Variantes del

Max-Mean

Dispersión

para el problema de

VNS

4 - 6 Feb MAEB 2015

An Thanh Pham | Rubén Carrasco | Francisco Gortázar | Micael Gallego | Abraham Duarte

Introducción

Métodos previos

VNS

Experimentación

Conclusiones

Tabla de Contenidos

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Introducción

G(V,E)
G(V,E)

Diversidad Max-Mean (MMDP)

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

V(|V|=n)
V(∣V∣=n)
E(|E|=n(n-1)/2)
E(∣E∣=n(n−1)/2)
S \in V
S∈V
f = \frac{ \sum_{i < j; i , j \in S} d_{ij} } {\displaystyle |S| }
f=​∣S∣​​∑​i<j;i,j∈S​​d​ij​​​​

Introducción

Diversidad Max-Mean (MMDP)

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

  • La definición de distancia puede ser específica del problema
  • La distancia entre dos elementos puede tomar valores negativos
  • El tamaño de las soluciones es variable
  • En este trabajo proponemos diferentes variantes del VNS para la búsqueda de soluciones aproximadas a este problema de optimización

Introducción

Ejemplo MMDP

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Introducción

Ejemplo MMDP

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Introducción

Ejemplo MMDP

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

x = [1, 3, 4, 5]
x=[1,3,4,5]
f(x) = 4.00
f(x)=4.00
x = [1, 3, 4]
x=[1,3,4]
f(x) = 4.67
f(x)=4.67

Introducción

Métodos previos

VNS

Experimentación

Conclusiones

Tabla de Contenidos

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Métodos Previos

[Martí 13]

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Propone un GRASP especializado con Path Relinking para el problema del EDP

[Prokopyev 09]

Se presenta el problema del Equitable Dispersion Problem (EDP) y propone un método GRASP

Introducción

Métodos previos

VNS

Experimentación

Conclusiones

Tabla de Contenidos

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

VNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Introducción

Constructivos

Operadores de Vecindad

Búsqueda Local

Perturbación

Variantes

VNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

  • Variantes y aplicaciones descritas por [Hansen 10]
  • Tratan de escapar de los óptimos locales a través de cambios sistemáticos de los operadores de vecindad
  • Propuesta por primera vez por [Mladenovic 97]
  • Habitualmente compuesto por dos fases, búsqueda local, y perturbación de la solución

Introducción

VNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Introducción

Constructivos

Operadores de Vecindad

Búsqueda Local

Perturbación

Variantes

VNS

Constructivo

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

C_{des}
C​des​​
  • Comienza con todos los elementos seleccionados
  • Cada paso se elimina un elemento
  • El algoritmo para cuando no hay ningún elemento que al eliminarlo, mejore el valor de la función objetivo
  • El elemento eliminado es aquel que menos aporta a la función objetivo
C_{s}(i) = \sum_{j \in S, i \ne j} d_{ij}, i \in S
C​s​​(i)=∑​j∈S,i≠j​​d​ij​​,i∈S

VNS

Constructivo

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

C_{con}
C​con​​
  • Comienza sin ningún elemento seleccionado
  • Cada paso se selecciona un elemento
  • El algoritmo para cuando no hay ningún elemento que al seleccionarlo, mejore el valor de la función objetivo
  • El elemento seleccionado es aquel que más aportaría a la función objetivo
C_{u}(i) = \sum_{j \in S} d_{ij}, i \in U
C​u​​(i)=∑​j∈S​​d​ij​​,i∈U

VNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Introducción

Constructivos

Operadores de Vecindad

Búsqueda Local

Perturbación

Variantes

VNS

Operadores de vecindad

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Intercambios

N_1
N​1​​

Insercciones

N_2
N​2​​

Borrados

N_3
N​3​​

VNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Introducción

Constructivos

Operadores de Vecindad

Búsqueda Local

Perturbación

Variantes

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​
  • Probar todos los movimientos posibles empezando por los más prometedores
  • La estrategia de selección es First-Improvement
  • La búsqueda para cuando no hay movimiento que la mejore

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​
C_{s}(i) < C_{s}(i+1)
C​s​​(i)<C​s​​(i+1)
C_{u}(i) > C_{u}(i+1)
C​u​​(i)>C​u​​(i+1)
C_{s}(i) = \sum_{ j \in S, i \neq j } d_{ij} , i \in S
C​s​​(i)=∑​j∈S,i≠j​​d​ij​​,i∈S
C_{u}(i) = \sum_{ j \in S } d_{ij} , i \in U
C​u​​(i)=∑​j∈S​​d​ij​​,i∈U

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos todos los intercambios entre S1 y Un

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos todos los intercambios entre S1 y Un

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos todos los intercambios entre S1 y Un

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos todos los intercambios entre S1 y Un

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

X

Probamos el borrado

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos los intercambios con el siguiente elemento

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos los intercambios con el siguiente elemento

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos los intercambios con el siguiente elemento

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos los intercambios con el siguiente elemento

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos las insercciones

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos las insercciones

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos las insercciones

VNS

Búsqueda local

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{all}
LS​all​​

Probamos las insercciones

VNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Introducción

Constructivos

Operadores de Vecindad

Búsqueda Local

Perturbación

Variantes

VNS

Mecanismo de perturbación

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

k
k
  • Perturbación en base al parámetro 
  • Una perturbación de tamaño    consiste en intercambiar     elementos seleccionados de forma aleatoria
k
k
k
k

VNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Introducción

Constructivos

Operadores de Vecindad

Búsqueda Local

Perturbación

Variantes

VNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Variantes

Basic VNS (BVNS)

Variable Neighbourhood Descent (VND)

General VNS (GVNS)

VNS

Variante BVNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

k = 0
k=0
LS_{all}
LS​all​​
k_{max}?
k​max​​?
k = 1
k=1
k = k + 1
k=k+1

Constructivo

Perturbación

¿mejora?

