Splay trees 101

Po každém přístupu "vytáhne" používaný uzel nahoru k rootu.

Neudržuje explicitně vyvážení
Po operaci provede splay(x): uzel x se přes rotace přesune do rootu
Operace běží v \(O(n)\), amortizovaná složitost operací je \(O(\log n)\)

Existují 3 základní kroky:

Splay operace

P

x

1) Zig

\(x\) nemá dědečka

2) Zig-zig

\(x\) a \(p\) jsou na stejné straně vůdči \(G\)

3) Zig-zag

\(x\) a \(p\) jsou na opačné straně vůdči \(G\)

P

G

x

P

G

x

Existují 3 základní kroky:

Splay operace

P

x

1) Zig

\(x\) nemá dědečka

2) Zig-zig

\(x\) a \(p\) jsou na stejné straně vůdči \(G\)

3) Zig-zag

\(x\) a \(p\) jsou na opačné straně vůdči \(G\)

P

G

x

P

G

x

Existují 3 základní kroky:

Splay operace

P

x

1) Zig

\(x\) nemá dědečka

2) Zig-zig

\(x\) a \(p\) jsou na stejné straně vůdči \(G\)

3) Zig-zag

\(x\) a \(p\) jsou na opačné straně vůdči \(G\)

P

G

x

P

G

x

Existují 3 základní kroky:

Splay operace

P

x

1) Zig

\(x\) nemá dědečka

2) Zig-zig

\(x\) a \(p\) jsou na stejné straně vůdči \(G\)

3) Zig-zag

\(x\) a \(p\) jsou na opačné straně vůdči \(G\)

P

G

x

P

G

x

Existují 3 základní kroky:

Splay operace

P

x

1) Zig

\(x\) nemá dědečka

2) Zig-zig

\(x\) a \(p\) jsou na stejné straně vůdči \(G\)

3) Zig-zag

\(x\) a \(p\) jsou na opačné straně vůdči \(G\)

P

G

x

P

G

x

Existují 3 základní kroky:

Splay operace

P

x

1) Zig

\(x\) nemá dědečka

2) Zig-zig

\(x\) a \(p\) jsou na stejné straně vůdči \(G\)

3) Zig-zag

\(x\) a \(p\) jsou na opačné straně vůdči \(G\)

P

G

x

P

G

x

P

x

1) Zig

\(x\) nemá dědečka

2) Zig-zig

\(x\) a \(p\) jsou na stejné straně vůdči \(G\)

3) Zig-zag

\(x\) a \(p\) jsou na opačné straně vůdči \(G\)

P

G

x

P

G

x

\(x\) nad \(p\)

\(p\) nad \(g\)

\(x\) nad \(p\)

\(x\) nad \(g\)

Proč při operaci Splay nestačí jen opakovaně používat samotný Zig?

Dvojitý krok není jen rychlejší posun uzlu o dvě úrovně, ale hlavně chytřejší lokální přestavba, která dává splay stromům jejich samooptimalizační chování a amortizované záruky.

Operace na Splay stromu:

Find

Proveď běžné BST hledání
If \(x\) existuje \(\rightarrow\) splay(x)
If \(x\) neexistuje \(\rightarrow\) splay(closest)

Insert

Vlož klíč \(x\) jako v BST
splay(x) do rootu

Delete

find(x)
if neex. \(\rightarrow\) konec
if ex. \(\rightarrow\)je root
Smaž root
Máš L a R podstrom

L

R

Operace na Splay stromu:

Delete

find(x)
if neex. \(\rightarrow\) konec
if ex. \(\rightarrow\)je root
Smaž root
Máš L a R podstrom

L

R

A) L je prázdný \(\rightarrow\) R je novým rootem

B)Jinak:

Najdi maximum v L (nejpravější uzel)
splay(maximum v L)
\(\rightarrow\) stane se rootem L
Připoj R jako pravý podstrom tohoto rootu

Splay stromy:

✅ Skvělé, když se přístupy opakují (cache-like chování)

✅ Jednoduchá implementace

✅ Amortizovaně \(O(\log n)\)

Gratulace!

