Integralveckan Del 1

repetition integraler, Riemann-summa och

area mellan grafer

Integralveckan

Dag:	Moment
Måndag	Repetition Integraler Riemann-summa (intro) *Integral mellan funktioner
Onsdag	* Riemann-summa (advanced) * Grafisk beräkning av integraler * Tillämpningar, inkl. sannolikheter
Torsdag	* Rotationsvolymer (intro)
Fredag	* Rotationsvolymer (advanced)

~~Examineras genom inlämningsuppgifter!~~

Måndag - upplägg

Del	Moment
1.	Repetition Integraler * Begrepp och procedur * Nya primitiva funktioner (trigonometriska och ln) * Övning
2.	Riemann-summa * Vad är det, och varför "förklarar" det integralkalkylens fundamentalsats. * Varför "räknas vissa areor som negativa". * Vilka andra egenskaper kan man få ut av Riemann-summor?
3.	Integral mellan funktioner * Skillnad mellan integral och area. * Exempel och övningar där skärningspunkter behövs
4.	~~Arbete med inlämningsuppgifter~~

Repetition Integraler

Integral:

$\int_{a}^{b}f(x)dx$

$a$ och $b$ kallas integrations- gränserna
$f(x)$ kallas för integranden
$x$ är integrationsvariabeln

Integralkalkylens fundamentalsats:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

där $F(x)$ är den primitiva funktionen till $f(x)$

Exempel:

$\int_{\color{green}1}^{\color{blue}3}\,4x\, dx = \left[4\frac{x^2}{2}\right]_{\color{green}1}^{\color{blue}3}=\left(4\cdot \frac{{\color{blue}3}^{2}}{2}\right)-\left(4\cdot \frac{{\color{green}1}^2}{2}\right)={\color{blue}18}-{\color{green}2}=16$

Nya primitiva funktioner/Integraler

Nya deriveringsregler:

$\begin{aligned}&f(x)=\sin(x)& \qquad &f'(x)=\cos(x)&\\ \\ &f(x)=\cos(x)& \qquad &f'(x)=-\sin(x)&\\ \\ &f(x)=\ln(x)& \qquad &f'(x)=\frac{1}{x}&\\ \end{aligned}$

Nya primitiva funktioner:

$\begin{aligned}&f(x)=\sin(x)& \qquad &F(x)=-\cos(x)&\\ \\ &f(x)=\cos(x)& \qquad &F(x)=\sin(x)&\\ \\ &f(x)=\frac{1}{x}& \qquad &F(x)=\ln(x)&\\ \end{aligned}$

Nya primitiva funktioner/Integraler

Nya deriveringsregler:

$\begin{aligned}&f(x)=\sin(kx)& \qquad &f'(x)=k\cos(kx)&\\ \\ &f(x)=\cos(kx)& \qquad &f'(x)=-k\sin(kx)&\\ \\ &f(x)=\ln(kx)& \qquad &f'(x)=k\cdot\frac{1}{kx}&\\ \end{aligned}$

Nya primitiva funktioner:

$\begin{aligned}&f(x)=\sin(kx)& \qquad &F(x)=\frac{-\cos(kx)}{k}&\\ \\ &f(x)=\cos(kx)& \qquad &F(x)=\frac{\sin(kx)}{k}&\\ \\ &f(x)=\frac{1}{kx}& \qquad &F(x)=\frac{\ln(kx)}{k}&\\ \end{aligned}$

Nya primitiva funktioner/Integraler

Övning:

Bestäm:

a) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,\bigl(x+\sin(2x)\bigr) \, dx$

b) $\displaystyle \int_{1}^{e}\,\frac{1}{x}\, dx$

c) $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\, \sin(x)\, dx$

Repetition Integraler

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$

där $x_i$ är $x$ -värden placerade med jämnt mellanrum $x_{i+1}-x_i=\Delta x$ , och $\sum_{a}^{b}$ är en summa över sådana $x$ -värden mellan $a$ och $b$ .

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$

Övre integrationsgräns

Undre integrationsgräns

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$

Integrand

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$

Integrationsvariabel

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Integralen över hastigheten (integranden) som funktion av tiden (integrationsvariabeln) från $t=a$ till $t=b$

ges av gränsvärdet av summan av hastigheterna vid tidpunkter $t_i$ , placerade med jämna mellanrum $\Delta t$ mellan $t=a$ och $t=b$ , multiplicerat med tidsintervallet $\Delta t$ .

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Vad är $v(t_i)\Delta t$ ?

Kom ihåg

$\frac{\Delta s}{\Delta t}=v$

eller $\Delta s = v\Delta t$

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Vad är $v(t_i)\Delta t$ ?

En uppskattning av förflyttningen som sker under tidsintervallet från $t_i$ till $t_i+\Delta t$ .

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Vad är $\displaystyle \sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$ ?

En uppskattning av den totala förflyttningen från $t=a$ till $t=b$ .

( summan av alla förflyttningar under delintervallen )

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$

Vad är $\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$ ?

Vid gränsvärdet då tidsintervallet $\Delta t$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet $t=a$ till $t=b$ .

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t = s(b)-s(a)$

Vid gränsvärdet då tidsintervallet $\Delta t$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet $t=a$ till $t=b$ .

Integral genom Riemann-summa

Integralkalkylens fundamentalsats:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x = F(b)-F(a)$

Vid gränsvärdet då steglängden $\Delta x$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Integral genom Riemann-summa

Övning:

a) Uppskatta integralen $\int_{0}^{4}\,f(x)\, dx$ genom en Riemann-summa.

b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar

c) Bestäm integralen exakt, då $f(x)=0.5x^3-2x^2-2x+8$

c) Bestäm arean exakt (samma funktion)

Integral genom Riemann-summa

Övning:

Antag att $f(x)$ beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden $x$ .

Vilket beskriver bäst Filippas förflyttning?

Integralen eller arean?

Integral mellan funktioner

$\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr) dx$

Integral mellan funktioner

Övning:

a) Uppskatta integralen $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{2\pi}\,\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\, dx$ genom en Riemann-summa.

b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar

c) Bestäm integralen exakt, då $f(x)=2\sin(2x)+x$ och $g(x)=x$ .

c) Bestäm arean exakt (samma funktion)

Integral mellan funktioner

Övning:

Antag att $f(x)$ beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden $x$ , och $g(x)$ beskriver Gustavs hastighet som funktion av tiden $x$ .

Tolka i detta sammanhang

$\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)dx$