Fördjupningsmoment

Integraler och Riemannsumma

Repetition Integraler

Integral:

$\int_{a}^{b}f(x)dx$

$a$ och $b$ kallas integrations- gränserna
$f(x)$ kallas för integranden
$x$ är integrationsvariabeln

Integralkalkylens fundamentalsats:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

där $F(x)$ är den primitiva funktionen till $f(x)$

Exempel:

$\int_{\color{green}1}^{\color{blue}3}\,4x\, dx = \left[4\frac{x^2}{2}\right]_{\color{green}1}^{\color{blue}3}=\left(4\cdot \frac{{\color{blue}3}^{2}}{2}\right)-\left(4\cdot \frac{{\color{green}1}^2}{2}\right)={\color{blue}18}-{\color{green}2}=16$

Uppgift från gammalt NP

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$

där $x_i$ är $x$ -värden placerade med jämnt mellanrum $x_{i+1}-x_i=\Delta x$ , och $\sum_{a}^{b}$ är en summa över sådana $x$ -värden mellan $a$ och $b$ .

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$

Övre integrationsgräns

Undre integrationsgräns

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$

Integrand

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Integralen över hastigheten (integranden) som funktion av tiden (integrationsvariabeln) från $t=a$ till $t=b$

ges av gränsvärdet av summan av hastigheterna vid tidpunkter $t_i$ , placerade med jämna mellanrum $\Delta t$ mellan $t=a$ och $t=b$ , multiplicerat med tidsintervallet $\Delta t$ .

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Vad är $v(t_i)\Delta t$ ?

Kom ihåg

$\frac{\Delta s}{\Delta t}=v$

eller $\Delta s = v\Delta t$

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Vad är $v(t_i)\Delta t$ ?

En uppskattning av förflyttningen som sker under tidsintervallet från $t_i$ till $t_i+\Delta t$ .

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Vad är $\displaystyle \sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$ ?

En uppskattning av den totala förflyttningen från $t=a$ till $t=b$ .

( summan av alla förflyttningar under delintervallen )

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Vad är $\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$ ?

Vid gränsvärdet då tidsintervallet $\Delta t$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet $t=a$ till $t=b$ .

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t = s(b)-s(a)$

Vid gränsvärdet då tidsintervallet $\Delta t$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet $t=a$ till $t=b$ .

Integral genom Riemann-summa

Integralkalkylens fundamentalsats:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x = F(b)-F(a)$

Vid gränsvärdet då steglängden $\Delta x$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Integral genom Riemann-summa

Olika typer av Riemann-summor

Övning 1

Fabian springer marathon. Han har en smartwatch som med jämna tidsintervall uppdaterar vilken hastighet han håller och lägger ut det på nätet. Tabellen till höger visar hans hastigheter:

Tid	Hastighet
0,25 h	12.2 km/h
0,50 h	14.1 km/h
0,75 h	10.1 km/h
1,00 h	13.6 km/h
...	...

Hans vänner som följer vill ju förstås veta hur långt han har kommit efter den senaste uppdateringen (efter 1 h).

Hur bör man bäst uppskatta hur långt han har kommit? Och hur stor är felmarginalen?

Övning 2

En kopp kaffe har temperaturen 90 °C och ställs i ett rum med temperaturen 20 °C.

Temperaturen förändras med hastigheten $-7e^{-0.1t}$ °C/min.

Vilken temperatur har koppen efter 10 min?

$\begin{aligned}T(10)-T(0) &= \int_{0}^{10}\, \left(-7e^{-0.1t}\right)\, dt \\ &=\left[\frac{-7e^{-0.1t}}{-0.1}\right]^{10}_{0}\\ &=70e^{-0.1\cdot 10}-70e^{-0.1\cdot 0}\\ &\approx -44.2\text{ °C}\end{aligned}$

OBS:

Temperaturförändringen är -44.2 °C.

Den nya temperaturen är:

$T(10)=T(0)-44.2=45.8$ °C

Övning 3

Rymdstationen ISS befinner sig i snitt 420 km ovanför jordytan. Beräkna det arbete som krävs för att lyfta en astronaut på 86 kg från jordytan till ISS.

Relevant information:

$W = \int_{r_0}^{r_f} F(r) dr$

$F=G\frac{Mm}{r^2}$

Jorden väger $5.97\cdot 10^{24}$ kg och har en radie på 6400 km. Gravitationskonstanten är $G=6.67\cdot 10^{-11}$ $\frac{\text{m}^3}{\text{kg } \text{s}^2}$