Grafer
viktiga begrepp och att kunna skissa en graf
Tidigare begrepp
-
Växande
En funktion är växande i ett intervall om \(x_2>x_1\, \Rightarrow \, f(x_2)\geq f(x_1)\) då \(x_1\) och \(x_2\) är i intervallet.
Det gäller då även att \(f'(x)\geq 0\).
-
Avtagande
En funktion är avtagande i ett intervall om \(x_2>x_1\, \Rightarrow \, f(x_2)\leq f(x_1)\) då \(x_1\) och \(x_2\) är i intervallet.
Det gäller då även att \(f'(x)\leq 0\).
Tidigare begrepp
-
Lokal maximumpunkt
En lokal maximipunkt vid \(x=a\) är en extrempunkt där \(f'(a)=0\), och derivatans teckenväxling följer mönstret \(+\, 0\, -\) runt denna punkt.
-
Lokal minimipunkt
En lokal minimipunkt vid \(x=a\) är en extrempunkt där \(f'(a)=0\), och derivatans teckenväxling följer mönstret \(-\, 0\, +\) runt denna punkt.
+
-
0
+
-
0
Tidigare begrepp
Andraderivatan \(f''(x)\)
Anger hur snabbt lutningen ökar (+) eller minskar (-) runt en punkt.
- \(f''(x)>0\) innebär att lutningen ökar
- \(f''(x)<0\) innebär att lutningen minskar
\(f''>0\)
\(f''>0\)
\(f''<0\)
\(f''<0\)
\(f''>0\)
\(f''<0\)
Tidigare begrepp
Andraderivatan \(f''(x)\) vid extrempunkter \(f'(a)=0\)
- \(f''(a)>0\) innebär att punkten är en minimipunkt
- \(f''(a)<0\) innebär att punkten är en maximipunkt
- \(f'(a)=0\) innebär att vi behöver utföra teckenstudium. Punkten kan vara ett maximum, minimum eller en terasspunkt.
+
+
+
+
-
-
-
-
0
0
0
0
Tidigare begrepp
Största/minsta värdet för en funktion i ett intervall
- Derivera funktionen och lös ekvationen \(f'(x)=0\) för att hitta extrempunkter.
- Bestäm extrempunktens natur:
Enklast genom att undersöka tecknet på andraderivatan, men teckenstudium krävs då \(f''=0\). - Jämför funktionens värden i extrempunkter och vid intervallets randpunkter.
Tidigare begrepp
Att skissa en graf
- Hitta extrempunkter och bestäm deras natur (t.ex. genom andraderivatan)
- (Hitta nollställen och var grafen skär y-axeln, om möjligt)
- (Skapa teckentabell, om nödvändigt)
- Asymptoter? (nästa lektion)
Exempel och övningar
Övningsprovet uppg. 1
Rek. Uppg. 3209, 3211, 3214
Tidigare begrepp
- Definitionsmängd
De värden på \(x\) som funktionen är definierad för, eller som är fysikaliska för den modell som funktionen försöker beskriva.
- Värdemängd
De värden \(f(x)\) som funktionen kan anta.
Test:
Ange def. mängd och värdemängd för
- \(f(x)=\sqrt{x-3}\)
- \(f(x)=\frac{1}{x-2}\)
- \(f(x)=|x-3|\)
Tidigare begrepp
Test:
Ange def. mängd och värdemängd för
- \(f(x)=\sqrt{x-3}\)
- \(f(x)=\frac{1}{x-2}\)
- \(f(x)=|x-3|\)
Halvnya begrepp
Absolutbeloppet
\(|x-a|\)
- \(|x-a|\) kan ses som avståndet mellan \(a\) och \(x\) på tallinjen. (alltid positivt)
- \(|x-a|=\begin{cases} x-a, \quad x\geq a \\ -(x-a), \quad x<a\end{cases}\)
Halvnya begrepp
- Kontinuerlig
En funktion är kontinuerlig om "dess graf kan ritas utan att lyfta pennan".
Mer matematiskt:Om
\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}f(x+h)=\lim_{h\rightarrow 0}f(x-h)\)
- Deriverbar
En funktion är deriverbar i en punkt om derivatan är kontinuerlig i den punkten.
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} f'(x+h)=\lim_{h\rightarrow 0} f'(x-h)\)
Nya begrepp
- Funktioner med kvoter
\(\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)
Är odefinierade där \(g(x)\) har nollställen.
Där återfinner man oftast lodräta asymptoter.
- Lodrät asymptot
En lodrät asymptot är en linje \(x=a\) som funktionen närmar sig då \(x\) närmar sig något värde \(a\).
Exempel: \(f(x)=\frac{1}{x-a}\) närmar sig linjen \(x=a\) då \(x\) närmar sig \(a\).
Nya begrepp
Vågrät asymptot
En vågrät asymptot är en linje \(y=a\) som funktionen närmar sig då \(x\) närmar sig \( \pm \infty\).
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow \pm \infty} f(x)=a\)
Exempel \(f(x)=e^{-x} + 2\) går mot \(y=2\) då \(x \rightarrow +\infty\).
Sned asymptot
En lodrät asymptot är en linje \(y=kx+m\) som funktionen närmar sig då \(x\) närmar sig \(\pm \infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \bigl(f(x)-(kx+m)\bigr)=0\)
T.ex. \(f(x)=\frac{x^2+16}{4x}\) går mot \(y=\frac{1}{4}x\).
Rek. Uppg.
3220, 3223, 3227, 3229, 3230