Det komplexa talplanet
komplexa tal som vektorer, addition, subtraktion
intervall i det komplexa talplanet
Onsdag:
-
Komplexa tal som vektorer
-
Addition och subtraktion av komplexa tal
-
Avstånd mellan två komplexa tal
-
Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet
-
Att markera mängder/intervall/olikheter i det komplexa talplanet
-
Eventuellt: Multiplikation, division och potenser i det komplexa talplanet
Komplexa tal som vektorer
Komplexa tal som vektorer
Det komplexa talplanet:
Ett koordinatsystem med Realdelen längs \(x\)-axeln och Imaginärdelen längs \(y\)-axeln.
Ett komplext tal \(z=x+yi\) kan alltså representeras som en punkt \( (x,y) \) i det komplexa talplanet, eller som en vektor i det komplexa talplanet.
Addition av komplexa tal
Addition av komplexa tal
Komposantvis:
\[\begin{aligned}z_1+z_2&=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i) \\&= (x_1+x_2)+(y_1+y_2) i\end{aligned}\]
Grafiskt:
Parallellogrammetoden
Addition av komplexa tal
Övning:
Var i det komplexa talplanet hamnar:
(använd den grafiska metoden)
a) \( (1+3i) + (2-2i)\) ?
b) \( z+ \bar{z}\) ?
c) \(z+(-\bar{z})\)
Subtraktion av komplexa tal
Subtraktion av komplexa tal
Komposantvis:
\[\begin{aligned}z_1-z_2&=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i) \\&= (x_1-x_2)+(y_1-y_2) i\end{aligned}\]
Grafiskt:
Samma som addition fast med negativ vektor:
\(z_1-z_2=z_1+(-z_2)\)
Observera:
\(|z_1-z_2| = |z_2-z_1|\) är avståndet mellan de två komplexa talen \(z_1\) och \(z_2\).
Subtraktion av komplexa tal
Övning
Var hamnar det komplexa talet
a) \( (2+i) - (1-3i) \)
b) \(\displaystyle\frac{1}{2i}\left(z-\bar{z}\right)\)
Avståndet mellan två komplexa tal
Avståndet mellan två komplexa tale \(z_1\) och \(z_2\) ges av
\[ |z_1-z_2|=|z_2-z_1|\]
Om \(z_1=x_1+y_1i\) och \(z_2=x_2+y_2i\) så kan vi även skriva det som
\[ d = |z_2-z_1|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
Dvs precis som avståndsformeln.
Avståndet mellan två komplexa tal
Övning
Bestäm
a) Avståndet mellan
\(z_1=4+2i\) och \(z_2=2+2i\)
b) \(|z_1-z_3|\)
där \(z_1=4+2i\) och \(z_3=2+4i\)
c) \(|z_3-z_2|\)
där \(z_2=2+2i\) och \(z_3=2+4i\)
Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet
En cirkel i det komplexa talplanet med radie \(r\):
Mängden av alla komplexa tal \(z=x+yi\) med absolutbelopp \(r\):
\[|z|=r \qquad \text{eller} \qquad x^2+y^2=r^2\]
Dvs alla komplexa tal som befinner sig ett avstånd \(r\) från origo.
Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet
En cirkel i det komplexa talplanet med radie \(r\) och medelpunkt \( z_0=x_0+ y_0i\):
Mängden av alla komplexa tal \(z=x+yi\) med absolutbelopp \(r\):
\[|z-z_0|=r \quad \text{eller} \quad (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\]
Dvs alla komplexa tal \(z\) som befinner sig ett avstånd \(r\) från \( z_0= x_0+y_0i\).
Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet
Beskriv cirkelns ekvation i det komplexa talplanet.
Dvs skriv ett villkor för de komplexa tal \(z\) som befinner sig på cirkelns rand.
\[ \bigl|z-(3-2i)\bigr|=2\]
eller
\[ \bigl|z-3+2i\bigr|=2\]
Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet
Beskriv cirkelns ekvation i det komplexa talplanet.
Dvs skriv ett villkor för de komplexa tal \(z\) som befinner sig på cirkelns rand.
\[ \bigl|z-(-1+3i)\bigr|=2\]
eller
\[ \bigl|z+1-3i\bigr|=2\]
Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet
Beskriv cirkelns ekvation i det komplexa talplanet.
Dvs skriv ett villkor för de komplexa tal \(z\) som befinner sig på cirkelns rand.
\[ \bigl|z-(-1+3i)\bigr|=3\]
eller
\[ \bigl|z+1-3i\bigr|=3\]
Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet
Vilka tal uppfyller villkoret:
(hur skulle du markera denna talmängd i det komplexa talplanet?
a) \(|z+2+2i|=2\)
b) \( |z-3i |\leq 2\)
c) \( |z-3i | < 2\)
a)
b)
c)
Mängder/Intervall/Olikheter i komplexa talplanet
Vilka tal uppfyller villkoret:
(hur skulle du markera denna talmängd i det komplexa talplanet?
a) \(-1\leq \text{Im}\, z\leq 2\)
b) \( \text{Re} z>2\)
c) \( |z-2| = |z-4| \)
Mängder/Intervall/Olikheter i komplexa talplanet
Vilka tal uppfyller villkoret:
(hur skulle du markera denna talmängd i det komplexa talplanet?
d) \( |z-i| \leq |z-2| \)
e) \[\begin{cases} \text{Im} z\geq 0\\ |z|\leq 3\end{cases}\]