An Optimal and Progressive Algorithm for Skyline Queries

Gliederung

  • Problemstellung
  • Beispiel
  • Nearest Neighbor
  • Branch and Bound Algorihtmus
  • Evaluation

Problemstellung

Gegeben: Punktemenge                 , wobei              

 

 

Gesucht: Teilmenge von Punkten, die von keinem anderen Punkt 

dominiert werden

p_1,...,p_N
p1,...,pNp_1,...,p_N
p_i \in \mathbb{R}^d
pi∈Rdp_i \in \mathbb{R}^d

Problemstellung

        dominiert        , g.d.w.

p_j
pjp_j
p_i
pip_i
(p_j)_k \leqslant (p_i)_k \forall k \in \{1,...,d\}
(pj)k⩽(pi)k∀k∈{1,...,d}(p_j)_k \leqslant (p_i)_k \forall k \in \{1,...,d\}

das bedeutet:        ist bezüglich aller Eigenschaften mindestens "so gut" wie 

p_j
pjp_j
p_i
pip_i

Problemstellung

Wir suchen also Punkte, die optimal sind bezüglich der Kombination ihrer Eigenschaften

Beispiel

Liste von Hotels (Punkte) a,...,n mit 2 Eigenschaften

(Dimensionen) von Interesse

Nearest Neighbor (NN)

 

  • Suche Punkt mit minimaler Distanz (z.B.       -Norm) zum Ursprung
  • Alle Punkte, die von diesem Punkt dominiert werden, können ausgeschlossen werden
  • Teile den verbleibenden Raum gemäß den Koordinaten des gefundenen Punktes auf
L_1
L1L_1

Nearest Neighbor (NN)

 

  • Füge die gefundenen Partitionen in eine todo-Liste ein
  • Wiederhole diesen Prozess rekursiv auf allen Partitionen, bis die todo-Liste leer ist

Nearest Neighbor (NN)

 

Problem für höhere Dimensionen (d>2): überlappende Partitionen       redundante Zugriffe

Anzahl an Knoten-Zugriffen:

NA_{NN} \geqslant s \cdot h \cdot d
NANN⩾s⋅h⋅dNA_{NN} \geqslant s \cdot h \cdot d
\rightarrow
→\rightarrow

Verbesserung durch...

Branch and Bound Skyline Algorithmus (BBS)

 

Branch and Bound Skyline Algorithmus

 

Idee: Teile Raum in MBRs (Minimum Bounding Rectangles) auf und prune Bereiche, die von einem Skyline-Punkt dominiert werden         disjunkte Partitionierung 

\rightarrow
→\rightarrow

Branch and Bound Skyline Algorithmus

 

Branch and Bound Skyline Algorithmus

 

action

heap contents

S

< e_7, 4> < e_6,6 >
<e7,4><e6,6>< e_7, 4> < e_6,6 >
\varnothing
∅\varnothing
\text{expand } e_7
expand e7\text{expand } e_7
\text{access root}
access root\text{access root}
< e_3,5> < e_6, 6> < e_5, 8> < e_4, 10>
<e3,5><e6,6><e5,8><e4,10>< e_3,5> < e_6, 6> < e_5, 8> < e_4, 10>
\varnothing
∅\varnothing
\text{expand } e_3
expand e3\text{expand } e_3
< \textbf{ i,5}> < e_6, 6> < h, 7> < e_5, 8>
< i,5><e6,6><h,7><e5,8>< \textbf{ i,5}> < e_6, 6> < h, 7> < e_5, 8>
< e_4, 10> < g,11>
<e4,10><g,11>< e_4, 10> < g,11>
\{i\}
{i}\{i\}
\text{expand } e_6
expand e6\text{expand } e_6
< h,7 > < e_5, 8 > < e_1 , 9> < e_4, 10> < g ,11>
<h,7><e5,8><e1,9><e4,10><g,11>< h,7 > < e_5, 8 > < e_1 , 9> < e_4, 10> < g ,11>
\{i\}
{i}\{i\}
\text{expand } e_1
expand e1\text{expand } e_1
< \textbf{a,10} > < e_4, 10> < g ,11> < b, 12>
<a,10><e4,10><g,11><b,12>< \textbf{a,10} > < e_4, 10> < g ,11> < b, 12>
\{i, a\}
{i,a}\{i, a\}
\text{expand } e_4
expand e4\text{expand } e_4
< \textbf{k,10} > < g ,11> < b, 12> < c,12 >
<k,10><g,11><b,12><c,12>< \textbf{k,10} > < g ,11> < b, 12> < c,12 >
\{i, a,k\}
{i,a,k}\{i, a,k\}

Branch and Bound Skyline Algorithmus

 

  • Alle Punkte in S sind Teil der Skyline und es gibt keine false hits
  • Progressivität: erste Resultate werden dem User sofort ausgegeben und sukzessive erweitert
  • Fairness: keine Punkte, die besonders "gut" in einer Dimension sind, werden bevorzugt
  • Einbindung von Präferenzen 
  • Universalität bezüglich Datendistribution und Dimensionalität

Branch and Bound Skyline Algorithmus

 

  • Die Anzahl an Knoten-Zugriffen von BBS ist optimal (d.h. kein Knoten im R-tree wird doppelt besucht)
  • Anzahl an tatsächlichen Zugriffen: 
NA_i =
NAi=NA_i =
P_{intr-i} =
Pintr−i=P_{intr-i} =

Anzahl an Knoten-Zugriffen auf Level i

Wahrscheinlichkeit, dass 

für einen Knoten auf Level i

e_i \cap SSR \neq \emptyset
ei∩SSR≠∅e_i \cap SSR \neq \emptyset

Branch and Bound Skyline Algorithmus

 

NA_i =
NAi=NA_i =
P_{intr-i} =
Pintr−i=P_{intr-i} =

Anzahl an Knoten-Zugriffen auf Level i

Wahrscheinlichkeit, dass 

für einen Knoten       auf Level i

e_i \cap SSR \neq \emptyset
ei∩SSR≠∅e_i \cap SSR \neq \emptyset
NA_i = \frac{N}{f^{i+1}} P_{intr-i}
NAi=Nfi+1Pintr−iNA_i = \frac{N}{f^{i+1}} P_{intr-i}
\frac{N}{f^{i+1}} =
Nfi+1= \frac{N}{f^{i+1}} =

Anzahl an Knoten auf Level i (f ist durchschnittliche Knotenkapazität)

Dann ist

und

NA_{BBS} = \sum_{i=1}^h{NA_i} \leqslant s \cdot h
NABBS=∑i=1hNAi⩽s⋅hNA_{BBS} = \sum_{i=1}^h{NA_i} \leqslant s \cdot h
e_i
eie_i

Branch and Bound Skyline Algorithmus und Nearest Neighbor im Vergleich

 

\frac{NA_{NN}}{NA_{BBS}} \geqslant d
NANNNABBS⩾d\frac{NA_{NN}}{NA_{BBS}} \geqslant d

Bewertung

  • in der Tat optimale Anzahl an Knotenzugriffen UNTER dieser Datenaufbereitung, ABER:
  • unter Umständen teure Berechnung der MBR's, die nicht in das Paper eingegangen sind
  • Skalierbarkeit auf andere Datenstrukturen (keine R-trees)?
  • Problem bei höheren Dimensionen des Datenraums