Curvas Misteriosas

Juan Carlos Ponce Campuzano

José Aurelio Pina

@pina_agost

Mari Carmen Garcia

@mcarmenmaths

Agradecimientos

Institut GeoGebra Valencià + SEMCV

Associació Catalana de GeoGebra

Asociación Matemáticas Creatividad GeoGebra

 Curvas misteriosas

 Curvas misteriosas

Objetivo:

Explorar curvas misteriosas en GeoGebra

  1. Definir intuitivamente curvas misteriosas.
  2. Construir estas curvas en GeoGebra.
  3. Explorar algunas de sus propiedades matemáticas.
  4. Proponer retos de construcción en GeoGebra para un caso general.

Ruta

1. Definición

\left\{ \begin{array}{l} x(t) \\ y(t) \end{array} \right. a\leq t \leq b

Epiciclos

\big(x(t) , y(t) \big)
Rotaciones simples
\left\{ \begin{array}{l} R \cos( \omega t) \\ R\, \text{sen}(\omega t) \end{array} \right. 0\leq t \leq 2\pi

1. Definición

\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t)\\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) \end{array} \right.

1. Definición

Rotaciones dobles
\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

1. Definición

\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

2. Construcción en GeoGebra

R_1 = 1, R_2 = \frac{1}{2}, R_3 = \frac{1}{3}
\omega_1 = 1, \omega_2 =6, \omega_3 = -14

Curva misteriosa = ?

Pasos para construir Epiciclos

A = (0, 0)
c = Circunferencia(A, 1)
B = Punto(c)
t = Deslizador(0, 2 pi, 0.001, 0.4)
B' = Rota(B, t)
v1 = Vector(A, B')
d = Circunferencia(B', 1/2)
C = Punto(d)
C' = Rota(C, 6 * t, B')
e = Circunferencia(C', 1/3)
v2 = Vector(B', C')
D = Punto(e)
D' = Rota(D, -14 * t, C')
v3 = Vector(C', D')
lugar1 = LugarGeométrico(D', t)

a.k.a Guión (Script) de GeoGebra

2. Construcción en GeoGebra

Pasos para construir una curva misteriosa

R1 = 1
R2 = 1/2
R3 = 1/3
w1 = 1
w2 = 6
w3 = -14
fx(x) = R1 * cos(w1 * x) + R2 * cos(w2 * x) + R3 * cos(w3 * x)
fy(x) = R1 * sen(w1 * x) + R2 * sen(w2 * x) + R3 * sen(w3 * x)
a = Curva(fx(t), fy(t), t, 0, 2 pi)

a.k.a Guión (Script) de GeoGebra

2. Construcción en GeoGebra

3. Exploración de simetría rotacional

{1, 6, -14}

3. Exploración de simetría rotacional

{1, 6, -14}

3. Exploración de simetría rotacional

¿Qué relación existe entre las frecuencias \(\{1, 6, -14\}\) y la simetría rotacional de orden \(5\)?

🤔

3. Exploración de simetría rotacional

\(1-6=-5\)

\(6-(-14)=25\)

\(1-(-14)=15\)

El máximo común divisor de \(-5, 25,\) y \(15\) es:

5

\(1, 6\) y \(-14\) son congruentes con 1 módulo 5

\(1,6,-14 =1 \left(\text{mod} \, 5\right)\)

3. Exploración de simetría rotacional

1. Busca simetrías rotacionales de orden 3 y 4.

2. ¿Cuál es el orden de simetría rotacional para la terna 2, 8, -10?

Nota: Observa que la terna 2, 8 y -10 tiene como factor común a 2.

Actividad

  1. Define los valores de \(R_1\), \(R_2\) y \(R_3\) usando el comando
    • ​​​UniformeAleatorio( <Mínimo>, <Máximo> )
      • Da por resultado un número real aleatorio a partir de una distribución uniforme en el intervalo [Mínimo, Máximo].
  2. Define los valores de \(\omega_1\), \(\omega_2\) y \(\omega_3\) usando el comando
    • ​​AleatorioEntre( <Mínimo> , <Máximo> )
      • Genera un número entero aleatorio entre el mínimo y el máximo (inclusive).

Ejemplo:

R1 = UniformeAleatorio(0.5, 4.5)
w1 =  AleatorioEntre(0, 9)

3. Crea un botón con el comando ActualizaConstrucción()

3. Exploración de simetría rotacional

Ejemplo:

R1 = UniformeAleatorio(0.5, 4.5)
w1 =  AleatorioEntre(0, 9)

3. Crea un botón con el comando ActualizaConstrucción()

3. Exploración de simetría rotacional

Actividad

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3. Exploración de simetría rotacional

Actividad

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jcponcemath@gmail.com

c(t) = \left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

4. Más Curvas misteriosas

0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z
(\cos t, \text{sen}\, t)
=\cos t + i \,\text{sen} \,t
= e^{i t}
\big(R_1 \cos (\omega_1 t), R_1 \text{sen} (\omega_1 t)\big)
= R_1e^{i \omega_1 t}
i = \sqrt{-1}

4. Más Curvas misteriosas

c(t)= R_1e^{ \omega_1 i t}+R_2e^{ \omega_2 i t}+R_3e^{ \omega_3 i t}
c(t) = \left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.
0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z
c(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+C_3e^{ \omega_3 i t}
C_i\in \mathbb C, \;\omega_i\in \mathbb Z

4. Más Curvas misteriosas

c(t) = e^{it} + \dfrac{1}{2}e^{6 i t} + \dfrac{i}{3}e^{-14 i t}

4. Más Curvas misteriosas

c(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos( t) +1/2\cos(6 t) +1/3\,\text{sen}(14 t) \\ \,\text{sen}( t) +1/2 \,\text{sen}(6 t) +1/3 \cos(14 t) \end{array} \right.

4. Más Curvas misteriosas

Retos en GeoGebra

c(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+C_3e^{ \omega_3 i t}

1. Construir curvas misteriosas usando la expresión compleja

2. Generalizar la construcción para \(n\) términos

c(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+\cdots + C_ne^{ \omega_n i t}

4. Más Curvas misteriosas

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Referencias

The artful mathematics

of wallpaper patterns

 

Frank A. Farris

Recursos

Libro de actividades: Curvas misteriosas

https://www.geogebra.org/m/pkbhvz4s

Actividad: Cambio de frecuencias

https://www.geogebra.org/m/xs7tmvy2

Applets de la presentación

https://www.geogebra.org/m/btdzzzdt

Grabación del Taller - Institut GeoGebra Valencia

https://youtu.be/n24wrb7K3Gc

Gracias por su atención...

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