Stali jste se Splay mastery! 😎👍️

Příklad

Let's get splayI'n

Do nejprve prázdného stromu splay tree vkládejte postupně klíče:

Nakreslete strom po každém vložení.

2

7

1

4

3

9

5

6

Řešení

Sekvence:

2

7

1

4

3

9

5

6

Příklad

Změna hloubky splay tree

Splay tree obsahuje \(2^n-1\) klíčů s hodnotou \(1, 2, 3, ..., 2^n-1\) a je ideálně vyvážený, to jest má hloubku \(n-1\) .

Po vyhledání prvku s klíčem 1 se tento prvek přesune do kořene stromu.

Jakou hloubku bude mít výsledný strom? Řešte zvlášť pro sudé a liché \(n\).

8

Strom má \(2^n-1\) klíčů, je perfektní, tedy:

hloubka je \(n-1\)
klíč 1 je nejmenší \(\rightarrow\) leží v nejlevnějším listu (v hloubce \(n-1\))

Jak probíhá Splay?

Opakujeme zig-zig nebo zig v závislosti na počtu uzlů nad námi

Pokud \(n\) je sudé, následuje závěrečný zig

Řešení

1. Zig-zig

Pro \(n=4\):

8

4

12

2

6

10

14

1

3

5

7

9

11

13

15

1. Zig-zig

Pro \(n=4\):

8

2

12

1

4

10

14

3

6

9

11

13

15

5

7

1. Zig-zig

Pro \(n=4\):

8

1

12

2

10

14

4

9

11

13

15

3

6

5

7

1. Zig-zig

2. Zig

Pro \(n=4\):

1

8

2

12

4

10

14

3

6

9

11

13

15

5

7

1. Zig-zig

Pro \(n=5\):

16

8

24

4

12

20

28

2

6

10

14

18

22

26

30

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

1. Zig-zig

Pro \(n=5\):

16

8

24

2

12

20

28

1

4

10

14

18

22

26

30

3

6

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

5

7

1. Zig-zig

Pro \(n=5\):

16

8

24

1

12

20

28

2

10

14

18

22

26

30

4

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

3

6

5

7

1. Zig-zig

2. Zig-zig

Pro \(n=5\):

8

1

16

2

12

24

4

10

14

20

28

3

6

9

11

13

15

18

22

26

30

5

7

17

19

21

23

25

27

29

31

1. Zig-zig

2. Zig-zig

Pro \(n=5\):

1

8

2

16

4

12

24

3

6

10

14

20

28

5

7

9

11

13

15

18

22

26

30

17

19

21

23

25

27

29

31

Řešení

Vždy:

1 je v kořeni
levý podstrom je prázdný

Výsledek:

Během těchto rotací se části stromu posunou v nejhorším případě o 2 úrovně níž, než byly v ideálním stromu.

Vyjímky:

\(n=1\): strom má jen \(\{1\}\) \(\rightarrow\) hloubka 0

\(n=2\): \(\{1,2,3\}\) \(\rightarrow\) po splay vznikne řetězec \(1 - 2 - 3\) \(\rightarrow\) hloubka 2

Red-Black Tree

= vyvážené binární stromy, které si hlídají, aby výška byla \(O(\log n)\).

Platí následující pravidla:

Každý uzel je B nebo R
Kořen je B
Všechny listy "NIL" jsou B
R uzel nemá R dítě (žádné dvě R za sebou)
Všechny cesty k NIL listům mají stejný počet B uzlů (tzv. black-height)

Operace na RB stromu:

Find

Porovnáme klíč s aktuálním uzlem
if menší \(\rightarrow\) vlevo
if větší \(\rightarrow\) vpravo
Najdeš nebo spadneš do NIL

Insert

Delete

Operace na RB stromu:

Insert

Vložíš nový uzel na správné místo
Oprava barev
- Nový uzel vkládáme R (neporušíš black-height; můžeš porušit pravidlo dvou R za sebou)
- Řešíme 3 případy:

P

G

U

x

A) Taťka je B

B) Strejda je R

C) Strejda je B

P

G

U

x

P

G

U

x

P

G

U

x

A) Taťka je B

B) Strejda je R

C) Strejda je B (nebo NIL)

P

G

U

x

P

G

U

x

Všechny podmínky OK

Jsme hotovi ✅

Taťku a strejdu dej B

Dědu hoď na R

Opakuj od dědy iterat.

