Topicos Avançados - Aula 03 - Bases físicas do EEG e o Problema Inverso

PRINCÍPIOS E TÉCNICAS DE ELETROENCEFALOGRAFIA EM NEUROCIÊNCIA

AULA 03 - Bases Físicas do EEG e o Problema Inverso em Eletroencefalografia

Instituto de Ciência e Tecnologia

Graduação em Engenharia Biomédica

Prof. Dr. Adenauer G. Casali

Laboratório de Neuroengenharia e Computação

casali@unifesp.br

PRINCÍPIOS E TÉCNICAS DE EEG EM NEUROCIÊNCIA

Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume
O problema da Modelagem Inversa
Modelagem Forward
Soluções Inversas
Modelagem Causal: Dynamic Causal Modelling
Aproximação: a estratégia do Laplaciano
Modelagem Inversa no MNE-Python

Adenauer G. CASALI

AULA 03

Nesta aula, nós veremos...

Princípios e Técnicas de EEG

Aula 03

1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

Equações de Maxwell (microscópicas, no vácuo):

\vec{\nabla}. \vec{E}(\vec{r},t) = \frac{1}{\epsilon_0}\rho(\vec{r},t)

\vec{\nabla}\times \vec{E}(\vec{r},t) = -\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}(\vec{r},t)

\vec{\nabla}\times \vec{B}(\vec{r},t) = \mu_0\Bigl(\vec{J}(\vec{r},t) +\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\vec{E}(\vec{r},t)\Bigr)

\vec{\nabla}. \vec{B}(\vec{r},t) = 0

Variação de campo magnético gera campo elétrico.

Variação de campo elétrico gera campo magnético.

Campo eletromagnético

Micro para Macro: deslocamento elétrico

Dielétrico =

material no qual as cargas estão livres para mover-se mas somente por distâncias atômicas.

Condutor =

material no qual as cargas estão livres para se mover em escalas macroscópicas

Tecido biológico: apresenta propriedades dielétricas e condutivas.

Efeitos dielétricos ou capacitivos: separação de cargas atômicas (polarização elétrica) ou moleculares (polarização molecular)

Produz um momento de dipolo na direção do campo

\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}

Deslocamento elétrico:

Meio linear:

\vec{D} = \epsilon_0(1+\chi) \vec{E} =\epsilon \vec{E}

permissividade elétrica do material

Escala microscópica: permissividade relativa do fluido intra e extracelular é da ordem de 80; Permissividade da membrana celular é da ordem de 10

Escala macroscópica: permissividade relativa vai a 10⁶!

\kappa = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} =

permissividade relativa ou constante dielétrica

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

\vec{E}

- + - + - +

\vec{P}

\rho_{b} = -\vec{\nabla}\vec{P}

Carga livre

\rho_{T}=\rho+ \rho_{b} = \epsilon_0\vec{\nabla}\vec{E}

Carga ligada

Micro para Macro: densidade de corrente elétrica

Neutralidade elétrica de meios macroscópicos

Aproximadamente a mesma quantidade de carga positiva e de carga negativa

Mas correntes podem se instaurar no meio devido a um campo elétrico e a variações de condutividade, como as produzidas pela membrana celular.

Em geral, na média, vale a lei de Ohm generalizada:

\vec{J} = \sigma \vec{E}

condutividade elétrica do material

Fonte: Nunez, "Electric Fields of the Brain" (2005)

Tanto a condutividade quando a permissividade variam com a frequência do campo aplicado!

resistividade = inverso da condutividade

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

Equações de Maxwell (macroscópica, em meios materiais)

\vec{\nabla}. \vec{D}(\vec{r},t) = \rho(\vec{r},t)

\vec{\nabla}\times \vec{E}(\vec{r},t) = -\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}(\vec{r},t)

\vec{\nabla}\times \vec{H}(\vec{r},t) = \vec{J}(\vec{r},t) +\frac{\partial}{\partial t}\vec{D}(\vec{r},t)

\vec{\nabla}. \vec{B}(\vec{r},t) = 0

\frac{\partial }{\partial t}\rho + \vec{\nabla}.\vec{J} =0

(Conservação da carga)

\vec{H} = \frac{1}{\mu} \vec{B}

\vec{D} = \epsilon \vec{E}

\vec{J} = \sigma \vec{E}

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

O limite "quase-estático" do EEG:

