Kedjeregeln och Produktregeln

ett fördjupningsmoment i Ma3c

Kedjeregeln

Sammansatta funktioner

En sammansatt funktion är "en funktion av en funktion". En sådan kan skrivas på formen:

\(y={\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}\)

där \({\color{blue}f({\color{red}u})}\) är den yttre funktionen och \({\color{red}u}={\color{red}g({\color{black}x})}\) är den inre funktionen.

Exempel på sammansatta funktioner:

\(y={\color{blue}\left({\color{red}{\color{black}x}^2+2}\right)^3}\)
\(y={\color{blue}3e^{{\color{red}{\color{black}x}^2}}}\)
\(y={\color{blue}\left({\color{red}e^{{\color{black}x}}}\right)^2}\)

Test:

Identifiera yttre och inre funktion för följande sammansatta funktioner:

a) \(y=\left(5x+3\right)^2\)

b) \(y=e^{2x^2+1}\)

c) \(y=\sqrt{2x-1}\)

Kedjeregeln för sammansatta funktioner

Kedjeregeln är en regel för hur man deriverar sammansatta funktioner av typen \[y={\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})} \]

och enligt denna är derivatan

\[y'={\color{blue}f'({\color{red}g({\color{black}x})})}\cdot {\color{red} g'({\color{black}x})}\]

Exempel på kedjeregeln för ett par sammansatta funktioner:

\(y={\color{blue}\left({\color{red}{\color{black}x}^2+2}\right)^3}\)
\(y={\color{blue}3e^{{\color{red}{\color{black}x}^2}}}\)
\(y={\color{blue}\left({\color{red}e^{{\color{black}x}}}\right)^2}\)

\(y'={\color{blue}3\left({\color{red}{\color{black}x}^2+2}\right)^2}\cdot{\color{red}\left(2{\color{black}x}\right)}\)
\(y'={\color{blue}3e^{\color{red}{\color{black}x}^2}}\cdot {\color{red}(2{\color{black}x})} \)
\(y'= {\color{blue}2({\color{red}e^{\color{black}x}})}\cdot {\color{red}e^{\color{black}x}} \)

Testa själv:

a) Vad är derivatan av \(y=(3+x)^2\)

b) Skapa en sammansatt funktion av den yttre funktionen \({\color{blue}f({\color{red}\Box)}}={\color{blue}e^{\color{red}\Box}}\) och den inre funktionen \({\color{red}g({\color{black}x})}={\color{red}k{\color{black}x}}\). Vad blir derivatan av denna sammansatta funktion?

Kan du beräkna även utan kedjeregeln?

Kedjeregeln för sammansatta funktioner

Testa själv 2:

a) Vad är derivatan av \(y=\sqrt{3+4x}\)

b) Skapa en sammansatt funktion av den yttre funktionen \({\color{blue}f({\color{red}\Box)}}={\color{blue}\frac{1}{\color{red}\Box}}\) och den inre funktionen \({\color{red}g({\color{black}x})}={\color{red}k{\color{black}x}}\). Vad blir derivatan av denna sammansatta funktion?

Kan du beräkna även utan kedjeregeln?

Kedjeregeln för sammansatta funktioner

Bevis:

\[ y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x+h})})}-{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}}{h} \]

\[ y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x+h})})}-{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}}{h} \cdot \frac{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})} }{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})}} \]

\[ y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x+h})})}-{\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}}{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})}} \cdot \frac{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})} }{h} \]

\[ y'=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{{\color{blue}f({\color{red}g+k})}-{\color{blue}f({\color{red}g})} }{\color{red}k} \cdot \lim_{h \rightarrow 0}\frac{{\color{red}g({\color{black}x+h})}-{\color{red}g({\color{black}x})} }{h} \]

\[y'={\color{blue}f({\color{red}g({\color{black}x})})}\cdot {\color{red}g'({\color{black}x})}\]

Kedjeregeln för sammansatta funktioner

Definiera:

\(k=g(x+h)-g(x)\) eller

\(g(x+h)=g(x)+k\)

eller kortare:

\(g(x+h)=g+k\)