P

G

U

x

If \(x\) je vnitřní dítě, pak malá rotace kolem táty (aby byl vnější)

Pak rotace kolem dědy

Pak přebarvit...

P

G

U

x

P

G

U

x

G

U

P

Operace na RB stromu:

Find

Insert

Delete

✅

❓

Operace na RB stromu:

Delete

Smaž: (BST-style)
- Když má uzel 0 nebo 1 dítě \(\rightarrow\) smaž přímo
- Když má uzel 2 děti \(\rightarrow\) vyměníš ho s následníkem (dítě)
Oprav barvy:
- Smažeš R: většinou v pohodě 😏
- Smažeš B: právě jsi porušil black-height 😫

Viz přednáška (4 různé případy)

Gratulace!

Právě jsi rezignoval na RB stromy! 🤷‍♀️

Příklad

Fun with colors

Navrhněte červenočerné obarvení daných stromů tak, aby vznikl korektní červenočerný strom.

Prázdné (NIL) listy nejsou zobrazeny

Navrhněte červenočerné obarvení daných stromů tak, aby vznikl korektní červenočerný strom.

Prázdné (NIL) listy nejsou zobrazeny

Příklad 1:

A

E

B

F

C

D

Každý uzel je B nebo R
Kořen je B
Všechny listy "NIL" jsou B
R uzel nemá R dítě (žádné dvě R za sebou)
Všechny cesty k NIL listům mají stejný počet B uzlů

G

Příklad 2:

A

G

B

F

E

D

C

Příklad 3:

D

B

J

H

K

I

F

E

G

A

C

Příklad

One big RB tree

RB-strom má černou výšku rovnou 11.

ℹ️ Černá výška je určena jako počet černých uzlů na cestě z kořene do kteréhokoli listu (obsahujícího klíč) zmenšený o 1 (nepočítáme root).

Určete, jaký je v tomto stromu maximální možný počet:

B uzlů
R uzlů
všech uzlů

Počet uzlů je maximální pokud je strom ideálně vyvážený a obsahuje R uzly na každé sudé úrovni.

Řešení

Celkem tedy: \(N_{max} = 2^0 + 2^1 + ... + 2^{21} = 2^{22} -1\) uzlů

Červené uzly jsou liché úrovně:

\(\textcolor{red}{\textbf{R}_{max}} = 2^1 + 2^3 + ... + 2^{21} = 2 \cdot (1 + 4 + 4^2 + ... + 4^{10}) = 2 \cdot \frac{4^{11}-1}{4-1}\)

Počet R uzlů

Součet prvních \(n\) členů

geometrické posloupnosti ⇱

Počet B uzlů

Červené uzly jsou sudé úrovně:

\(\textcolor{bl}{\textbf{B}_{max}} = 2^0 + 2^2 + ... + 2^{20} = (1 + 4 + 4^2 + ... + 4^{10}) = \frac{4^{11}-1}{4-1}\)

A samozřejmě platí \(\textcolor{bl}{\textbf{B}_{max}} + \textcolor{red}{\textbf{R}_{max}} = N_{max}\)

Příklad

RB-strom manuálně

RB-strom obsahuje 15 klíčů, jeho černá hloubka je 2, tj. obsahuje 10 červených uzlů.

Hodnoty klíčů jsou \(1, 2, 3, ..., 7, 8, 21, 22, ..., 26, 27\). Do stromu postupně vložíme další klíče s hodnotou \(11, 12, 13\). Nakreslete původní strom a dále strom po každém vložení.

