Integralveckan Del 1

repetition integraler, Riemann-summa och

 area mellan grafer 

Integralveckan

Dag: Moment
Måndag *Repetition Integraler
*Riemann-summa (intro)
*Integral mellan funktioner
Onsdag * Riemann-summa (advanced)
* Grafisk beräkning av integraler
* Tillämpningar, inkl. sannolikheter
Torsdag * Rotationsvolymer (intro)
Fredag * Rotationsvolymer (advanced)

Examineras genom inlämningsuppgifter!

Måndag - upplägg

Del Moment
1. Repetition Integraler
* Begrepp och procedur
* Nya primitiva funktioner (trigonometriska och ln)
* Övning
2. Riemann-summa
* Vad är det, och varför "förklarar" det integralkalkylens fundamentalsats.
* Varför "räknas vissa areor som negativa".
* Vilka andra egenskaper kan man få ut av Riemann-summor?
3. Integral mellan funktioner
* Skillnad mellan integral och area.
* Exempel och övningar där skärningspunkter behövs
4. Arbete med inlämningsuppgifter

Repetition Integraler

Repetition Integraler

Integral:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx\]

 

  • \(a\) och \(b\) kallas integrations- gränserna
  • \(f(x)\) kallas för integranden
  • \(x\) är integrationsvariabeln

Integralkalkylens fundamentalsats:

 

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\]

 

  • där \(F(x)\) är den primitiva funktionen till \(f(x)\)
     

Exempel:

\[\int_{\color{green}1}^{\color{blue}3}\,4x\, dx = \left[4\frac{x^2}{2}\right]_{\color{green}1}^{\color{blue}3}=\left(4\cdot \frac{{\color{blue}3}^{2}}{2}\right)-\left(4\cdot \frac{{\color{green}1}^2}{2}\right)={\color{blue}18}-{\color{green}2}=16\]

Nya primitiva funktioner/Integraler

Nya deriveringsregler:

 

\[\begin{aligned}&f(x)=\sin(x)& \qquad &f'(x)=\cos(x)&\\ \\ &f(x)=\cos(x)& \qquad &f'(x)=-\sin(x)&\\ \\ &f(x)=\ln(x)& \qquad &f'(x)=\frac{1}{x}&\\ \end{aligned} \]

 

Nya primitiva funktioner:

 

\[\begin{aligned}&f(x)=\sin(x)& \qquad &F(x)=-\cos(x)&\\ \\ &f(x)=\cos(x)& \qquad &F(x)=\sin(x)&\\ \\ &f(x)=\frac{1}{x}& \qquad &F(x)=\ln(x)&\\ \end{aligned} \]

Nya primitiva funktioner/Integraler

Nya deriveringsregler:

 

\[\begin{aligned}&f(x)=\sin(kx)& \qquad &f'(x)=k\cos(kx)&\\ \\ &f(x)=\cos(kx)& \qquad &f'(x)=-k\sin(kx)&\\ \\ &f(x)=\ln(kx)& \qquad &f'(x)=k\cdot\frac{1}{kx}&\\ \end{aligned} \]

 

Nya primitiva funktioner:

 

\[\begin{aligned}&f(x)=\sin(kx)& \qquad &F(x)=\frac{-\cos(kx)}{k}&\\ \\ &f(x)=\cos(kx)& \qquad &F(x)=\frac{\sin(kx)}{k}&\\ \\ &f(x)=\frac{1}{kx}& \qquad &F(x)=\frac{\ln(kx)}{k}&\\ \end{aligned} \]

Nya primitiva funktioner/Integraler

Övning:

 

Bestäm:

a) \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,\bigl(x+\sin(2x)\bigr) \, dx\)

 

b) \(\displaystyle \int_{1}^{e}\,\frac{1}{x}\, dx\)

 

c) \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\, \sin(x)\, dx\)

 

Repetition Integraler

Integral genom Riemann-summa

Definition:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]

där \(x_i\) är \(x\)-värden placerade med jämnt mellanrum \(x_{i+1}-x_i=\Delta x\), och \( \sum_{a}^{b}\) är en summa över sådana \(x\)-värden mellan \(a\) och \(b\). 

Integral genom Riemann-summa

Definition:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]

 

 

 

Övre integrationsgräns

Undre integrationsgräns

Integral genom Riemann-summa

Definition:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]

 

 

 

Integrand

Integral genom Riemann-summa

Definition:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x\]

 

 

 

Integrationsvariabel

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

 

 

 

 

 

 

Integralen över hastigheten (integranden) som funktion av tiden (integrationsvariabeln) från \(t=a\) till \(t=b\)

ges av gränsvärdet av summan av hastigheterna vid tidpunkter \(t_i\), placerade med jämna mellanrum \(\Delta t\) mellan \(t=a\) och \(t=b\), multiplicerat med tidsintervallet \(\Delta t\).

Integral genom Riemann-summa

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

 

 

 

 

 

 

Vad är \(v(t_i)\Delta t\)?

Kom ihåg

\[ \frac{\Delta s}{\Delta t}=v\]

eller \[\Delta s = v\Delta t\]

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

 

 

 

 

 

 

Vad är \(v(t_i)\Delta t\)?

En uppskattning av förflyttningen som sker under tidsintervallet från \(t_i\) till \(t_i+\Delta t\).

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

 

 

 

 

 

 

Vad är \(\displaystyle \sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\)?

En uppskattning av den totala förflyttningen från \(t=a\) till \(t=b\).

( summan av alla förflyttningar under delintervallen )

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\]

 

 

 

 

 

 

Vad är \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t\)?

Vid gränsvärdet då tidsintervallet \(\Delta t\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet \(t=a\) till \(t=b\).

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

\[ \int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t = s(b)-s(a)\]

 

 

 

 

 

 

Vid gränsvärdet då tidsintervallet \(\Delta t\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet \(t=a\) till \(t=b\).

Integral genom Riemann-summa

Integralkalkylens fundamentalsats:

\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x = F(b)-F(a)\]

 

 

 

 

 

 

Vid gränsvärdet då steglängden \(\Delta x\) går mot \(0\) så blir uppskattningen exakt.

Integral genom Riemann-summa

Integral genom Riemann-summa

Övning:

 

a) Uppskatta integralen \[ \int_{0}^{4}\,f(x)\, dx\] genom en Riemann-summa.

 

b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar

 

c) Bestäm integralen exakt, då \[f(x)=0.5x^3-2x^2-2x+8\]

 

c) Bestäm arean exakt (samma funktion)

Integral genom Riemann-summa

Övning:

 

Antag att \(f(x)\) beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden \(x\).

 

Vilket beskriver bäst Filippas förflyttning?

 

Integralen eller arean?

Integral mellan funktioner

\[\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr) dx\]

Integral mellan funktioner

Övning:

a) Uppskatta integralen \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{2\pi}\,\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\, dx\] genom en Riemann-summa.

 

b) Uppskatta den totala arean, genom att ersätta med rektanglar

 

c) Bestäm integralen exakt, då \(f(x)=2\sin(2x)+x\) och \(g(x)=x\).

 

c) Bestäm arean exakt (samma funktion)

Integral mellan funktioner

Övning:

Antag att \(f(x)\) beskriver Filippas hastighet som funktion av tiden \(x\), och \(g(x)\) beskriver Gustavs hastighet som funktion av tiden \(x\).

 

Tolka i detta sammanhang

\(\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)dx\)