Logaritmo discreto
Mateo Sanabria Ardila
Introducción a la criptografía
Alice
BOB
Intercambio de claves
a = K_{prA} \in \{2, \cdots ,p-2\}
b = K_{prB} \in \{2, \cdots ,p-2\}
A \equiv \alpha^{a} \ mod \ p = K_{pubA}
B \equiv \alpha^{b} \ mod \ p = K_{pubB}
K_{AB} \equiv B^a \ mod \ p
K_{AB} \equiv A^b \ mod \ p
Por qué esto es Valido?
Algebra de colegio...
B^a = (\alpha ^ b) ^ a = \alpha^{ab} \ mod \ p
A^b = (\alpha ^ b) ^ a = \alpha^{ab} \ mod \ p
Grupos finitos
Un grupo es un conjunto de elementos y una operación (G,*) que satisface las siguientes propiedades:
-
La operación * es cerrada en G
-
La operación * es asociativa
-
Existe un elemento neutro
-
Para cada elemento en G existe su *-inverso
Un grupo (G,*) es abeliano si la operacion * es conmutativa
(\mathbb{Z}_9,*) \ es \ un \ grupo? \\
Donde \ a * b \equiv a * b \ mod \ 9
NO! el inverso multiplicativo modular solo existe para números que cumplan: gdc(a,9) = 1
\mathbb{Z}^{*}_{n} = \{ i \in \mathbb{Z} \ | \ gcd(i,n) = 1 \}
Z* forma un grupo abeliano bajo la multiplicación modulo n, la identidad de este grupo es e=1. Z* se llama el grupo multiplicativo modulo n.
Sea \ a \in \mathbb{Z}^{*}_{11} \ tal \ que \ a =3,4,5
Como son las potencias de a?
que pasa en el caso a = 2?
El orden ord(a) de un elemento a en un grupo (G,*) es el menor entero k tal que:
a^k =a * a * \cdots * a = 1
Un grupo (G,*) que contenga un elemento con máximo orden se llama un grupo cíclico. Los elementos de G con orden máximos son llamados: generadores.
a = 2 \ es \ un \ generador \ de \ \mathbb{Z}^{*}_{11}
p \in \mathbb{P} \rightarrow (\mathbb{Z}^{*}_{p}) es \ un \ GAC
Propiedades grupos ciclicos
a^{|G|} = 1
|G| \ \ | \cdot ord(a)
Para que todo esto?
Manos a la obra
Basado en lo que se ha visto, es posible encontrar x tal que se cumpla la siguiente ecuación, de ser así por que?
5^x \equiv 40 \ mod \ 47
Que tan difícil es?
Problema del logaritmo discreto
Dados \ p,\beta \in \mathbb{Z}^{*}_{p} \ y \ un \ generador \ \alpha
econtrar \ x \ tal \ que
\alpha^x \equiv \beta \ mod \ p