Agora suponha um campo elétrico oscilante:

\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}_1(\vec{r})e^{j\omega t}

Tomemos a lei de conservação da carga:

\frac{\partial }{\partial t}\rho + \vec{\nabla}.\vec{J} =0

Junto com a primeira equação de Maxwell:

\rho(\vec{r},t) = \vec{\nabla}. \vec{D}(\vec{r},t) = \vec{\nabla}. (\epsilon \vec{E}(\vec{r},t))

\frac{\partial }{\partial t} \vec{\nabla}. (\epsilon \vec{E}(\vec{r},t)) + \vec{\nabla}.(\sigma \vec{E}(\vec{r},t))=0

\vec{\nabla}.\Bigl( \epsilon \frac{\partial }{\partial t} \vec{E}(\vec{r},t) + \sigma \vec{E}(\vec{r},t)\Bigr) =0

E a lei de Ohm:

\vec{J} = \sigma \vec{E}

\vec{\nabla}.\Bigl( (\epsilon j \omega + \sigma) \vec{E}_1(\vec{r})\Bigr) =0

Efeitos capacitivos

Efeitos condutivos

No tecido biológico, há um efeito dominante?

Condutor linear: estamos assumindo macro-escala, longe das membranas celulares.

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

O limite "quase-estático":

\vec{\nabla}.\Bigl( (\epsilon j \omega + \sigma) \vec{E}_1(\vec{r})\Bigr) =0

Efeitos capacitivos

Efeitos condutivos

\eta = \frac{1}{\sigma} \approx 3 \Omega m

\sigma \approx \frac{1}{3} \Omega^{-1} m^{-1}

\kappa = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} \approx 10^5

Frequência (x 100 Hz)

Resistividade (Ohm x cm)

Constante dielétrica

Fonte: Nunez, "Electric Fields of the Brain" (2005)

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

O limite "quase-estático":

\vec{\nabla}.\Bigl( (\epsilon j \omega + \sigma) \vec{E}_1(\vec{r})\Bigr) =0

Efeitos capacitivos

Efeitos condutivos

\eta = \frac{1}{\sigma} \approx 3 \Omega m

\sigma \approx \frac{1}{3} \Omega^{-1} m^{-1}

\kappa = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} \approx 10^5

\epsilon_0 = 8.84 \times 10^{-12} s\Omega^{-1} m^{-1}

\epsilon \approx 9 \times 10^{-7} s\Omega^{-1} m^{-1}

Quando o efeito condutivo domina?

\epsilon \omega << \sigma

\omega << \frac{ \sigma}{\epsilon}

\omega << \frac{(1/3) \Omega^{-1}m^{-1}}{9 \times 10^{-7} s\Omega^{-1}m^{-1}}

\omega << \frac{1}{27} \times 10^{7} rad/s

\omega <<50 kHz

EEG:

\omega < 100 Hz << 50000Hz

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

\vec{\nabla}. \vec{D}(\vec{r},t) = \rho(\vec{r},t)

\vec{\nabla}\times \vec{E}(\vec{r},t) = -\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}(\vec{r},t)

\vec{\nabla}\times \vec{H}(\vec{r},t) = \vec{J}(\vec{r},t) +\frac{\partial}{\partial t}\vec{D}(\vec{r},t)

\vec{\nabla}. \vec{B}(\vec{r},t) = 0

\vec{\nabla}. \vec{D}(\vec{r},t) = \rho(\vec{r},t)

\vec{\nabla}\times \vec{E}(\vec{r},t) = 0

\vec{\nabla}\times \vec{H}(\vec{r},t) =\vec{J}(\vec{r},t)

\vec{\nabla}. \vec{B}(\vec{r},t) = 0

\frac{\partial }{\partial t}\rho + \vec{\nabla}.\vec{J} =0

Aproximação quase-estática: ignorar as oscilações dos campos elétricos e magnéticos nas equações de Maxwell. Toda dependência temporal vem das cargas e correntes.

Campos elétricos e magnéticos desacoplados!

