Kedjeregeln och Produktregeln

Kedjeregeln

Sammansatta funktioner

En sammansatt funktion är "en funktion av en funktion". En sådan kan skrivas på formen:

 

$y={\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}$

 

där ${\color{blue}f({\color{red}u})}$ är den yttre funktionen och ${\color{red}u}={\color{red}g({\color{black}x})}$ är den inre funktionen.

Exempel på sammansatta funktioner:
 

• $y={\color{blue}\left({\color{red}{\color{black}x}^2+2}\right)^3}$
   
• $y={\color{blue}3e^{{\color{red}{\color{black}x}^2}}}$
   
• $y={\color{blue}\left({\color{red}e^{{\color{black}x}}}\right)^2}$

Test:

Identifiera yttre och inre funktion för följande sammansatta funktioner:

 

a) $y=\left(5x+3\right)^2$

b) $y=e^{2x^2+1}$

c) $y=\sqrt{2x-1}$

Kedjeregeln för sammansatta funktioner

Kedjeregeln är en regel för hur man deriverar sammansatta funktioner av typen $$y={\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}$$

och enligt denna är derivatan

$$y'={\color{blue}f'({\color{red}g({\color{black}x})})}\cdot {\color{red} g'({\color{black}x})}$$

Exempel på kedjeregeln för ett par sammansatta funktioner:
 

• $y={\color{blue}\left({\color{red}{\color{black}x}^2+2}\right)^3}$
  
   
• $y={\color{blue}3e^{{\color{red}{\color{black}x}^2}}}$
  
   
• $y={\color{blue}\left({\color{red}e^{{\color{black}x}}}\right)^2}$
  
   

• $y'={\color{blue}3\left({\color{red}{\color{black}x}^2+2}\right)^2}\cdot{\color{red}\left(2{\color{black}x}\right)}$
  
   
• $y'={\color{blue}3e^{\color{red}{\color{black}x}^2}}\cdot {\color{red}(2{\color{black}x})}$
  
   
• $y'=  {\color{blue}2({\color{red}e^{\color{black}x}})}\cdot {\color{red}e^{\color{black}x}}$

Testa själv:

a) Vad är derivatan av $y=(3+x)^2$   

 

 

         

b) Skapa en sammansatt funktion av den yttre funktionen ${\color{blue}f({\color{red}\Box)}}={\color{blue}e^{\color{red}\Box}}$ och den inre funktionen ${\color{red}g({\color{black}x})}={\color{red}k{\color{black}x}}$. Vad blir derivatan av denna sammansatta funktion?

 

 

 

 

Kan du beräkna även utan kedjeregeln?

Kedjeregeln för sammansatta funktioner

Testa själv 2:

a) Vad är derivatan av $y=\sqrt{3+4x}$

 

 

           

b) Skapa en sammansatt funktion av den yttre funktionen ${\color{blue}f({\color{red}\Box)}}={\color{blue}\frac{1}{\color{red}\Box}}$ och den inre funktionen ${\color{red}g({\color{black}x})}={\color{red}k{\color{black}x}}$. Vad blir derivatan av denna sammansatta funktion?

 

 

Kan du beräkna även utan kedjeregeln?

Kedjeregeln för sammansatta funktioner

Bevis:

 

 

$$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x+h})})}-{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}}{h}$$

 

$$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x+h})})}-{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}}{h} \cdot \frac{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})} }{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})}}$$

 

$$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x+h})})}-{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}}{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})}} \cdot \frac{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})} }{h}$$

 

$$y'=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{{\color{blue}f({\color{red}g+k})}-{\color{blue}f({\color{red}g})} }{\color{red}k}   \cdot \lim_{h \rightarrow 0}\frac{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})} }{h}$$

 

$$y'={\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}\cdot {\color{red}g'({\color{black}x})}$$

Kedjeregeln för sammansatta funktioner

Definiera:

$k=g(x+h)-g(x)$ eller 

$g(x+h)=g(x)+k$

eller kortare:

$g(x+h)=g+k$

Produktregeln

En produkt av två funktioner kan skrivas som

$$y=f(x)\cdot g(x)$$

 

Denna har derivatan:

 

$$y'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

Exempel på kedjeregeln för ett par sammansatta funktioner:
 

• $y=x^2\cdot (2x+5)$
  
   
• $y=x^3\cdot e^{2x}$
  
   
• $y=\sqrt{x}\cdot e^{-2x}$
  
   

• $y'=2x\cdot (2x+5) + x^2\cdot 2$
  
   
• $y'=3x^2\cdot e^{2x}+x^3\cdot 2e^{2x}$
  
   
• $y'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}e^{-2x} + \sqrt{x}\cdot (-2)e^{-2x}$

Uppgifter

Derivera funktionerna:

 

$y=e^{2x}e^{3x}$

$y=(x^2+2x)\cdot e^x$

$y=x^2\cdot e^{4x}$

** $y=2^{x}\cdot \sqrt{2x+3}$

** $y=\frac{e^{2x}}{x^2+1}$

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$$

där $x_i$ är $x$-värden placerade med jämnt mellanrum $x_{i+1}-x_i=\Delta x$, och $\sum_{a}^{b}$ är en summa över sådana $x$-värden mellan $a$ och $b$. 

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$$

 

 

 

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$$

 

 

 

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$$

 

 

 

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

 

 

 

 

 

 

Integral genom Riemann-summa

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

 

 

 

 

 

 

Vad är $v(t_i)\Delta t$?

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

 

 

 

 

 

 

Vad är $v(t_i)\Delta t$?

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

 

 

 

 

 

 

Vad är $\displaystyle \sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$?

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

 

 

 

 

 

 

Vad är $\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$?

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t = s(b)-s(a)$$

 

 

 

 

 

 

Vid gränsvärdet då tidsintervallet $\Delta t$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet $t=a$ till $t=b$.

Integral genom Riemann-summa

Integralkalkylens fundamentalsats:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x = F(b)-F(a)$$

 

 

 

 

 

 

Vid gränsvärdet då steglängden $\Delta x$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Integral genom Riemann-summa

Integral genom Riemann-summa

Övning:

 

a) Uppskatta integralen $$\int_{0}^{4}\,f(x)\, dx$$ genom en Riemann-summa.

 

b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar

 

c) Bestäm integralen exakt, då $$f(x)=0.5x^3-2x^2-2x+8$$

 

c) Bestäm arean exakt (samma funktion)

Integral genom Riemann-summa

Övning:

 

Antag att $f(x)$ beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden $x$.

 

Vilket beskriver bäst Filippas förflyttning?

 

Integralen eller arean?

Integral mellan funktioner

$$\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr) dx$$

Integral mellan funktioner

Övning:

a) Uppskatta integralen $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{2\pi}\,\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\, dx$$ genom en Riemann-summa.

 

b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar

 

c) Bestäm integralen exakt, då $f(x)=2\sin(2x)+x$ och $g(x)=x$.

 

c) Bestäm arean exakt (samma funktion)

Integral mellan funktioner

Övning:

Antag att $f(x)$ beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden $x$, och $g(x)$ beskriver Gustavs hastighet som funktion av tiden $x$.

 

Tolka i detta sammanhang

$\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)dx$