Integralveckan Del 1
repetition integraler, Riemann-summa och
area mellan grafer
Integralveckan
| Dag: | Moment |
|---|---|
| Måndag | *Repetition Integraler *Riemann-summa (intro) *Integral mellan funktioner |
| Onsdag | * Riemann-summa (advanced) * Grafisk beräkning av integraler * Tillämpningar, inkl. sannolikheter |
| Torsdag | * Rotationsvolymer (intro) |
| Fredag | * Rotationsvolymer (advanced) |
Examineras genom inlämningsuppgifter!
Måndag - upplägg
| Del | Moment |
|---|---|
| 1. |
Repetition Integraler * Begrepp och procedur * Nya primitiva funktioner (trigonometriska och ln) * Övning |
| 2. |
Riemann-summa * Vad är det, och varför "förklarar" det integralkalkylens fundamentalsats. * Varför "räknas vissa areor som negativa". * Vilka andra egenskaper kan man få ut av Riemann-summor? |
| 3. |
Integral mellan funktioner * Skillnad mellan integral och area. * Exempel och övningar där skärningspunkter behövs |
| 4. |
Repetition Integraler
Repetition Integraler
Integral:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx\]
- \(a\) och \(b\) kallas integrations- gränserna
- \(f(x)\) kallas för integranden
- \(x\) är integrationsvariabeln
Integralkalkylens fundamentalsats:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\]
- där \(F(x)\) är den primitiva funktionen till \(f(x)\)
Exempel:
\[\int_{\color{green}1}^{\color{blue}3}\,4x\, dx = \left[4\frac{x^2}{2}\right]_{\color{green}1}^{\color{blue}3}=\left(4\cdot \frac{{\color{blue}3}^{2}}{2}\right)-\left(4\cdot \frac{{\color{green}1}^2}{2}\right)={\color{blue}18}-{\color{green}2}=16\]
Nya primitiva funktioner/Integraler
Nya deriveringsregler:
\[\begin{aligned}&f(x)=\sin(x)& \qquad &f'(x)=\cos(x)&\\ \\ &f(x)=\cos(x)& \qquad &f'(x)=-\sin(x)&\\ \\ &f(x)=\ln(x)& \qquad &f'(x)=\frac{1}{x}&\\ \end{aligned} \]
Nya primitiva funktioner:
\[\begin{aligned}&f(x)=\sin(x)& \qquad &F(x)=-\cos(x)&\\ \\ &f(x)=\cos(x)& \qquad &F(x)=\sin(x)&\\ \\ &f(x)=\frac{1}{x}& \qquad &F(x)=\ln(x)&\\ \end{aligned} \]
Nya primitiva funktioner/Integraler
Nya deriveringsregler:
\[\begin{aligned}&f(x)=\sin(kx)& \qquad &f'(x)=k\cos(kx)&\\ \\ &f(x)=\cos(kx)& \qquad &f'(x)=-k\sin(kx)&\\ \\ &f(x)=\ln(kx)& \qquad &f'(x)=k\cdot\frac{1}{kx}&\\ \end{aligned} \]
Nya primitiva funktioner:
\[\begin{aligned}&f(x)=\sin(kx)& \qquad &F(x)=\frac{-\cos(kx)}{k}&\\ \\ &f(x)=\cos(kx)& \qquad &F(x)=\frac{\sin(kx)}{k}&\\ \\ &f(x)=\frac{1}{kx}& \qquad &F(x)=\frac{\ln(kx)}{k}&\\ \end{aligned} \]
Nya primitiva funktioner/Integraler
Övning:
Bestäm:
a) \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,\bigl(x+\sin(2x)\bigr) \, dx\)
b) \(\displaystyle \int_{1}^{e}\,\frac{1}{x}\, dx\)
c) \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\, \sin(x)\, dx\)
Repetition Integraler
Integral genom Riemann-summa
Definition:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]
där \(x_i\) är \(x\)-värden placerade med jämnt mellanrum \(x_{i+1}-x_i=\Delta x\), och \( \sum_{a}^{b}\) är en summa över sådana \(x\)-värden mellan \(a\) och \(b\).
Integral genom Riemann-summa
Definition:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]
Övre integrationsgräns
Undre integrationsgräns
Integral genom Riemann-summa
Definition:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]
Integrand
Integral genom Riemann-summa
Definition:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]
Integrationsvariabel
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Integralen över hastigheten (integranden) som funktion av tiden (integrationsvariabeln) från \(t=a\) till \(t=b\)
ges av gränsvärdet av summan av hastigheterna vid tidpunkter \(t_i\), placerade med jämna mellanrum \(\Delta t\) mellan \(t=a\) och \(t=b\), multiplicerat med tidsintervallet \(\Delta t\).
Integral genom Riemann-summa
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Vad är \(v(t_i)\Delta t\)?
Kom ihåg
\[ \frac{\Delta s}{\Delta t}=v\]
eller \[\Delta s = v\Delta t\]
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Vad är \(v(t_i)\Delta t\)?
En uppskattning av förflyttningen som sker under tidsintervallet från \(t_i\) till \(t_i+\Delta t\).
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Vad är \(\displaystyle \sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\)?
En uppskattning av den totala förflyttningen från \(t=a\) till \(t=b\).
( summan av alla förflyttningar under delintervallen )
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]
Vad är \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\)?
Vid gränsvärdet då tidsintervallet \(\Delta t\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.
Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet \(t=a\) till \(t=b\).
Integral genom Riemann-summa
Exempel från fysiken:
\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t = s(b)-s(a)\]
Vid gränsvärdet då tidsintervallet \(\Delta t\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.
Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet \(t=a\) till \(t=b\).
Integral genom Riemann-summa
Integralkalkylens fundamentalsats:
\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x = F(b)-F(a)\]
Vid gränsvärdet då steglängden \(\Delta x\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.
Integral genom Riemann-summa
Integral genom Riemann-summa
Övning:
a) Uppskatta integralen \[ \int_{0}^{4}\,f(x)\, dx\] genom en Riemann-summa.
b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar
c) Bestäm integralen exakt, då \[f(x)=0.5x^3-2x^2-2x+8\]
c) Bestäm arean exakt (samma funktion)
Integral genom Riemann-summa
Övning:
Antag att \(f(x)\) beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden \(x\).
Vilket beskriver bäst Filippas förflyttning?
Integralen eller arean?
Integral mellan funktioner
\[\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr) dx\]
Integral mellan funktioner
Övning:
a) Uppskatta integralen \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{2\pi}\,\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\, dx\] genom en Riemann-summa.
b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar
c) Bestäm integralen exakt, då \(f(x)=2\sin(2x)+x\) och \(g(x)=x\).
c) Bestäm arean exakt (samma funktion)
Integral mellan funktioner
Övning:
Antag att \(f(x)\) beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden \(x\), och \(g(x)\) beskriver Gustavs hastighet som funktion av tiden \(x\).
Tolka i detta sammanhang
\(\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)dx\)