En differentialekvation beskriver ett samband mellan en funktion, \(y(x)\) och en eller flera av dess derivator, \(y'(x), \, y''(x), \, y^{(3)}(x), \, \ldots, \,  y^{(n)}(x)\).

Lösningen till en differentialekvation är funktionen \(y(x)\).

Differentialekvationens ordning bestäms av den högsta derivatan.

Exempel:

\( y' - k y^2 = x^2 \)

\( y'' - \alpha  y = 0 \)

1:a ordningens diff. ekv.

2:a ordningens diff. ekv.

Differentialekvationens ordning avgör också hur många frihetsgrader som finns, dvs hur många obestämda konstanter lösningen kommer innehålla.

En differentialekvation av \(n\):e ordning har \(n\) st obestämda konstanter.

Exempel:

\(y'(x)=x^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow y(x)=\frac{x^3}{3}+C\)

\(y''(x)=2x\)

\(\displaystyle \Rightarrow y'(x)=x^2+C\)

\(\displaystyle \Rightarrow y(x)=\frac{x^3}{3}+Cx+D\)

En differentialekvation ger alltså upphov till en mängd lösningar. Dessa kan ibland representeras som en kurvskara.

Om differentialekvationen kompletteras med randvillkor så kan en eller flera av konstanterna bestämmas och på så sätt får man en unik lösning.

\(y'=2x, \qquad y(0)=5\)

\(\Rightarrow y(x)=x^2+C\)

\(y(0)=5 \Rightarrow y(x)=x^2+5\)

Exempel:

En differentialekvation kallas linjär om \(y(x)\) och dess derivator i differentialekvationen enbart dyker upp med potensen 0 eller 1 (och inte i någon annan typ av funktion).

\(y''-ky=0\)           linjär

\(y'-ky=x^2\)          linjär

\(y''-ky=\sin(x)\)   linjär

\(y'-ky^2=0\)         icke-linjär

\(y'-\sin(y)=x\)     icke-linjär

Exempel:

En viktig egenskap hos linjära differentialekvationer är att om både  \(y_1(x)\) och \(y_2(x)\) är lösningar till en linjär differentialekvation, så är även \(y(x)=Ay_1(x)+By_2(x)\) en lösning till denna.

\(y''+4y=0\)

Har både lösningen \(y_1(x)=\cos(2x)\) och \(y_2(x)=\sin(2x)\).

Exempel:

Då är även \(y(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)\) en lösning.

Testa själv!

En linjär första ordningens differentialekvation kallas homogen om den kan skrivas om på formen

\(y'+ay=0\)

Och den kallas inhomogen om den kan skrivas på formen

\(y'+ay=f(x)\)

\(y'-4y=3\sin(x)\)   icke-homogen

\(y'+4y=3\)              icke-homogen

\(y'-4y=0\)               homogen

Exempel:

Allmän form:

\[y'+ay=0\]

 

En vagn bromsas in utav luftmotstånd som är proportionellt mot dess hastighet.

Exempel:

Har den allmänna lösningen

\[y(x)=Ce^{-ax}\]

där \(C\) är en konstant.

(kom ihåg att en första ordningens differentialekvation har en frihetsgrad,

alltså kan det inte finnas fler lösningar)

\(mv'=-kv\)      eller   \(\displaystyle v'+\frac{k}{m}v=0\)

Denna differentialekvation har den allmänna lösningen:

\[ v(t)=Ce^{-\frac{k}{m}t} \]

Har vagnen massan \(m=2\) kg och luftmotståndskonstanten \(k=6\) N/(m/s) så har vi

\[ v(t)=Ce^{-3t} \]

Har vagnen begynnelsehastigheten \(v(0)=5\) m/s så har vi:

\[ v(t)=5e^{-3t} \]