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

As equações da eletrofisiologia macroscópica (válidas mesmo para LFP com microeletrodo)

\frac{\partial }{\partial t}\rho + \vec{\nabla}.\vec{J} =0

Conservação da carga

\vec{\nabla}. \vec{D}(\vec{r},t) = \rho(\vec{r},t)

Lei de Gauss

\vec{J} = \sigma \vec{E}

Lei constitutiva de condutores lineares

\vec{D} = \epsilon \vec{E}

Lei constitutiva de dielétricos lineares

Definição do potencial elétrico (válida no limite quase-estático)

\vec{E} = -\vec{\nabla}\Phi

\vec{E}(\vec{r},t)

= campo elétrico resultante (V/m), atenuado devido aos efeitos capacitivos

\vec{D}(\vec{r},t)

= deslocamento elétrico (C/m²): campo produzido pelas cargas livres no tecido

\Phi(\vec{r},t)

= potencial elétrico (V)

\rho(\vec{r},t)

= densidade de carga livre (C/m³)

\vec{J}(\vec{r},t)

= densidade de corrente macroscópica (A/m²)

\sigma(\vec{r})

= condutividade elétrica macroscópica (S/m), inverso da resistividade

\epsilon(\vec{r})

= permissividade elétrica macroscópica (s.S/m)

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

EPSP, IPSP

PSP gera deslocamento de carga

"Corrente Primária"

Ambas as correntes estão associadas a uma diferença de potencial elétrico

(EEG)

Ambas correntes estão associadas a um campo magnético resultante (MEG)

Carga livre produz um deslocamento elétrico

E um campo elétrico resultante

O campo elétrico produz uma corrente "de volume" no tecido

\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\vec{\nabla}.\vec{J}

\vec{\nabla}.\vec{D}=\rho

\vec{E} = \frac{1}{\epsilon}\vec{D}

\vec{J}_{v} = \sigma \vec{E}

\vec{J}_{p}

\rho

\vec{D}

\vec{E}

\vec{J}_{v}

\Delta {\Phi}

\vec{B}

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

Nas escalas espaciais do EEG: a maior parte da corrente contribuindo para a diferença de potencial medida no escalpo é corrente de volume mediada no espaço e produzida por ativação síncrona (corrente primária) de milhares de células (sobretudo piramidais) na superfície de giros corticais

Fonte: Baillet et al., "Electromagnetic Brain mapping" (2006)

Em tais escalas, como a resistência através das células é muitas ordens de grandeza maior do que a resistência no tecido, a maior parte da corrente contribuindo para o EEG ocorre no meio extracelular.

Nas escalas de campos, nas frequencias do EEG, e com correntes no meio extracelular, vale a aproximação de linearidade (para os efeitos do meio condutor e dielétrico).

Porém, para ambos, os meios em geral são não homogêneos e anisotrópicos!

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

Fonte: Nunez, "Electric Fields of the Brain" (2005)

Linear mas não homogêneo e nem isotrópico?

\vec{J} = \sigma \vec{E}

Vale a lei de Ohm:

Mas com condutividade tensorial:

\begin{pmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix}

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

No limite quase-estático e na escala do EEG, os potenciais e campos são lineares nas cargas e correntes e não-lineares apenas na geometria.

A equação linear da eletroencefalografia

\vec{\nabla}\times \vec{E}=0

\vec{E} = -\vec{\nabla}\Phi

\vec{J} = \vec{J}_{P} + \vec{J}_{V}

\vec{J} = \vec{J}_{P} - \sigma \vec{\nabla}\Phi

\vec{\nabla}\times \vec{H}= \vec{J}

\vec{\nabla}. \vec{B}=0

\vec{\nabla}.\vec{J} = 0

\vec{\nabla}.\vec{J}_{P} = \vec{\nabla}(\sigma \vec{\nabla}\Phi)

\sigma \nabla^2\Phi = \vec{\nabla}.\vec{J}_{P}

Assumindo condutividade constante (localmente)

Equação de Poisson

= \vec{J}_{P}+ \sigma \vec{E}

\Phi(\vec{r}) = -\frac{1}{4\pi \sigma}\int_{R}\vec{J}_{P}.\frac{(\vec{r}-\vec{r}')}{||\vec{r}-\vec{r}'||^3} d^3\vec{r}'

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

No limite quase-estático e na escala do EEG, os potenciais e campos são lineares nas cargas e correntes e não-lineares apenas na geometria.