Produktregeln

En produkt av två funktioner kan skrivas som

\[y=f(x)\cdot g(x)\]

Denna har derivatan:

\[y'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\]

Exempel på kedjeregeln för ett par sammansatta funktioner:

\(y=x^2\cdot (2x+5)\)
\(y=x^3\cdot e^{2x}\)
\(y=\sqrt{x}\cdot e^{-2x}\)

\(y'=2x\cdot (2x+5) + x^2\cdot 2\)
\(y'=3x^2\cdot e^{2x}+x^3\cdot 2e^{2x} \)
\(y'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}e^{-2x} + \sqrt{x}\cdot (-2)e^{-2x}\)

Uppgifter

Derivera funktionerna:

\(y=e^{2x}e^{3x}\)

\(y=(x^2+2x)\cdot e^x\)

\(y=x^2\cdot e^{4x}\)

** \(y=2^{x}\cdot \sqrt{2x+3}\)

** \(y=\frac{e^{2x}}{x^2+1}\)

Integral genom Riemann-summa

Definition:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]

där \(x_i\) är \(x\)-värden placerade med jämnt mellanrum \(x_{i+1}-x_i=\Delta x\), och \( \sum_{a}^{b}\) är en summa över sådana \(x\)-värden mellan \(a\) och \(b\).

Integral genom Riemann-summa

Definition:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]

Övre integrationsgräns

Undre integrationsgräns

Integral genom Riemann-summa

Definition:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]

Integrand

Integral genom Riemann-summa

Definition:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]

Integrationsvariabel

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

Integralen över hastigheten (integranden) som funktion av tiden (integrationsvariabeln) från \(t=a\) till \(t=b\)

ges av gränsvärdet av summan av hastigheterna vid tidpunkter \(t_i\), placerade med jämna mellanrum \(\Delta t\) mellan \(t=a\) och \(t=b\), multiplicerat med tidsintervallet \(\Delta t\).

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

Vad är \(v(t_i)\Delta t\)?

Kom ihåg

\[ \frac{\Delta s}{\Delta t}=v\]

eller \[\Delta s = v\Delta t\]

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

Vad är \(v(t_i)\Delta t\)?

En uppskattning av förflyttningen som sker under tidsintervallet från \(t_i\) till \(t_i+\Delta t\).

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

Vad är \(\displaystyle \sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\)?

En uppskattning av den totala förflyttningen från \(t=a\) till \(t=b\).

( summan av alla förflyttningar under delintervallen )

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

Vad är \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\)?

Vid gränsvärdet då tidsintervallet \(\Delta t\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet \(t=a\) till \(t=b\).

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t = s(b)-s(a)\]

Vid gränsvärdet då tidsintervallet \(\Delta t\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet \(t=a\) till \(t=b\).

Integral genom Riemann-summa

Integralkalkylens fundamentalsats:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x = F(b)-F(a)\]

Vid gränsvärdet då steglängden \(\Delta x\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.

Integral genom Riemann-summa

Övning:

a) Uppskatta integralen \[ \int_{0}^{4}\,f(x)\, dx\] genom en Riemann-summa.

b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar

c) Bestäm integralen exakt, då \[f(x)=0.5x^3-2x^2-2x+8\]

c) Bestäm arean exakt (samma funktion)

Integral genom Riemann-summa

Övning:

Antag att \(f(x)\) beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden \(x\).

Vilket beskriver bäst Filippas förflyttning?

Integralen eller arean?

Integral mellan funktioner

\[\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr) dx\]

Integral mellan funktioner

Övning:

a) Uppskatta integralen \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{2\pi}\,\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\, dx\] genom en Riemann-summa.

b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar

c) Bestäm integralen exakt, då \(f(x)=2\sin(2x)+x\) och \(g(x)=x\).

c) Bestäm arean exakt (samma funktion)

Integral mellan funktioner

Övning:

Antag att \(f(x)\) beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden \(x\), och \(g(x)\) beskriver Gustavs hastighet som funktion av tiden \(x\).

Tolka i detta sammanhang

\(\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)dx\)