Fördjupningsmoment
Integraler och Riemannsumma
Repetition Integraler
Integral:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx\]
- \(a\) och \(b\) kallas integrations- gränserna
- \(f(x)\) kallas för integranden
- \(x\) är integrationsvariabeln
Integralkalkylens fundamentalsats:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\]
- där \(F(x)\) är den primitiva funktionen till \(f(x)\)
Exempel:
\[\int_{\color{green}1}^{\color{blue}3}\,4x\, dx = \left[4\frac{x^2}{2}\right]_{\color{green}1}^{\color{blue}3}=\left(4\cdot \frac{{\color{blue}3}^{2}}{2}\right)-\left(4\cdot \frac{{\color{green}1}^2}{2}\right)={\color{blue}18}-{\color{green}2}=16\]
Uppgift från gammalt NP
Integral genom Riemann-summa
Definition:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]
där \(x_i\) är \(x\)-värden placerade med jämnt mellanrum \(x_{i+1}-x_i=\Delta x\), och \( \sum_{a}^{b}\) är en summa över sådana \(x\)-värden mellan \(a\) och \(b\).
Integral genom Riemann-summa
Definition:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]
Övre integrationsgräns
Undre integrationsgräns
Integral genom Riemann-summa
Definition:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]
Integrand
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Integralen över hastigheten (integranden) som funktion av tiden (integrationsvariabeln) från \(t=a\) till \(t=b\)
ges av gränsvärdet av summan av hastigheterna vid tidpunkter \(t_i\), placerade med jämna mellanrum \(\Delta t\) mellan \(t=a\) och \(t=b\), multiplicerat med tidsintervallet \(\Delta t\).
Integral genom Riemann-summa
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Vad är \(v(t_i)\Delta t\)?
Kom ihåg
\[ \frac{\Delta s}{\Delta t}=v\]
eller \[\Delta s = v\Delta t\]
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Vad är \(v(t_i)\Delta t\)?
En uppskattning av förflyttningen som sker under tidsintervallet från \(t_i\) till \(t_i+\Delta t\).
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Vad är \(\displaystyle \sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\)?
En uppskattning av den totala förflyttningen från \(t=a\) till \(t=b\).
( summan av alla förflyttningar under delintervallen )
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Vad är \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\)?
Vid gränsvärdet då tidsintervallet \(\Delta t\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.
Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet \(t=a\) till \(t=b\).
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t = s(b)-s(a)\]
Vid gränsvärdet då tidsintervallet \(\Delta t\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.
Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet \(t=a\) till \(t=b\).
Integral genom Riemann-summa
Integralkalkylens fundamentalsats:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x = F(b)-F(a)\]
Vid gränsvärdet då steglängden \(\Delta x\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.
Integral genom Riemann-summa
Olika typer av Riemann-summor
Övning 1
Fabian springer marathon. Han har en smartwatch som med jämna tidsintervall uppdaterar vilken hastighet han håller och lägger ut det på nätet. Tabellen till höger visar hans hastigheter:
| Tid | Hastighet |
|---|---|
| 0,25 h | 12.2 km/h |
| 0,50 h | 14.1 km/h |
| 0,75 h | 10.1 km/h |
| 1,00 h | 13.6 km/h |
| ... | ... |
Hans vänner som följer vill ju förstås veta hur långt han har kommit efter den senaste uppdateringen (efter 1 h).
Hur bör man bäst uppskatta hur långt han har kommit? Och hur stor är felmarginalen?
Övning 2
En kopp kaffe har temperaturen 90 °C och ställs i ett rum med temperaturen 20 °C.
Temperaturen förändras med hastigheten \(-7e^{-0.1t}\) °C/min.
Vilken temperatur har koppen efter 10 min?
\[\begin{aligned}T(10)-T(0) &= \int_{0}^{10}\, \left(-7e^{-0.1t}\right)\, dt \\ &=\left[\frac{-7e^{-0.1t}}{-0.1}\right]^{10}_{0}\\ &=70e^{-0.1\cdot 10}-70e^{-0.1\cdot 0}\\ &\approx -44.2\text{ °C}\end{aligned}\]
OBS:
Temperaturförändringen är -44.2 °C.
Den nya temperaturen är:
\(T(10)=T(0)-44.2=45.8\) °C
Övning 3
Rymdstationen ISS befinner sig i snitt 420 km ovanför jordytan. Beräkna det arbete som krävs för att lyfta en astronaut på 86 kg från jordytan till ISS.
Relevant information:
\(W = \int_{r_0}^{r_f} F(r) dr\)
\(F=G\frac{Mm}{r^2}\)
Jorden väger \(5.97\cdot 10^{24}\) kg och har en radie på 6400 km. Gravitationskonstanten är \(G=6.67\cdot 10^{-11}\) \(\frac{\text{m}^3}{\text{kg } \text{s}^2}\)