Det komplexa talplanet

komplexa tal som vektorer, addition, subtraktion

intervall i det komplexa talplanet

Onsdag:

Komplexa tal som vektorer
Addition och subtraktion av komplexa tal
Avstånd mellan två komplexa tal
Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet
Att markera mängder/intervall/olikheter i det komplexa talplanet
~~Eventuellt: Multiplikation, division och potenser i det komplexa talplanet~~

Komplexa tal som vektorer

Det komplexa talplanet:

Ett koordinatsystem med Realdelen längs $x$ -axeln och Imaginärdelen längs $y$ -axeln.

Ett komplext tal $z=x+yi$ kan alltså representeras som en punkt $(x,y)$ i det komplexa talplanet, eller som en vektor i det komplexa talplanet.

Addition av komplexa tal

Addition av komplexa tal

Komposantvis:

$\begin{aligned}z_1+z_2&=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i) \\&= (x_1+x_2)+(y_1+y_2) i\end{aligned}$

Grafiskt:

Parallellogrammetoden

Addition av komplexa tal

Övning:

Var i det komplexa talplanet hamnar:

(använd den grafiska metoden)

a) $(1+3i) + (2-2i)$ ?

b) $z+ \bar{z}$ ?

c) $z+(-\bar{z})$

Subtraktion av komplexa tal

Subtraktion av komplexa tal

Komposantvis:

$\begin{aligned}z_1-z_2&=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i) \\&= (x_1-x_2)+(y_1-y_2) i\end{aligned}$

Grafiskt:

Samma som addition fast med negativ vektor:

$z_1-z_2=z_1+(-z_2)$

Observera:

$|z_1-z_2| = |z_2-z_1|$ är avståndet mellan de två komplexa talen $z_1$ och $z_2$ .

Subtraktion av komplexa tal

Övning

Var hamnar det komplexa talet

a) $(2+i) - (1-3i)$

b) $\displaystyle\frac{1}{2i}\left(z-\bar{z}\right)$

Avståndet mellan två komplexa tal

Avståndet mellan två komplexa tale $z_1$ och $z_2$ ges av

$|z_1-z_2|=|z_2-z_1|$

Om $z_1=x_1+y_1i$ och $z_2=x_2+y_2i$ så kan vi även skriva det som

$d = |z_2-z_1|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Dvs precis som avståndsformeln.

Avståndet mellan två komplexa tal

Övning

Bestäm

a) Avståndet mellan

$z_1=4+2i$ och $z_2=2+2i$

b) $|z_1-z_3|$

där $z_1=4+2i$ och $z_3=2+4i$

c) $|z_3-z_2|$

där $z_2=2+2i$ och $z_3=2+4i$

Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet

En cirkel i det komplexa talplanet med radie $r$ :

Mängden av alla komplexa tal $z=x+yi$ med absolutbelopp $r$ :

$|z|=r \qquad \text{eller} \qquad x^2+y^2=r^2$

Dvs alla komplexa tal som befinner sig ett avstånd $r$ från origo.

Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet

En cirkel i det komplexa talplanet med radie $r$ och medelpunkt $z_0=x_0+ y_0i$ :

Mängden av alla komplexa tal $z=x+yi$ med absolutbelopp $r$ :

$|z-z_0|=r \quad \text{eller} \quad (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

Dvs alla komplexa tal $z$ som befinner sig ett avstånd $r$ från $z_0= x_0+y_0i$ .

Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet

Beskriv cirkelns ekvation i det komplexa talplanet.

Dvs skriv ett villkor för de komplexa tal $z$ som befinner sig på cirkelns rand.

$\bigl|z-(3-2i)\bigr|=2$

eller

$\bigl|z-3+2i\bigr|=2$

Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet

Beskriv cirkelns ekvation i det komplexa talplanet.

Dvs skriv ett villkor för de komplexa tal $z$ som befinner sig på cirkelns rand.

$\bigl|z-(-1+3i)\bigr|=2$

eller

$\bigl|z+1-3i\bigr|=2$

Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet

Beskriv cirkelns ekvation i det komplexa talplanet.

Dvs skriv ett villkor för de komplexa tal $z$ som befinner sig på cirkelns rand.

$\bigl|z-(-1+3i)\bigr|=3$

eller

$\bigl|z+1-3i\bigr|=3$

Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet

Vilka tal uppfyller villkoret:

(hur skulle du markera denna talmängd i det komplexa talplanet?

a) $|z+2+2i|=2$

b) $|z-3i |\leq 2$

c) $|z-3i | < 2$

a)

b)

c)

Mängder/Intervall/Olikheter i komplexa talplanet

Vilka tal uppfyller villkoret:

(hur skulle du markera denna talmängd i det komplexa talplanet?

a) $-1\leq \text{Im}\, z\leq 2$

b) $\text{Re} z>2$

c) $|z-2| = |z-4|$

Mängder/Intervall/Olikheter i komplexa talplanet

Vilka tal uppfyller villkoret:

(hur skulle du markera denna talmängd i det komplexa talplanet?

d) $|z-i| \leq |z-2|$

e) $\begin{cases} \text{Im} z\geq 0\\ |z|\leq 3\end{cases}$