Lección 6: Análisis de la respuesta estacionaria y transitoria

BE3024 - Sistemas de Control 1 (Biomédica)

2do ciclo, 2024

¿Por qué?

s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)
s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\sigma
\omega

plano \(s\)

s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\sigma
\omega

plano \(s\)

dominio manipulación (frecuencia)

\(\ne\) dominio análisis (tiempo)

s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\sigma
\omega

plano \(s\)

Y(s)=G(s)U(s) \\ y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\sigma
\omega

plano \(s\)

Y(s)=G(s)U(s) \\ y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
y(t)
\ t
y(t)

respuesta transitoria

(corto plazo)

respuesta estacionaria

(largo plazo)

\ t
G(s)=\dfrac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}

ceros:     valores de \(s\) que hacen \(N(s)=0\)

polos:     valores de \(s\) que hacen \(D(s)=0\)

Polos y ceros

Polos y ceros

G(s)=\dfrac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}

ceros:     valores de \(s\) que hacen \(N(s)=0\)

polos:     valores de \(s\) que hacen \(D(s)=0\)

Los sistemas del mundo real son propios*

 

 

adicionalmente

\(\mathrm{grado}\left(D(s)\right)\) \(\equiv\) # polos del sistema

\(\equiv\) orden del sistema

\mathrm{grado}\left(D(s)\right) \ge \mathrm{grado}\left(N(s)\right)

Encuentre los polos y ceros del sistema

U(s)
Y(s)
\dfrac{s+5}{s^2+s-2}

Encuentre los polos y ceros del sistema

U(s)
Y(s)
\dfrac{s+5}{s^2+s-2}
G = tf([1, 5], [1, 1, -2])
polos = pole(G)
ceros = zero(G)
pzplot(G) % pole-zero plot
grid

¿Qué ocurre si \(u(t)=\mathbf{1}(t)\)?

U(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{1}(t)\right\}=\dfrac{1}{s}
Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{s+5}{s(s-1)(s+2)}
Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s-1}+\dfrac{C}{s+2}
G(s)=\dfrac{s+5}{(s-1)(s+2)}

¿Qué ocurre si \(u(t)=\mathbf{1}(t)\)?

U(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{1}(t)\right\}=\dfrac{1}{s}
Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{s+5}{s(s-1)(s+2)}
Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s-1}+\dfrac{C}{s+2}
G(s)=\dfrac{s+5}{(s-1)(s+2)}

¿Qué ocurre si \(u(t)=\mathbf{1}(t)\)?

y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
y(t)=A\mathbf{1}(t)+Be^{t}\mathbf{1}(t)+Ce^{-2t}\mathbf{1}(t)

entrada

sistema

y(t)=y_n(t)+y_f(t)

La respuesta de un sistema LTI tiene la forma:

respuesta natural

respuesta forzada

Los sistemas LTI presentan un número limitado de términos (modos) en la respuesta natural.

polo

\dfrac{\cdots}{\cdots(s-\sigma)\cdots}
\dfrac{\cdots}{\cdots(s+\jmath\omega)(s-\jmath\omega)\cdots}
\dfrac{\cdots}{\cdots(s-\sigma+\jmath\omega)(s-\sigma-\jmath\omega)\cdots}
e^{\sigma t}\mathbf{1}(t)
\cos(\omega t)\mathbf{1}(t) \\ \sin(\omega t)\mathbf{1}(t)
e^{\sigma t}\cos(\omega t)\mathbf{1}(t) \\ e^{\sigma t}\sin(\omega t)\mathbf{1}(t)
s=\sigma
s=\pm\jmath\omega
s=\sigma\pm\jmath\omega

tiempo

frecuencia

Respuesta estacionaria

Estabilidad

G(s)=\dfrac{(s-q_1)(s-q_2)\cdots(s-q_M)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_N)}

El sistema es:

\((i)\)   (asintóticamente) estable

Todos los polos se encuentran en el LHP.

\((ii)\)  inestable

Por lo menos un polo está en el RHP.

\((iii)\) marginalmente | críticamente estable

(Asintóticamente) estable pero con un polo real en el origen o un par de polos imaginarios conjugados.

Ejemplo

\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)

Estabilidad BIBO

G(s)
u(t)
t
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left|g(t)\right|dt < \infty
y(t)
t

Teorema del Valor Final

Si el sistema converge, ¿A qué converge?

\displaystyle y_{ss}=\lim_{t\to\infty} y(t) \equiv \lim_{s\to 0}sY(s)

Valor en estado estable o estacionario de \(y\)

Teorema del valor final

Si el sistema converge, ¿A qué converge?

\displaystyle y_{ss}=\lim_{t\to\infty} y(t) \equiv \lim_{s\to 0}sY(s)

El sistema debe ser asintóticamente estable.

Valor en estado estable o estacionario de \(y\)

¿Cuál es el valor en estado estable de la salida?

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s+2}
U(s)=\dfrac{1}{s}

¿Cuál es el valor en estado estable de la salida?

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s+2}
U(s)=\dfrac{1}{s}
G = tf(1, [1, 2])
step(G)
linearSystemAnalyzer(G)

Ejercicio 1

¿Cuál es la salida en estado estable cuando \(u(t)=\mathbf{1}(t)\)?

