Servomecanismo
Prof. Fernando Sales
mx'' + bx' + kx = F(t)
x'' + \frac{b}{m}x' + \frac{k}{m}x = \frac{1}{m} F(t)
x'' + 2\zeta w_{n}x' + w_{n}^2 x = \frac{1}{m} F(t)
x'' + 2\zeta w_{n}x' + w_{n}^2 x = 0
r = -\zeta w_{n} \pm w_{n}\sqrt{\zeta^2 - 1}
m, b, k \in \R_{+}
Sistema Massa Mola Amortecedor
\zeta:
coeficiente de amortecimento
w_{n}:
frequência natural de oscilação
mx'' + bx' + kx = F(t)
x'' + 2\zeta w_{n}x' + w_{n}^2 x = 0
r = -\zeta w_{n} \pm w_{n}\sqrt{\zeta^2 - 1}
m, b, k \in \R_{+}
Sistema Massa Mola Amortecedor
1) Raízes Reais e Distintas
Qual dos termos decai mais rapidamente? Explique?
Para qual faixa de valores de \( \zeta \,\) isso acontece?
Raízes:
r_{1} = -\zeta w_{n} + w_{n}\sqrt{\zeta^2 - 1}
r_{2} = -\zeta w_{n} - w_{n}\sqrt{\zeta^2 - 1}
Então:
x(t) = C_{1} e^{r_{1}t} + C_{2} e^{r_{2}t}, t\ge 0
Observe que:
\sqrt{\zeta^2 - 1} < \zeta \rightarrow |r_{1}| < |r_{2}| \rightarrow r_2 < r_1
mx'' + bx' + kx = F(t)
x'' + 2\zeta w_{n}x' + w_{n}^2 x = 0
r = -\zeta w_{n} \pm w_{n}\sqrt{\zeta^2 - 1}
m, b, k \in \R_{+}
Sistema Massa Mola Amortecedor
2) Raízes Reais e Iguais
r_{1} = -\zeta w_{n}=-\sigma
Então:
x(t) = e^{-\sigma t} \lparen C_{1}\, + C_{2}\, t \rparen, t\ge 0
r_{2} = -\zeta w_{n}=-\sigma
Quais são as principais diferenças em relação ao caso anterior?
mx'' + bx' + kx = F(t)
x'' + 2\zeta w_{n}x' + w_{n}^2 x = 0
r = -\zeta w_{n} \pm w_{n}\sqrt{\zeta^2 - 1}
m, b, k \in \R_{+}
Sistema Massa Mola Amortecedor
3) Raízes Complexas Conjugadas
r_{1} = -\zeta w_{n} + iw_{n}\sqrt{1 - \zeta^2}
Então, podemos escrever \( x(t) \) de três [quatro?] formas equivalentes:
x(t) = e^{-\sigma t} \lparen C_{1}e^{iw_{d}t} + C_{2}e^{-iw_{d}t}\, t \rparen, t\ge 0
Qual é o efeito da exponencial real? E das imaginárias?
r_{2} = -\zeta w_{n} - iw_{n}\sqrt{1 - \zeta^2}
Sejam:
\sigma = \zeta w_{n}
e
w_{d} = w_{n}\sqrt{1-\zeta^2}
x(t) = e^{-\sigma t} \lparen A\cos{w_{d}t} + B\sin{w_{d}t}\rparen, t\ge 0
x(t) = e^{-\sigma t} \lbrack K\cos{(w_{d}t+\theta)} \rbrack, t\ge 0
x(t) = e^{-\sigma t} \lbrack K\cos{(w_{d}t+\theta)} \rbrack, t\ge 0
x(t) = e^{-\sigma t} \lbrack K\sin{(w_{d}t+\phi)} \rbrack, t\ge 0
y(t) = \frac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}} e^{-\zeta\omega_n t} \sin(\omega_d t) + e^{-\zeta\omega_n t} \left[ y(0)\cos(\omega_d t) + \frac{\dot{y}(0) + \zeta\omega_n y(0)}{\omega_d}\sin(\omega_d t) \right]
Resposta ao Impulso
y(t) = \omega_n^2 t e^{-\omega_n t} + e^{-\omega_n t} \left[ y(0) + (\dot{y}(0) + \omega_n y(0))t \right]
y(t) = \frac{\omega_n^2}{s_1-s_2} (e^{s_1 t} - e^{s_2 t}) + \frac{\dot{y}(0) - s_2 y(0)}{s_1 - s_2} e^{s_1 t} - \frac{\dot{y}(0) - s_1 y(0)}{s_1 - s_2} e^{s_2 t}
s_1-s_2 = 2\zeta w_n \sqrt{\zeta^2-1}
Superamortecido (\(\zeta > 1 \)):
Amortecimento Crítico (\(\zeta = 1 \)):
Subamortecido (\(\zeta \in (0,1) \)):
y(t) = \left[1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t + \phi)\right] + e^{-\zeta\omega_n t} \left[ y(0)\cos(\omega_d t) + \frac{\dot{y}(0) + \zeta\omega_n y(0)}{\omega_d}\sin(\omega_d t) \right]
Resposta ao Degrau
y(t) = \left[1 - (1 + \omega_n t)e^{-\omega_n t}\right] + [y(0) + (\dot{y}(0) + \omega_n y(0))t]e^{-\omega_n t}
y(t) = \left[1 - \frac{\omega_n^2}{s_1s_2} \left( \frac{s_2}{s_2-s_1}e^{s_1t} + \frac{s_1}{s_1-s_2}e^{s_2t} \right)\right] + \frac{\dot{y}(0) - s_2 y(0)}{s_1 - s_2} e^{s_1 t} + \frac{s_1 y(0) - \dot{y}(0)}{s_1 - s_2} e^{s_2 t}
s_1-s_2 = 2\zeta w_n \sqrt{\zeta^2-1} \, \, \text{e} \,\, s_1s_2 = w_n ^2
Superamortecido (\(\zeta > 1 \)):
Amortecimento Crítico (\(\zeta = 1 \)):
Subamortecido (\(\zeta \in (0,1) \)):
Problema
Desejo que o portão abra e feche rapidamente. Eu desejo que em 5 seg ele esteja mais de 98% aberto / fechado, assumindo que ele se comporta do mesmo jeito, na abertura e no fechamento, considerando somente uma mudança no sentido de abertura.
Considere que a angulação máxima que o portão pode ter é de 5% para não gerar acidentes com os pedestres.
$$ 90 \degree \pm 5 \% $$
Usando as equações que definem a resposta ao degrau unitário como base, defina quais seriam os parâmetros de \( \zeta \text{ e }w_n \) utilizados e quais seriam os parâmetros de performance do meu sistema.