E se a menor distância entre dois pontos não for única?

A geometria do táxi e suas contribuições

para o ensino de matemática

Junho de 2025

Apresentação

Lucas Henrique Viana

Leandro Mário Lucas

Doutorando em Ensino - RENOEN/UEPB

Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática (UEPB)

Professor do curso de Lic. em Matemática - UEPB/Campus I

Doutorando em Ensino - RENOEN/UEPB

Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática (UEPB)

Professor da Educação Básica do Estado da Paraíba

Roteiro

  • Apresentação
  • Discussões teóricas
  • Atividades práticas
  • Discussão coletiva
  • Avaliação
  • Considerações finais

Apresentação

Você sabia que existe mais de um tipo de Geometria?

Usualmente, em muitos conteúdos da Matemática, trabalhamos com a geometria EUCLIDIANA

Retirado de: https://br.pinterest.com/pin/675258537854832617/. Acessado em: 28 abr. 2025

Apresentação

No entanto, nem sempre ela é suficiente para representar a realidade.

Assim, recorremos às chamadas Geometrias Não-euclidianas.

Apresentação

Apresentação

Geometria esférica

Geometria hiperbólica

Geometria do táxi

*Mais recente

Discussões teóricas

Guerra e Ferreira (2024, p. 3) criticam que

 

o ensino da escola básica torna a geometria euclidiana uma teoria matemática isolada que funciona como argumento indiscutível de validação de procedimentos de outros conhecimentos deixando escapar o seu verdadeiro papel como um modelo, entre muitos outros existentes na matemática, que nos permitem modelar situações, entre elas, as do e para o espaço real em que vivemos e atuamos.

Discussões teóricas

Para Leivas (2019), poucas inovações parecem estar ocorrendo no sentido de expandir os horizontes da geometria que é abordada na educação básica.

Viana (2020) destaca que é necessário buscar explorar a criatividade dos estudantes, de modo que os professores proponham atividades em que seja possível manipular as formas geométricas de diferentes maneiras.

Discussões teóricas

O trabalho com temáticas não euclidianas permite a ampliação de horizontes, transcendendo e aprimorando propostas pedagógicas tradicionais, de modo a revelar uma face da geometria que muito se conecta ao dia a dia dos educandos.

Discussões teóricas

Segundo Reinhardt (2005, p. 38, tradução nossa),

 

A geometria do táxi se trata de uma geometria não-euclidiana que é acessível de uma forma concreta e que se distancia em apenas um axioma da geometria euclidiana em sua estrutura básica.

 

Os pontos são os mesmos, as linhas são as mesmas e os ângulos são medidos da mesma maneira.

 

Apenas a maneira como a distância é calculada é que se diferencia.

Geometria do táxi

Discussões teóricas

A Geometria do Táxi foi criada pelo matemático alemão

Hermann Minkowski (1864-1909)

 

* foi professor de Albert Einstein

Atividades práticas

Imagine que um motorista de Uber precisa chegar no menor tempo possível até determinado ponto da cidade.

Qual seria o menor caminho possível?

DESAFIO 1

Utilizando o mapa da folha que você recebeu, descubra o total de caminhos do

posto de combustível até a maior casa do bairro

Atividades práticas

DESAFIO 2

Tente mapear este bairro, de modo a identificar qual o total de menores caminhos para cada esquina, partindo da maior casa.

Atividades práticas

Atividades práticas

Observe

Propriedades

1. Todas as linhas têm o número 1 como seu primeiro e último elemento.

2. O restante dos números de uma linha é formado pela adição dos dois números mais próximos da linha acima.

3. Os elementos de uma mesma linha equidistantes dos extremos têm valores iguais.

n

5. A soma dos elementos de uma linha será igual a 2

4. Quando alinhados à esquerda, os números somados de cima para baixo na diagonal resultam no que fica imediatamente abaixo do fim da linha diagonal

1. Todas as linhas têm o número 1 como seu primeiro e último elemento.

2. O restante dos números de uma linha é formado pela adição dos dois números mais próximos da linha acima.

3. Os elementos de uma mesma linha equidistantes dos extremos têm valores iguais.

4. Quando alinhados à esquerda, os números somados de cima para baixo na diagonal resultam no que fica imediatamente abaixo do fim da linha diagonal

n

5. A soma dos elementos de uma linha será igual a 2

Você já ouviu falar em triângulo de Pascal?

