Sekant, Ändringskvot
och tangent, derivata
Sekant
fr. latinets secare, som betyder att (genom)skära.
(Tänk på ord som dissekera.)
En linje som skär en graf i två punkter - \((x_1,y_1)\) och \((x_2,y_2)\), eller \((x_1,f(x_1))\) och \((x_2,f(x_2))\).
Ändringskvot
Sekantents lutning.
\(\displaystyle=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)
Ändringskvot
Ändringskvoten brukar även kallas för medelförändrings- hastighet.
Jmf. med s-t diagram från fysiken. Medelhastigheten ges av:
\(\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}\)
Tangent
fr. latinets tanger, som betyder att röra eller snudda.
(Tänk på ord som tangentbord.)
En linje som tangerar/vidrör en graf i en punk - \((x,y)\) eller \((x,f(x))\).
Derivata
Tangentens lutning.
För att kunna bestämma den utifrån en funktion kommer vi behöva lite trix.
Derivata
Derivata kallas också ibland för momentan-förändringshastighet.
Jmf. Med st-diagram i fysiken:
För att bestämma momentanhastigheten behöver vi rita en tangent i grafen och avläsa tangentens lutning.
- Det visar sig att det finns ett bättre sätt om vi känner till funktionen.
Lite övningar
Ändringskvot och Sekant
Bestäm utifrån grafen bredvid:
- Ändringskvoten mellan \( x_1=0\) och \( x_2=2\).
- Bestäm räta linjens ekvation på formen
\( y=kx+m\) för sekanten.
Ändringskvot och Sekant
Bestäm ändringskvoten för punkterna med \( x\)-koordinater -2 och 2 för en graf med funktionen:
\( f(x)=-x^3+x^2+4x-3\)
Bestäm även sekantens ekvation.
Modeller och Tolkningar
Tabellen till höger visar folkmängden i en kommun.
Bestäm den genomsnittliga befolkningsändringen per år.
a) från 2002 till 2005
b) under hela perioden
c) från 2005 till 2007.
| År | Folkmängd |
|---|---|
| 2002 | 16 000 |
| 2005 | 17 200 |
| 2007 | 17 100 |
| 2012 | 20 700 |
Tangent och Derivata
Funktionen \(f(x)=-x^3+x^2+4x-3\) har då \(x=0\) derivatan (momentanlutningen) 7.
Bestäm tangentens ekvation på formen \(y=kx+m\).
Rekommenderade Uppg.
2107, 08, 09, 12, 14, 16 (17,18)
(2124, 25, 26)