Suponha que você conhece todos os detalhes geométricos do problema (condutâncias e permissividades para as diferentes camadas, posições dos eletrodos, etc.)
Suponha um dado dipolo em certa posição do cérebro.
Em princípio, você poderia integrar as equações de campo e calcular o potencial resultante em cada um dos eletrodos para um dado dipolo de corrente primária. O resultado seria linear com a corrente:

\mathbf{Y}_{e,t} = \mathbb{L}_{e,r}\mathbf{S}_{r,t}

Sinal no eletrodo e e tempo t

Dipolo de corrente primária na posição r e tempo t

Operador que leva a corrente primária em valores medidos nos eletrodos, chamado de "Lead Field Matrix"

A equação linear da eletroencefalografia

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

A equação linear da eletroencefalografia

O Sinal de EEG é basicamente o resultado da ação global do operador Lead Field (somado entre várias correntes primárias) acrescida de componentes provenientes de fontes não neurais:

\mathbf{Y}_{e,t} = \sum_{r} \mathbb{L}_{e,r}\mathbf{S}_{r,t} + \chi_{e,t}

Campo no eletrodo e e tempo t

Dipolo de corrente primária na posição r e tempo t

Operador que leva a corrente primária nos valores de campos medidos, chamado de "Lead Field"

Ruído (outras fontes não neurais)

Soma entre todas as correntes primárias

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

Fonte: Cohen, "Analyzing Neural Time Series Data - Theory and Practice " (2014)

Resumo - principais fontes do EEG:

Correntes de volume secundárias, produzidas por potenciais pós-sinápticos (correntes primárias)
Sobretudo em disposição radial nas superfícies de giros corticais
Em ativação síncrona entre entre milhares de células radiais vizinhas (ocupando uma área de pelo menos 6cm²)
Com frequências dos sinais resultantes tipicamente abaixo de 100Hz e acima de 0.1Hz

Em amplificadores DC é possível medir frequências muito lentas, abaixo de 0.1Hz (mas podem ser muito sujeitas a artefatos)

Atividades acima de 100Hz são difíceis de sincronizar, portanto tem amplitude menor e por isso são mais difíceis de medir (na prática os diversos tecidos formam um filtro passa-baixa natural).

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1. Equações de Maxwell quase-estáticas e a condução de volume

Condução de volume e resolução espacial

Source: He et al., IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 2019

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2. O Problema da Modelagem Inversa

Se medimos o EEG, como descobrir as fontes?

"Modelo Forward"

"Modelo Inverso"

As duas grandes etapas da modelagem inversa:

Resolver o modelo "forward" (geometria do indivíduo, modelo de condutâncias, geometria do experimento + solução numérica)
Estimar a solução inversa (técnicas de inversão: otimização/inferência)

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2. O Problema da Modelagem Inversa

Como estimar o Lead Field?

1. Geometria do indivíduo

MRI

Segmentação

Fonte: Fieldtrip

Fonte: BrainVoyager

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3. O Modelo Forward

Como estimar o Lead Field?

2. Modelando as condutâncias

Escalpo: condutância da pele e tecidos subcutâneos
Crânio: condutância do osso (baixa condutância)
Fluido cerebroespinal: alta condutância
Cérebro: incluindo matéria cinzenta (alta condutância) e matéria branca (altamente anisotrópica)

Questão chave: modelagem Isotrópica ou Anisotrópica?

Diferentes camadas homogêneas representando os diferentes tecidos (escalpo, crânio, meninges, cérebro...)

Camadas esféricas ou com geometria real

Camadas isotrópicas ou anisotrópicas

Modelo mais empregado atualmente: poucas camadas homogêneas (ao menos 3), com geometrias reais mas condutâncias isotrópicas.

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3. O Modelo Forward

Como estimar o Lead Field?

3. Geometria do experimento

Neuronavegação

Co-registro

Fonte: MNE

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3. O Modelo Forward

Como estimar o Lead Field?

4. Integração das equações no limite quasi-estático

Modelo esférico: camadas homogêneas, isotrópicas e esféricas concêntricas

Boudary Element Method (BEM): camadas homogêneas, isotrópicas e com geometria real

Finite Element Method (FEM): camadas homogêneas, possivelmente anisotrópicas e com geometria real

Fonte: Hallez et al. (2007)

Melhor "custo-benefício"

Maior precisão

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3. O Modelo Forward

\mathbf{Y}_{e,t} = \sum_{r} \mathbb{L}_{e,r}\mathbf{S}_{r,t} + \chi_{e,t}

"Source space":

posição dos dipolos (r) no mesh cortical

"Lead field"

resultado do forward model: dado um dipolo em "r", qual o valor de campo no eletrodo "e".

