Simulación del péndulo simple y amortiguado

Juan Carlos Ponce Campuzano

Usando ecuaciones diferenciales

Agradecimientos

José Aurelio Pina

@pina_agost

Contenido

  1. Explorar el modelo matemático para el péndulo
    • Simple y Amortiguado
  2. Usar GeoGebra para modelar el movimento del péndulo.

Modelación

  • Barra rígida, ingrávida y no experimenta fricción.
  • Todo el peso se concentra en su masa sujeta al extremo.

Condiciones:

Modelación

Parámetros:

  • Masa \(m\).
  • Longitud de la barra \(L\).
  • Posición inicial.
  • Ángulo \(\theta\).
  • Arco \(s\).
  • Tiempo \(t\).

Variables:

Constantes:

  • Gravedad \(g\).

Modelación

  • Aceleración angular
  • Aceleración gravitacional

Fuerza tangencial:

F = m\cdot a

Segunda Ley del Movimiento de Newton

  • Aceleración angular
\theta = \dfrac{s}{L}
s = L \cdot \theta
s'' = L \cdot \theta ''
a = L \cdot \theta ''
m\cdot a = m\cdot L \cdot \theta ''
F = m\cdot a = m\cdot L \cdot \theta ''
F = m\cdot L \cdot \theta ''
s' = L \cdot \theta '

Modelación

  • Aceleración angular
F = m\cdot L \cdot \theta ''

Modelación

  • Aceleración gravitacional
F = - m\cdot g \cdot \text{sen } \theta

Modelación

  • Aceleración gravitacional
F = - m\cdot g \cdot \text{sen } \theta

Modelación

Aceleración angular y Aceleración gravitacional

F = - m\cdot g \cdot \text{sen } \theta
F = m\cdot L \cdot \theta ''
m\cdot L \cdot \theta '' =- m\cdot g \cdot \text{sen } \theta
\theta '' =- \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta
\theta '' - \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0

y

Modelación

\theta '' - \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0

Aceleración angular y Aceleración gravitacional

Modelación

Movimiento del péndulo simple

\theta '' - \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0

Posición del péndulo

x_p = L \,\text{sen }\theta \quad \text{y} \quad y_p = -L \cos \theta

Simulación

Resuelve numéricamente un sistema de ecuaciones diferenciales.

\theta '' - \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0
\omega = \theta '
\omega' = \theta ''
\implies
ResuelveNEDO()
\left\{ \begin{array}{rll} \theta ' &= &\omega \\ \omega' &=& -\dfrac{g}{L}\, \text{sen }\theta \end{array} \right.

Resuelve numéricamente un sistema de ecuaciones diferenciales.

\theta '' - \dfrac{g}{L} \text{sen } \theta =0
\implies

Simulación

ResuelveNEDO()

Simulación

ResuelveNEDO(<List-der>, <Val-ini-x>, <List-val-ini-y>, <Val-fin-x>)
  1. Lista de derivadas: En nuesto caso un sistema de ecuaciones diferenciales.
  2. Valor inicial de \(x\): Aquí \(x\) representa el tiempo \(t=0.\)
  3. Lista de valores iniciales de \(y\): Es decir \(\theta_0\) y \(\omega_0.\)
  4. Valor final de \(x\): Esto es el tiempo final \(t.\)

Simulación - Script

# Gravedad
g = 9.81
# Longitud de la barra
L = 2
# Posición inicial θ0 y velocidad inicial ω0
θ0 = 3 pi/4
ω0 = 0
# Sistema de ecuaciones diferenciales
θ'(t, θ, ω) = ω
ω'(t, θ, ω) = -g / L sen(θ)
# Resuelve el sistema
ResuelveNEDO[{θ', ω'}, 0, {θ0, ω0}, 17.3]
# Lo siguiente obtiene los valores de la posición
len = Longitud[IntegralNumérica1]
c = Deslizador[0, 1, 1 / len, 1, 100, false, true, true, false]
# Posición
xp = L sen(y(Punto[IntegralNumérica1, c]))
yp = -L cos(y(Punto[IntegralNumérica1, c]))
# Dibuja la masa y la barra que la sostiene
A = (xp, yp)
Segmento[(0, 0), A]
# Anima
IniciaAnimación()

Péndulo amortiguado

\left\{ \begin{array}{rll} \theta ' &= &\omega \\ \omega' &=& -\dfrac{\gamma}{m}\omega-\dfrac{g}{L}\, \text{sen }\theta \end{array} \right.
\gamma =

Constante de amortiguamiento

Péndulo amortiguado

\left\{ \begin{array}{rll} \theta ' &= &\omega \\ \omega' &=& -\dfrac{\gamma}{m}\omega-\dfrac{g}{L}\, \text{sen }\theta \end{array} \right.

🌈 Ondas del péndulo

Referencias

Gracias por su atención...

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