Logique

Pour l'informatique

Adrien Durier

Miage CFA

2024-2025

Logique Propositionnelle

A \land B

Le ET logique

Logique Propositionnelle

A \land B

Menu avec plat et dessert

A B A /\ B
Vrai Vrai Vrai
Vrai Faux Faux
Faux Vrai Faux
Faux Faux Faux

Logique Propositionnelle

A \land B

Menu avec plat et dessert

A B A /\ B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Logique Propositionnelle

A \lor B

Le OU logique

Logique Propositionnelle

A \lor B

Menu avec fromage ou dessert?

A B A \/ B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Logique Propositionnelle

\neg A

Logique Propositionnelle

\neg A

Le Non

A      A
1 0
0 1
\neg

Logique Propositionnelle

A \Rightarrow B

Logique Propositionnelle

A \Rightarrow B

L'implication

A B A => B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Logique Propositionnelle

A \Leftrightarrow B

Logique Propositionnelle

A \Leftrightarrow B

L'équivalence

A B A <=> B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Logique Propositionnelle

A \Leftrightarrow B
A \Leftrightarrow B \equiv (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)

'Les deux formules sont équivalentes'

Logique Propositionnelle

\top
  • 'Top'
  • 'True' (ou true)
  • 'Vrai'
  • 1 en C/prog

Indifféremment :

Logique Propositionnelle

\bot
  • 'Bot' / 'Bottom'
  • 'False' (ou false)
  • 'Faux'
  • 0 en C/prog

Indifféremment :

Logique Propositionnelle

A \oplus B

Le 'ou exclusif'

(Fromage OU Dessert!)

 

(En exercice)

Logique du 1er Ordre

\exists x, (buveur(x) \Rightarrow \forall y, buveur (y))

Paradoxe du buveur

C'est la logique du 1er ordre

Arbre de Syntaxe

Arbre de Syntaxe Abstrait

(d'une formule Arithmétique)

3

+

+

*

3

7

x

3+((3*x)+7)

Arbre de Syntaxe

Arbre de Syntaxe Abstrait

(d'une formule Logique)

A

B

\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow

Arbre de Syntaxe

Arbre de Syntaxe Abstrait

{A\Leftrightarrow ((\top\lor\bot) \Rightarrow B)}

A

B

\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow

Egalite Syntaxique

A

B

\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow

A

B

\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow

A

B

\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow

=

= désigne l'égalité syntaxique

(et uniquement l'égalité syntaxique)

Egalite Syntaxique

= désigne l'égalité syntaxique

(et uniquement l'égalité syntaxique)

A

B

\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow

A

B

\boldsymbol\top
\boldsymbol\bot
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow

A

B

\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
\boldsymbol{\not =}

Equivalence Logique

  désigne l'équivalence logique

(n'appartient pas à la syntaxe logique)

A

B

\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow

A

B

\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow

A

B

\boldsymbol\bot
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
\boldsymbol\equiv
\boldsymbol\equiv

Identité Remarquables

Lois de distributivité

(A \land B) \lor C \equiv (A\lor C) \land (B\lor C)
(A \lor B) \land C \equiv (A\land C) \lor (B\land C)

Lois d'associativité et de commutativité

(A \land B) \land C \equiv A\land (B\land C)
(A \lor B) \lor C \equiv A\lor (B\lor C)
A\land B\equiv B\land A
A\lor B\equiv B\lor A

Implication

(A \Rightarrow B) \equiv \neg A\lor B

Vrai et Faux

\top \land A\equiv A
\top \lor A\equiv \top
\bot \land A\equiv \bot
\bot \lor A\equiv A

Identité Remarquables

Lois de De Morgan

\neg (A\land B) \equiv \neg A \lor \neg B
\neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B

Lois de la logique 'Classique'

\neg \neg A \equiv A
A \lor \neg A \equiv \top
\neg A\equiv A\Rightarrow \bot

Négations (1er ordre)

\neg ( \exists x, A(x) )\equiv \forall x, \neg A(x)
\neg ( \forall x, A(x) )\equiv \exists x, \neg A(x)

'Curryfication'

A \Rightarrow (B \Rightarrow C) \equiv (A\land B) \Rightarrow C

Raisonnement "par l'absurde"

Tiers Exclu

Pourquoi la Logique?