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

Vkládáme 11

Konflikt

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

Strejda je R

Úloha typu-easy 🤌

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

Taťka a strejda změna na B

Děda změna na R

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

Konflikt

Strejda je R 👏

Přebarvení 🎨

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

Po vložení klíče 11:

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

Vkládáme 12

Konflikt

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

Rotace na vnějšek

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

Rotace výš

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

Přebarvení

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

Po vložení klíče 12:

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

13

Vkládáme 13

Konflikt

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

Strejda R \(\rightarrow\) barvíme 👌

13

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

Strejda R \(\rightarrow\) barvíme 👌

Konflikt

13

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

Strejda B \(\rightarrow\) rotujeme 😟

13

Řešení

8

4

2

1

3

6

5

7

21

22

23

24

25

26

27

11

12

13

Po vložení klíče 13:

Hotovo ✅

Příklad

The impossible RB-tree

Rozhodněte, zda existuje příklad regulárního (každý vnitřní uzel má dva potomky) binárního stromu který nelze obarvit podle pravidel RB-stromu.

Příklad buď uveďte nebo zdůvodněte jeho nemožnost.

Řešení

Ano, takový regulární strom existuje.

Může mít 2 nebo 3 B uzly

Nedokáže mít méně než 4 B uzly

B+ stromy

B+ strom je vyvážený vyhledávací strom používaný hlavně v databázích.

Každý uzel (kromě kořene) má "hodně" potomků / klíčů \(\rightarrow\) malá výška
Všechny hodnoty jsou uloženy v listech 🌿
Vnitřní uzly obsahují pouze klíče 🔑 pro navigaci...
Listy jsou propojené do Linked-listu
Strom je vždy vyvážený ⚖️

Struktura uzlu

10

20

30

40

Uzel...

...řádu 5:

... se 4mi klíči ...

Struktura uzlu

10

20

30

40

1

2

3

4

20

23

26

29

20 ≤

< 30

Data

List...

List 🌿

Node

Struktura uzlu

List 🌿

Node

List 🌿

Operace na B+ stromu:

Find

Proveď běžné BST hledání

Insert

Najdeme, kam \(x\) patří
Vložíme mezi ostatní klíče
If list přeteče:
1. Rozdělíme list na 2
2. Do rodičovského uzlu vložíme první klíč R listu
3. Propojíme listy

Delete

Smaž \(x\)
if list nemá min. počet prvků:
1. Snažíme si půjčit od sourozence
2. Pokud selžeme, provedem merge s využitím klíče z rodiče

Gratulace!

Vždyť už jsme to vlastně uměli... 😏

Příklad

B+ strom na Čas

Vybudujte B+ strom řádu 3 tak, že do prázdného stromu vložíte v uvedeném pořadí klíče:

32

18

31

59

20

23

24

36

60

58

15

57

51

17

16

26

42

21

43

12

Nakreslete strom po každé operaci Insert.

Na řešení máte 7 minut.

Snažte se získat co nejvíce bodů.

32

18

31

59

20

23

24

36

60

58

15

57

51

17

16

26

42

21

43

12

Vybudujte B+ strom řádu 1 tak, že do prázdného stromu vložíte v uvedeném pořadí klíče:

Nakreslete strom po každé operaci Insert.

Na řešení máte 7 minut.

Snažte se získat co nejvíce bodů.

Řešení

Sekvence:

32

18

31

59

20

23

24

36

60

58

15

57

51

17

16

26

42

21

43

12

řád 3

Vyhledávací stromy: Splay, RB a B+

Splay trees 101

Gratulace!

Příklad

Let's get splayI'n

Příklad

Změna hloubky splay tree

Red-Black Tree

Gratulace!

Příklad

Fun with colors

Příklad

One big RB tree

Příklad

RB-strom manuálně

Příklad

The impossible RB-tree

B+ stromy

Gratulace!

Příklad

B+ strom na Čas

Na
Viděnou
Za týden :)

Vyhledávací stromy: Splay, RB a B+

Splay trees 101

Gratulace!

Příklad

Let's get splayI'n

Příklad

Změna hloubky splay tree

Red-Black Tree

Gratulace!

Příklad

Fun with colors

Příklad

One big RB tree

Příklad

RB-strom manuálně

Příklad

The impossible RB-tree

B+ stromy

Gratulace!

Příklad

B+ strom na Čas

Na Viděnou Za týden :)

Na
Viděnou
Za týden :)