Ruído

EEG

Invertendo o problema

\mathbf{Y} = \mathbb{L}\times \mathbf{S} +\mathbf{\chi}

\mathbf{S} = \mathbb{L}^{-1}\Bigl(\mathbf{Y} -\mathbf{\chi}\Bigr)

Matematicamente mal-posto: não há solução única (número de incógnitas muito maior que número de equações!)

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4. Soluções Inversas

Invertendo o problema: Estratégia 1: restringir as soluções otimizando alguma variável

\text{Considere a seguinte equação matricial relacionando dois vetores $\vec{x}$ (variável) e $\vec{y}$ (fixo):}

\vec{y}_{(m\times 1)} = \mathbb{A}_{(m\times n)}\times \vec{x}_{(n\times 1)}

\text{Estamos interessados no caso em que $m < n$, tal que o sistema é indeterminado para ser }

\text{solucionado em $\vec{x}$: há diveros $\vec{x}$ distintos que levam ao mesmo vetor $\vec{y}$.}

\text{Uma forma de atacar o problema é procurar pela solução mínima, isto é, tal que:}

||\vec{x}|| = \sqrt{\vec{x}^{T}\vec{x}}

\text{ seja menor possível.}

\text{Este tipo de problema pode ser formalizado como um {\bf problema de otimização}.}

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4. Soluções Inversas

Invertendo o problema: Estratégia 1: restringir as soluções otimizando alguma variável

\text{Queremos encontrar $\vec{x}$ tal que}

\vec{y}= \mathbb{A}\times \vec{x}

\text{seguintes vínculos: }

\text{Para isso vamos definir o seguinte Lagrangeano:}

||\vec{x}||^2 = \vec{x}^{T}\vec{x}

\text{ seja mínimo, mas tal que obedeça aos }

\mathcal{L}(\vec{x},\vec{\lambda})=\frac{1}{2}\vec{x}^{T}\vec{x} - \vec{\lambda}^{T}(\mathbb{A}\vec{x}-\vec{y})

\vec{\nabla}_{x}\mathcal{L}(\vec{x},\vec{\lambda})= \vec{x} - \mathbb{A}^{T}\vec{\lambda}

\vec{\nabla}_{\lambda}\mathcal{L}(\vec{x},\vec{\lambda})= \mathbb{A}\vec{x}-\vec{y}

\vec{x} = \mathbb{A}^{T}\vec{\lambda}

\mathbb{A}\vec{x}=\vec{y}

\mathbb{A} \vec{x} = \vec{y} = \mathbb{A}\mathbb{A}^{T}\vec{\lambda}

\vec{\lambda}= (\mathbb{A}\mathbb{A}^{T})^{-1} \vec{y}

\vec{x}= \mathbb{A}^{T} (\mathbb{A}\mathbb{A}^{T})^{-1} \vec{y}

\text{A matriz quadrada $(\mathbb{A}\mathbb{A}^{T})_{(m \times m)}$}

\text{tem inversa se $\mathbb{A}$ tiver posto cheio}

\text{e isto pode acontecer já que $m < n$.}

\text{Solução ``Minimum Norm'' (MN):}

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4. Soluções Inversas

\vec{x}= \mathbb{A}^{T} (\mathbb{A}\mathbb{A}^{T})^{-1} \vec{y}

\text{Solução ``Minimum Norm'' (MN):}

\text{Solução ``Minimum Norm'' com regularização de Tikhonov (MNE):}

\vec{x}= \mathbb{A}^{T} (\mathbb{A}\mathbb{A}^{T} + \alpha \mathbb{I})^{-1} \vec{y}

\text{Solução ``Weighted Minimum Norm'' (WMNE):}

\vec{x}= \mathbb{\Sigma}_{x}\mathbb{A}^{T} (\mathbb{A}\mathbb{\Sigma}_{x}\mathbb{A}^{T} + \mathbb{\Sigma}_{y})^{-1} \vec{y}

