRO COMPOSTO