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{10}{s^2+s-30}

Respuesta transitoria

Sistemas de primer orden

G(s)=\dfrac{1}{s+\sigma}
g(t)=e^{-\sigma t}\mathbf{1}(t)
\mathbf{1}(t)
y(t)=\frac{1}{\sigma}\left(1-e^{-\sigma t}\right)\mathbf{1}(t)
G(s)

(asintóticamente) estable \(\Rightarrow\) único polo real en \(s=-\sigma\) con \(\sigma>0\)

y(t)
\ t
y_{ss}
\sigma_1
\sigma_3<\sigma_2<\sigma_1
\sigma_2
\sigma_3
y(t)
\ t
y_{ss}
\sigma_1
\sigma_3<\sigma_2<\sigma_1
\sigma_2
\sigma_3
\tau
\approx 63\%

constante de tiempo

\tau=\dfrac{1}{\sigma}
\Rightarrow y(\tau)=y_{ss}\left(1-e^{-\sigma(1/\sigma)}\right)
y(\tau)=\left(1-e^{-1}\right)y_{ss}\approx 0.63 y_{ss}

La constante de tiempo es el único parámetro de rendimiento para sistemas de primer orden.

Un parámetro de rendimiento representa a alguna característica (en el tiempo) de la respuesta del sistema pero en función de cantidades en \(\mathcal{L}\).

Sistemas de segundo orden

G(s)=\dfrac{b_0}{s^2+a_1s+a_2}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

forma estándar

se asume (asintóticamente) estable con polos en

s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0
\Rightarrow s=-\sigma\pm\jmath\omega_d
G(s)=\dfrac{b_0}{s^2+a_1s+a_2}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

forma estándar

\(\zeta\equiv\) factor o coeficiente de amortiguamiento

\(\to\) sub-amortiguado: \(\quad 0<\zeta<1\)

\(\to\) críticamente amortiguado: \(\quad \zeta=1\)

\(\to\) sobre-amortiguado: \(\quad \zeta>1\)

G(s)=\dfrac{b_0}{s^2+a_1s+a_2}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

forma estándar

\(\omega_n\equiv\) frecuencia natural o frecuencia sin amortiguamiento

\(\sigma=\zeta\omega_n\)

\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\equiv\) frecuencia amortiguada

\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\sigma
\omega_d
-\omega_d
\omega_n
\theta
\theta=\sin^{-1}(\zeta)
\mathbf{1}(t)
y(t)=\left( 1-\dfrac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\sigma t}\sin(\omega_d t) \right)\mathbf{1}(t)
G(s)
y(t)
y(t)
\ t
y_{ss}
y(t)
\ t
y_{ss}
10\%
90\%
t_r

tiempo de subida

y(t)
\ t
y_{ss}
t_p
M_p

tiempo pico

% de overshoot o

sobreoscilación / sobreelevación

y(t)
\ t
y_{ss}
-\epsilon
+\epsilon

\(\epsilon\sim\) 5%, 2%, 1%

t_s

tiempo de asentamiento o establecimiento

y(t)
\ t
y_{ss}
-\epsilon
+\epsilon
10\%
90\%
t_s
t_r
t_p
M_p

\(t_r, t_s\) y \(M_p\) como parámetros de rendimiento para sistemas de segundo orden

t_r \approx \dfrac{1.8}{\omega_n}
t_p = \dfrac{\pi}{\omega_d}
M_p=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \times 100\%
M_p=f(\zeta)
t_s = \dfrac{4.6}{\sigma}, \quad \epsilon=1\%
t_s = \dfrac{3.9}{\sigma}, \quad \epsilon=2\%
t_s = \dfrac{3.0}{\sigma}, \quad \epsilon=5\%
S = stepinfo(sys)
S = stepinfo(y, t, yfinal)
M_p=f(\zeta)

¿Cuál es la función de transferencia de un sistema que presente un \(t_r\approx0.5 \text{ s}\) y un \(M_p\approx10\%\)?

wn = 3.6;
zeta = 0.6;
G = tf(wn^2, [1, 2*zeta*wn, wn^2])

¿Cuál es la función de transferencia de un sistema que presente un \(t_r\approx0.5 \text{ s}\) y un \(M_p\approx10\%\)?

¿Qué pasa cuando los sistemas tienen ceros o son de orden superior?

  1. \(+1\) polo en el LHP incrementa el \(t_r\) si se encuentra dentro de un factor de \(\approx 4\) de la parte real de los polos dominantes.
  2. \(+1\) cero en el LHP incrementa el \(M_p\) si se encuentra dentro de un factor de \(\approx 4\) de la parte real de los polos dominantes.
  3. \(+1\) cero en el RHP disminuye el \(M_p\) pero puede causar que la respuesta inicie en la dirección incorrecta \(\Rightarrow\) delay.

>> clase6_aproximaciones2dorden.m

\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Im}(s)

\(\approx\) sistema de 1er orden

\real(p_i)\le 4 \real(p_\textrm{dom})

lejos de \(\jmath\omega\)

polos insignificantes

cerca de \(\jmath\omega\)

polos dominantes

\(\approx\) sistema de 2do orden

y(t)
\ t
y_{ss}

delay