Sí

No

Sí

No

VNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

N_{A}
N​A​​

Constructivo

¿mejora?

Sí

No

Sí

No

Variante VND

N_{B}
N​B​​
N_{C}
N​C​​

¿mejora?

¿mejora?

No

Sí

VNS

Variante GVNS

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

LS_{VND}
LS​VND​​
LS_{all}
LS​all​​
  • Se sustituye            por
  • El mismo esquema algorítmico que BVNS

Introducción

Métodos previos

VNS

Experimentación

Conclusiones

Tabla de Contenidos

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Experimentación

Tipo I: Matrices simétricas de números reales entre [-10, 10] generados aleatoriamente con distribución uniforme

Instancias

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Tipo II: Matrices simétricas de números reales entre [-10, -5] U [5, 10] generados aleatoriamente con distribución uniforme

La generación de instancias viene dada por el estado del arte

Experimentación

Experimentos preliminares con 12 instancias

​    6 instancias de cada tipo

    3 instancias de 150 y 3 de 500 por tipo

Experimento final con 40 instancias

    20 instancias de cada tipo

    10 instancias de 150 y 10 instancias de 500 por tipo

Fases

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Experimentación

Entorno

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

  • Intel i7 QuadCore 6GB RAM
  • Algoritmos implementados con Java7

Experimentación

Selección del constructivo

Método DEV #BEST CPU TIME
[Martí 13] 0.00% 12 382.88
13.12% 0 0.03
4.82% 0 0.01

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

C_{con}
C​con​​
C_{des}
C​des​​

DEV            = Desviación media respecto al mejor método del experimento

#BEST        = Número instancias donde el método obtiene la mejor solución

CPU TIME  = Tiempo de ejecución empleado por el método en segundos

Experimentación

Ajuste paramétrico del BVNS

Método DEV #BEST CPU TIME
[Martí 13]            0.95% 2 382.88
BVNS 2.00% 0 2.31
BVNS 1.55% 1 6.09
BVNS 1.26% 2 15.73
BVNS 0.04% 10 139.19

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

k_{max} = 5
k​max​​=5
k_{max} = 10
k​max​​=10
k_{max} = 20
k​max​​=20
k_{max} = 50
k​max​​=50

Experimentación

Ajuste paramétrico del VND

Método DEV #BEST CPU TIME
[Martí 13]                0.17% 9 382.88
VND 1.68% 1 2.93
VND 1.90% 1 0.26
VND 1.30% 1 0.84
VND 1.18% 1 0.83
VND 1.40% 1 0.25
VND 1.19% 1 0.62
VND 1.97% 0 0.04

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

_{ins-exch-rem}
​ins−exch−rem​​
_{ins-rem-exch}
​ins−rem−exch​​
_{exch-ins-rem}
​exch−ins−rem​​
_{exch-rem-ins}
​exch−rem−ins​​
_{rem-ins-exch}
​rem−ins−exch​​
_{rem-exch-ins}
​rem−exch−ins​​
_{ins-rem}
​ins−rem​​

Experimentación

Ajuste paramétrico del GVNS

Método DEV #BEST CPU TIME
[Martí 13]            0.78% 2 382.88
GVNS 1.57% 2 4.06
GVNS 1.10% 2 2.13
GVNS 0.38% 6 48.56
GVNS 0.03% 10 80.40

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

k_{max} = 10
k​max​​=10
k_{max} = 20
k​max​​=20
k_{max} = 40
k​max​​=40
k_{max} = 50
k​max​​=50

Experimentación

Comparativa Final

Método DEV #BEST CPU TIME
[Martí 13]                0.89% 6 382.88
BVNS 0.05% 31 44.36
GVNS 1.56% 3 225.22
VND 2.99% 1 2.04

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

k_{max} = 50
k​max​​=50
k_{max} = 50
k​max​​=50
_{exch-rem-ins}
​exch−rem−ins​​

Introducción

Métodos previos

VNS

Experimentación

Conclusiones

Tabla de Contenidos

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

Conclusiones

  • Se ha diseñado un método que mejora al estado del arte para las instancias propuestas.

Variantes del VNS para el problema de Dispersión Max-Mean 

  • Implementación y comparativa de diferentes variantes del VNS
  • Se ha diseñado diferentes tipos de constructivos y vecindades
k
k
  • En BVNS y GVNS, a mayor valor de    , mejores resultados pero con mayor tiempo de ejecución
  • El GNVS no es capaz de mejorar al BVNS aunque sea más elaborado 

Variantes del

Max-Mean

Dispersión

para el problema de

VNS

4 - 6 Feb MAEB 2015

An Thanh Pham | Rubén Carrasco | Francisco Gortázar | Micael Gallego | Abraham Duarte