Considerando um ruído presente nos sinais: se o ruído for gaussiano de média zero, é melhor corrigir a solução assim:

Matriz de covariância do ruído nos sensores

Matriz de covariância do ruído nas fontes

Funciona como um "a priori": quanto menor a variância em determinado dipolo, mais a atividade neste dipolo será reduzida na solução final

Pode ser estimada a partir do EEG

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4. Soluções Inversas

\text{Solução ``Weighted Minimum Norm'' (WMNE):}

\vec{x}= \mathbb{\Sigma}_{x}\mathbb{A}^{T} (\mathbb{A}\mathbb{\Sigma}_{x}\mathbb{A}^{T} + \mathbb{\Sigma}_{y})^{-1} \vec{y}

\Sigma_{y}=\alpha \mathbb{I}

\Sigma_{x}= \mathbb{I}

\Sigma_{y}=0

\Sigma_{x}= \mathbb{I}

MINIMUM NORM "pura"

MINIMUM NORM regularizada (MNE)

LORETA ou sLORETA: impõe correlação entre fontes vizinhas (W é uma matriz diagonal em blocos, B o operador do Laplaciano)

\Sigma_{x}= \mathbb{W}\mathbb{B}^{T}\mathbb{B}\mathbb{W}

\Sigma_{x}:

Método "Dynamical Statistical Parametric Mapping" (dSPM)

Enviesadas em favor de distribuições superficiais (erros significativos quando há fontes subcorticais relevantes)

Outras soluções populares:

\Sigma_{y}=\alpha \mathbb{I}

\Sigma_{y}:

estimada do EEG

estimada de sinais BOLD (fMRI)

ou estimada do EEG

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4. Soluções Inversas

Invertendo o problema: Estratégia 2: buscar a solução mais provável

\vec{y}_{(m\times 1)} = \mathbb{A}_{(m\times n)}\times \vec{x}_{(n\times 1)}

\text{É possível encarar o nosso problema linear no regime indeterminado $(m < n)$,}

\text{em termos de probabilidades:}

p(\vec{x}|\vec{y}):

\text{probabilidade de obter uma distribuição nas fontes $\vec{x}$ dada o EEG $\vec{y}$}

p(\vec{y}|\vec{x}):

\text{probabilidade de obter um registro de EEG $\vec{y}$ dada as fontes $\vec{x}$}

\text{Forward model!}

\text{Esta parece ser o que queremos determinar: qual $\vec{x}$ maximiza $p(\vec{x}|\vec{y})$?}

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4. Soluções Inversas

Bônus: o Teorema de Bayes

P(x|y) = \frac{P(x,y)}{P(y)}

P(y|x) = \frac{P(y,x)}{P(x)}

P(x|y)P(y) = P(x,y)

P(y,x)=P(y|x)P(x)

P(x|y)P(y)=P(y|x)P(x)

P(x|y)=\frac{P(y|x)P(x)}{P(y)}

Probabilidade "a posteriori" em x

Verossimilhança (likelihood) em x

Prior ou probabilidade "a priori" em x.

Evidência ou verossimilhança (likelihood) marginal

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4. Soluções Inversas

Estratégia Bayesiana de Inversão

\vec{y}_{(m\times 1)} = \mathbb{A}_{(m\times n)}\times \vec{x}_{(n\times 1)}

p(\vec{x}|\vec{y}) = \frac{p(\vec{y}|\vec{x})p(\vec{x})}{p(\vec{y})}

Probabilidade de uma distribuição nas fontes dada a medição nos eletrodos

"Forward model"

Prior: quais fontes são, a priori, mais prováveis?

Normalização (irrelevante para decidir qual distribuição nas fontes é mais provável)

EEG

Fontes

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4. Soluções Inversas

"Forward Model"

\vec{\Phi}_{(m\times 1)} = \mathbb{G}_{(m\times n)}\times \vec{J}_{(n\times 1)}

p(\vec{\Phi}|\vec{J}):

probabilidade do EEG conhecidas as correntes nas fontes (J)

Distribuição normal

Valor esperado

Covariância nos eletrodos

p(\vec{\Phi}|\vec{J}) = N(\vec{\Phi}|\vec{\mu}=\mathbb{G}\times \vec{J};\mathbb{\Sigma} = \mathbb{C}_{e})

Estratégia Bayesiana de Inversão

Princípios e Técnicas de EEG

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4. Soluções Inversas

???

