Introdução à Análise

  • Fundação
    • ​Lógica
    • Técnicas de prova
    • Conjuntos
  • Análise no
    • ​Naturais
    • Reais
    • Limites
    • Derivadas
\mathbb{R}^2

Fundação

  • Lógica
  • Quantificadores
  • Técnicas de prova

Lógica

Componentes

  • Sentenças e proposições
  • Proposições compostas
  • Conectores

2 + 2 = 4

dois mais dois é quatro

dois mais dois é quatro

2 + 2 = 4

Sentenças diferentes
Mesma proposição

~ (2 + 1 = 4)

2 + 1 = 4

2+2 = 4 \land 3+3 = 6
p q p ^ q
true true true
true false false
false true false
false false false
2+2 = 4 \land 3+2 = 6

Conectores

  • Negação
  • E
  • Ou
  • Se
  • Se e somente se

Quantificadores

X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}
\exists x \in X , x > 2

Existe um x em X maior que 2

X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}
\exists x \in X , x > 2
X = \mathbb{N}
\forall x \in X, x \geq 1

Para todo x em X temos que x é maior que 1

X = \mathbb{N}
\forall x \in X, x \geq 1
X = \mathbb{N}
\forall x \in X, x \geq 1
p =

~p

?

Qual a negação de "para todo" ?

Todos os pontos são pretos

Todos os pontos são pretos

Existe 1 ponto não preto

\neg [\forall x \in X, f(x) \leq 5]
\exists x \in X, f(x) > 5

Conjuntos

A = Conjunto de pontos pretos

x

x \in A

x

x \notin A
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5\}
\mathbb{Z} = \{...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}
X = \{x \in N; x > 5\}

Os elementos gozam da propriedade "x é maior que 5"

Conjunto vazio

X = \emptyset

Propriedades

 

Reflexiva

 

 

Anti-Simétrica

 

 

Transitiva

A \subset A
A \subset B \ \text{e} \ B \subset A \Rightarrow A = B
A \subset B \ \text{e} \ B \subset C \Rightarrow A \subset C

Operações

Operações

  • União

 

 

  • Interseção

 

 

  • Complemento

 

 

A \cup B = \{x; \ x \in A \ \text{ou} \ x \in B\}
A \cap B = \{x; \ x \in A \ \text{e} \ x \in B\}
A^{\complement} = U - A = \{x; \ x \notin A \}
A \cup \emptyset = A
A \cup A = A
A \cup B = B \cup A
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
A \cup B = A \Rightarrow B \cup A
A \subset B, \ A^{'} \subset B^{'} \Rightarrow A \cup A^{'} \subset B \cup B^{'}
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
A \cap \emptyset = \emptyset
A \cap A = A
A \cap B = B \cap A
(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
A \cap B = A \Rightarrow B \subset A
A \subset B, \ A^{'} \subset B^{'} \Rightarrow A \cap A^{'} \subset B \cap B^{'}
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
(A^{\complement})^{\complement} = A
A \subset B = \Longleftrightarrow B^{\complement} \subset A^{\complement}
A = \emptyset \Longleftrightarrow A^{\complement} = E
(A \cup B)^{\complement} = A^{\complement} \cap B^{\complement}
(A \cap B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B^{\complement}

Funções

Componentes

  • Domínio
  • Contra-domínio
  • Regra da função
f: A \mapsto B

Domínio

Contra-domínio

Regra que associada cada  

em um único elemento

x \in A
f(x) \in B

Gráfico de f(x)

G(x) = \{(x,y) \in A \times B; y = f(x) \}

Injetiva

f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
f: A \mapsto B

Sobrejetiva

\forall y \in B \ \ \exists x \in A \ \mid f(x) = y
f: A \mapsto B

Bijetiva

f: A \mapsto B

Injetiva + Sobrejetiva

f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)
f(X \cap Y) \subset f(X) \cap f(Y)
X \subset Y \Rightarrow f(X) \subset f(Y)
f(\emptyset) = \emptyset

Inversa

f^{-1}: B \mapsto A
f^{-1}(Y) = \{ x \in A; \ f(x) \in Y\}
f^{-1}(Y \cup Z) = f^{-1}(Y) \cup f^{-1}(Z)
f^{-1}(Y \cap Z) = f^{-1}(Y) \cap f^{-1}(Z)
f^{-1}(Y^{\complement}) = (f^{-1}(Y))^{\complement}
f^{-1}(\emptyset) = \emptyset
Y \subset Z \Rightarrow f^{-1}(Y) \subset f^{-1}(Z)
f^{-1}(B) = A

Composição de funções

f: A \mapsto B
g: B \mapsto C
g \circ f: A \mapsto C
g \circ f: A \mapsto C
(g \circ f)(x) = g(f(x))
=
[(h \circ g) \circ f](x) = (h \circ g)(f(x))

Associatividade

= h[g(f(x))]
= h[(g \circ f)(x)]
= [h \circ (g \circ f)](x)
f: A \mapsto B
g: B \mapsto C

Se f e g são injetivas                      também é injetiva

g \circ f: A \mapsto C

Também, a composta de funções sobrejetivas é sobrejetiva e a composição de bijeções é uma bijeção

f: A \mapsto B

Qualquer função                  pode ser escrita como composta                   de uma função injetiva h com uma função sobrejetiva. Basta tomar               definida por                   , e a inclusão

f = h \circ f_{1}
f_{1}: A \mapsto f(A)
f_{1} = f(x)
h: f(A) \mapsto B