Observe que, na Geometria do Táxi, cada trajeto que fazemos é composto por caminhos na horizontal (h) e vertical (v)

h h h v v v

v v v h h h

h v v v h h

Atividades práticas

Podemos então verificar o total de combinações por meio da análise combinatória:

  • hhhvvv

  • hhvhvv

  • hhvvhv

  • hhvvvh

  • hvhhvv

  • hvhvhv

  • hvhvvh

  • hvvhhv

  • hvvvhh

  • hvvhvh

  • vhhhvv

  • vhhvhv

  • vhhvvh

  • vhvhhv

  • vhhvvh

  • vhvvhv

  • vvhhhv

  • vvhvhh

  • vvvhhh

  • vvhvhh

Atividades práticas

Apresentação

Uma outra opção

  • hhhvvv

  • hhvhvv

  • hhvvhv

  • hhvvvh

  • hvhhvv

  • hvhvhv

  • hvhvvh

  • hvvhhv

  • hvvvhh

  • hvvhvh

  • vhhhvv

  • vhhvhv

  • vhhvvh

  • vhvhhv

  • vhhvvh

  • vhvvhv

  • vvhhhv

  • vvhvhh

  • vvvhhh

  • vvhvhh

E a distância?

 

Será que é calculada de maneira diferente?

Na Geometria Euclidiana, a distância NO PLANO é calculada da seguinte maneira:

A (1, 2)           B (3, -3)

Atividades práticas

Na Geometria do Táxi, a distância é calculada de uma forma diferente:

A (1, 2)           B (3, -3)

Atividades práticas

Atividades práticas

Uber Geométrico

Atividades práticas

Regras

1. O jogo terá um total de SEIS rodadas;

 

2. Podem jogar de duas a três pessoas;

 

3. Os jogadores devem considerar que as corridas ocorrerão apenas pelos menores caminhos;

Atividades práticas

Regras

4. Todos os jogadores iniciam o jogo na origem (0, 0);

 

5. As pontuações dos jogadores serão resultantes da soma das distâncias da localização inicial até o passageiro e do passageiro até o seu destino;

 

6. Ao finalizar a corrida, o motorista deverá permanecer no lugar onde deixou o passageiro, e a próxima corrida irá partir deste local.

Atividades práticas

Preparação do material

1. Posicione os carros na origem do mapa (0,0);

 

2. Escolham lugares aleatórios para os DOIS locais de bônus e para os TRÊS locais de surpresa;

 

3. Em sua folha de registros, preencha estrategicamente os espaços correspondentes às localizações dos passageiros e destinos com sinais de + ou de - .

Atividades práticas

Utilizando o jogo

1. Em sua vez, o jogador deverá lançar um dado branco e um azul. O branco irá definir a coordenada X do passageiro e o azul a coordenada Y. Esses valores deverão ser registrados na folha;

 

2. Depois, deverá lanças os dados novamente, mas para definir as coordenadas do destino do passageiro;

 

3. O jogador deve então fazer os cálculos e registrar a pontuação que obteve na rodada.

Atividades práticas

Bônus

1. Caso um passageiro apareça em uma distância de até três unidades, o jogador poderá cancelar a corrida e fazer o processo de busca por passageiros novamente. Esta estratégia poderá ser utilizada apenas até duas vezes ao longo do jogo; 

Atividades práticas

Bônus

2. Quando algum dos possíveis trajetos até o passageiro passar por um local de bônus, a pontuação final de sua corrida (ida até o passageiro + ida até o destino) valerá o dobro de pontos;

 

3. Quando algum dos trajetos até o passageiro passar por um local de surpresa, o jogador deverá ir obrigatoriamente até lá. Ao chegar no local, deverá pegar uma carta e, depois, seguir para buscar o seu passageiro, a não ser que a carta o impeça.

Discussão

1. Quais as contribuições da Geometria do Táxi para o ensino de matemática?

 

2. De que forma você trabalharia com este tema em sala de aula?

Referências

GUERRA, R. B.; FERREIRA, R. S. R. Uma reflexão sobre o ensino atual da geometria. REMATEC, v. 19, n. 48, p. 1-16, fev. 2024. Disponível em: https://www.rematec.net.br/index.php/rematec/article/view/595. Acessado em: 22 mai. 2025.


LEIVAS, J. C. P. Educação geométrica: reflexões sobre o ensino e aprendizagem em geometria. Educação Matemática em Revista - RS, v. 1, n. 13, 31 jul. 2012. Disponível em: https://editora.ufpe.br/books/catalog/book/605. Acessado em: 21 abr. 2025.


REINHARDT, C. TaxiCab Geometry: History and Applications. The Mathematics Enthusiast, Missoula, Estados Unidos, v. 2, n. 1, p. 37-74, abr. 2005. Disponível em: https://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1018&context=tme. Acessado em: 20 abr. 2025.

 

VIANA, L. H. O Pensamento Computacional e as suas conexões com o ensino e a aprendizagem da Geometria. 2020. 238f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) — Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade Estadual da Paraíba. Campina Grand, 2020.

Agradecimentos

Lucas Henrique Viana

lucas.h.viana@outlook.com

 

Leandro Mário Lucas

leandrosl.pb@gmail.com

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