\vec{\Phi}_{(m\times 1)} = \mathbb{G}_{(m\times n)}\times \vec{J}_{(n\times 1)}

p(\vec{J}|\vec{\Phi}):

probabilidade das correntes nas fontes (J) dado o EEG (Phi)

p(\vec{J}|\vec{\Phi})\propto p(\vec{\Phi}|\vec{J})p(\vec{J})

Prior

Covariância das fontes

p(\vec{J}) = N(\vec{J}|\vec{\mu}=0;\mathbb{\Sigma} = \mathbb{C}_{J})

p(\vec{\Phi}|\vec{J}) = N(\vec{\Phi}|\vec{\mu}=\mathbb{G}\times \vec{J};\mathbb{\Sigma} = \mathbb{C}_{e})

Estratégia Bayesiana de Inversão

BAYES:

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4. Soluções Inversas

p(\vec{\Phi}|\vec{J}) \propto e^{- \frac{1}{2}(\mathbb{G}\vec{J}-\vec{\Phi})^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}(\mathbb{G}\vec{J}-\vec{\Phi})}

p(\vec{J}|\vec{\Phi})\propto p(\vec{\Phi}|\vec{J})p(\vec{J})

p(\vec{J}) = N(\vec{J}|\vec{\mu}=0;\mathbb{\Sigma} = \mathbb{C}_{J})

N(x|\vec{\mu},\mathbb{\Sigma}) \propto e^{- \frac{1}{2}(\vec{x}-\vec{\mu})^{T}\mathbb{\Sigma}^{-1}(\vec{x}-\vec{\mu})}

p(\vec{\Phi}|\vec{J}) = N(\vec{\Phi}|\vec{\mu}=\mathbb{G}\times \vec{J};\mathbb{\Sigma} = \mathbb{C}_{e})

p(\vec{J}) \propto e^{- \frac{1}{2}\vec{J}^{T}\mathbb{C}_{J}^{-1}\vec{J}}

\ln(p(\vec{J}|\vec{\Phi}))\propto - \frac{1}{2}(\mathbb{G}\vec{J}-\vec{\Phi})^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}(\mathbb{G}\vec{J}-\vec{\Phi}) - \frac{1}{2}\vec{J}^{T}\mathbb{C}_{J}^{-1}\vec{J}

Estratégia Bayesiana de Inversão

\text{Distribuição normal multivariada de média}

\text{$\vec{\mu}$ e covariância $\mathbb{\Sigma}$:}

p(\vec{J}|\vec{\Phi})\propto e^{ -\frac{1}{2}(\mathbb{G}\vec{J}-\vec{\Phi})^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}(\mathbb{G}\vec{J}-\vec{\Phi}) - \frac{1}{2}\vec{J}^{T}\mathbb{C}_{J}^{-1}\vec{J}}

Princípios e Técnicas de EEG

Aula 03

4. Soluções Inversas

\ln(p(\vec{J}|\vec{\Phi}))\propto - \frac{1}{2}(\mathbb{G}\vec{J}-\vec{\Phi})^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}(\mathbb{G}\vec{J}-\vec{\Phi}) - \frac{1}{2}\vec{J}^{T}\mathbb{C}_{J}^{-1}\vec{J}

\vec{\nabla}_{\vec{J}}\ln(p(\vec{J}|\vec{\Phi}))\propto -\mathbb{G}^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}(\mathbb{G}\vec{J}-\vec{\Phi}) - \mathbb{C}_{J}^{-1}\vec{J}

\Bigl(\mathbb{G}^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}\mathbb{G}+ \mathbb{C}_{J}^{-1}\Bigr)\vec{J}= \mathbb{G}^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}\vec{\Phi}

Estratégia Bayesiana de Inversão

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Princípios e Técnicas de EEG

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4. Soluções Inversas

\Bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}\mathbb{G}+ \mathbb{G}\Bigr)\vec{J}= \mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}\vec{\Phi}

\Bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}\mathbb{G}+ \mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}\mathbb{C}_{e}\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)^{-1}\mathbb{G}\Bigr)\vec{J}= \mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\mathbb{C}_{e}^{-1}\vec{\Phi}

