Ecuaciones de recurrencia no lineales
Mateo Sanabria Ardila
ISIS1105: Diseño y análisis de algoritmos
Las diapositivas servirán para mostrar definiciones, los ejercicios seran resueltos en el tablero!No linear recurrence
Son ecuaciones de recurrencia que no se pueden escribir siguiendo el patron general para un a ecuación lineal, por ejemplo:
\small
T(n) = 3T(\frac{n}{2}) + n^2 \\
T(n) = T(n-1) + T(\frac{n}{5}) + n^2 \\
No linear recurrence
Existen diferentes métodos para resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo, no hay una reglar general para escoger cual método usar.
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Recursion Tree
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Substitution Method
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Master method
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Domain change
Recursion tree
Es un método 'gráfico' que permite encontrar la solución de una ecuación basado en el árbol de ejecución de la ecuación.
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Dibujar el árbol -
Calcular el costo en cada nivel del arbol
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Sumar el costo de todos los niveles
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Generar la formula correspondiente
Recursion tree
T(n) = 2T(\frac{n}{3}) + n^2
T(n) = T(\frac{3n}{4}) + T(\frac{n}{4}) + n
substitution method
En este metodo se propone una cota 'apropiada' y se prueba dicha proposición usando inducción*
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Proponer cota de la solución
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Escribir la hipótesis inductiva para m<n
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Probar la cota usando inducción
T(n) = T(\frac{n}{2}) + 1
T(n) = T(\frac{n}{2}) + \sqrt{n}
Teorema Maestro
R(n) = aR(n/b) + f(n)
Si se tiene una ecuacion de recurrencia dada por la siguente formula
Entonces se cumple que:
f(n) = \Theta(n^{log_{b} a - \epsilon}) \rightarrow R(n) = \Theta(n^{log_{b}(a)})
f(n) = \Theta(n^{log_{b} a}) \rightarrow R(n) = \Theta(n^{log_{b}(a)} log \ n)