\Bigl(\mathbb{G}+ \mathbb{C}_{e}\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)^{-1}\mathbb{G}\Bigr)\vec{J}= \vec{\Phi}

\Bigl(\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)^{-1}\mathbb{G}+ \mathbb{C}_{e}\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)^{-1}\mathbb{G}\Bigr)\vec{J}= \vec{\Phi}

\Bigl(\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)+ \mathbb{C}_{e}\Bigr)\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)^{-1}\mathbb{G}\vec{J}= \vec{\Phi}

Estratégia Bayesiana de Inversão

Princípios e Técnicas de EEG

Aula 03

4. Soluções Inversas

\Bigl(\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)+ \mathbb{C}_{e}\Bigr)\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)^{-1}\mathbb{G}\vec{J}= \vec{\Phi}

\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)^{-1}\mathbb{G}\vec{J}= \Bigl(\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)+ \mathbb{C}_{e}\Bigr)^{-1}\vec{\Phi}

\mathbb{G}\vec{J}= \mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\Bigl(\bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\bigr)+ \mathbb{C}_{e}\Bigr)^{-1}\vec{\Phi}

\vec{J}= \mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\Bigl(\mathbb{G}\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}+ \mathbb{C}_{e}\Bigr)^{-1}\vec{\Phi}

\vec{x}= \mathbb{\Sigma}_{x}\mathbb{A}^{T} (\mathbb{A}\mathbb{\Sigma}_{x}\mathbb{A}^{T} + \mathbb{\Sigma}_{y})^{-1} \vec{y}

Compare com a WMNE:

\vec{J}=\mathbb{C}_{J}\mathbb{G}^{T}\Bigl(\mathbb{G} \mathbb{C}_{J} \mathbb{G}^{T} + \mathbb{C}_{e}\Bigr)^{-1}\vec{\Phi}

O problema da modelagem inversa na estratégia bayesiana sob premissas de gaussianidade se reduz ao problema de estabelecer o melhor modelo para as covariâncias!

Estratégia Bayesiana de Inversão

Fonte: López et al (2014)

Princípios e Técnicas de EEG

Aula 03

4. Soluções Inversas

Fonte: Pascarella et al. 2023

Princípios e Técnicas de EEG

Aula 03

4. Soluções Inversas

Fonte: Pascarella et al. 2023

Source depth (mm)

SNR

Source depth (mm)

SNR

Princípios e Técnicas de EEG

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4. Soluções Inversas

DCM: Dynamic Causal Modelling

(Forward Model + Model of neural activity + Bayesian Approach)

v_2=h_i\otimes m_2

m_2=S_2(v_3)

v_1=h_e\otimes m_1

m_1=p(t)+S_1(v_2)

v_3=h_e\otimes m_3

m_3=S_3(v_1-v_2)

Células Piramidais Excitatórias

Células Spiny-Stellate Excitatórias

Interneurônios Inibitórios

v_3

v_2

p(t)

x(t) = v_3

v_2

v_1

Conexões extrínsicas

Forward model

y(t) = g(x(t))

Medição

Output

"Hidden states"

p(y|m_0)

p(y|m_1)

p(y|m_2)

Diferentes modelos

Buscar pelo modelo que maximiza a evidência

Evidência:

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5. Modelagem Causal

Exemplo: feedback frontotemporal em perda de consciência

Boly et al., Science (2011)

p(y|m_i)

Procurar pelos parâmetros que maximizam a evidência de um dado modelo

Calcular a evidência ótima para um dado modelo

Selecionar o melhor modelo

Princípios e Técnicas de EEG

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5. Modelagem Causal

Princípios e Técnicas de EEG

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6. Laplaciano: redução de condução de volume nos sensores

sensível a dipolos radiais (método para EEG, não para MEG)
"reference-free"
não depende de modelagem forward ou inversa, mas necessita de EEG de alta densidade
amplifica efeitos locais
atenua atividades temporalmente coerentes entre várias fontes e que são espacialmente distribuídas no EEG (ex: P300)

Filtro espacial passa-alta construído pela segunda derivada do EEG
Também chamado de "surface current density" ou "current source density", mas não é uma estima das fontes e sim um método de redução de condução de volume

\sigma \nabla^2\Phi = \vec{\nabla}.\vec{J}_{P}