IE3041 - Lecture 8 (2025)

la retroalimentación de estado probó ser una técnica poderosa, inclusive superando la perspectiva clásica de control

sin embargo, dejamos a un lado un detalle...

la retroalimentación de estado probó ser una técnica poderosa, inclusive superando la perspectiva clásica de control

sin embargo, dejamos a un lado un detalle...

¿Cómo obtenemos el estado del sistema si sólo tenemos acceso a las salidas | mediciones?

la retroalimentación de estado probó ser una técnica poderosa, inclusive superando la perspectiva clásica de control

sin embargo, dejamos a un lado un detalle...

¿Cómo obtenemos el estado del sistema si sólo tenemos acceso a las salidas | mediciones?

mediante observadores de estado

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

Observadores para sistemas LTI

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

???

???

observador de estado

Observadores para sistemas LTI

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

\mathbf{K}

\mathbf{K}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

controlador lineal

state

feedback

???

???

observador de estado

Observadores para sistemas LTI

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

\mathbf{K}

\mathbf{K}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

(-1)

(-1)

controlador lineal

state

feedback

retroalimentación negativa

???

???

observador de estado

Observadores para sistemas LTI

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

\mathbf{K}

\mathbf{K}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

(-1)

(-1)

controlador lineal

~~state~~

feedback

retroalimentación negativa

???

???

observador de estado

(valor) estimado del estado

Observadores para sistemas LTI

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

\mathbf{K}

\mathbf{K}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

(-1)

(-1)

controlador lineal

~~state~~

feedback

retroalimentación negativa

???

???

observador de estado

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

¿Qué es?

¿Cuándo funciona?

(valor) estimado del estado

Observadores para sistemas LTI

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

???

???

¿Qué es un observador?

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

es un estimador

???

???

¿Qué es un observador?

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

es un estimador

???

???

sistema que genera estimados | estimaciones

\triangleq

\triangleq

¿Qué es un observador?

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

es un estimador

???

???

sistema que genera estimados | estimaciones

$\Rightarrow$ tiene dinámica

\triangleq

\triangleq

¿Qué es un observador?

(según Luenberger)

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

es un estimador

???

???

sistema que genera estimados | estimaciones

$\Rightarrow$ tiene dinámica

\triangleq

\triangleq

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

¿Qué es un observador?

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

Observadores de Luenberger

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

predicción

emplea lo que se conoce del sistema

Observadores de Luenberger

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

predicción

emplea lo que se conoce del sistema

corrección

emplea las mediciones para corregir la predicción

Observadores de Luenberger

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

predicción

emplea lo que se conoce del sistema

corrección

emplea las mediciones para corregir la predicción

Observadores de Luenberger

mediciones

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

predicción

emplea lo que se conoce del sistema

corrección

emplea las mediciones para corregir la predicción

Observadores de Luenberger

salida según el modelo LTI

=\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}

=\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)

predicción

emplea lo que se conoce del sistema

corrección

emplea las mediciones para corregir la predicción

Observadores de Luenberger

matriz de ganancias

\in\mathbb{R}^{n \times p}

\in\mathbb{R}^{n \times p}

cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones

¿Cuándo funciona el observador?

cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones

$\Rightarrow$ observabilidad

¿Cuándo funciona el observador?

cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones

$\Rightarrow$ observabilidad

veremos que, en general

¿Cuándo funciona el observador?

cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones

$\Rightarrow$ observabilidad

veremos que, en general

controlabilidad $\sim$ observabilidad

control $\sim$ observación

¿Cuándo funciona el observador?

cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones

$\Rightarrow$ observabilidad

veremos que, en general

controlabilidad $\sim$ observabilidad

controlador $\sim$ observador

control $\sim$ observación

¿Cuándo funciona el observador?

Teorema:

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \end{cases}

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \end{cases}

es completamente observable (C.O.) ssi

\mathrm{rank}\left(\mathbf{\Omega}\right)=n

\mathrm{rank}\left(\mathbf{\Omega}\right)=n

\mathbf{\Omega}=\begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix}

\mathbf{\Omega}=\begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix}

matriz de observabilidad del sistema

Observabilidad

Teorema:

Observabilidad

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \end{cases}

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \end{cases}

es completamente observable (C.O.) ssi

\mathrm{rank}\left(\mathbf{\Omega}\right)=n

\mathrm{rank}\left(\mathbf{\Omega}\right)=n

\mathbf{\Omega}=\begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix}

\mathbf{\Omega}=\begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix}

matriz de observabilidad del sistema

 Omega = obsv(A, C)
rank(Omega)

ya que sabemos cómo estabilizar, codifiquemos el problema de observación como uno de estabilización

idea:

error de estimación (a estabilizar)

\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}

\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}

error de estimación (a estabilizar)

\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}

\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}

si el observador funciona entonces $\mathbf{e}\to\mathbf{0}$ cuando $t\to\infty$

error de estimación (a estabilizar)

\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}

\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}

si el observador funciona entonces $\mathbf{e}\to\mathbf{0}$ cuando $t\to\infty$

para estabilizar el error necesitamos su dinámica:

error de estimación (a estabilizar)

\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}

\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}

si el observador funciona entonces $\mathbf{e}\to\mathbf{0}$ cuando $t\to\infty$

para estabilizar el error necesitamos su dinámica:

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

para estabilizar el error necesitamos su dinámica:

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right) =\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}

=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right) =\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}

para estabilizar el error necesitamos su dinámica:

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right) =\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}

=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right) =\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}

para estabilizar el error necesitamos su dinámica:

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}

=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right) =\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}

=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right) =\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}

para estabilizar el error necesitamos su dinámica:

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}

=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}

\mathbf{A}_{c\ell}

\mathbf{A}_{c\ell}

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}

=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right) =\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}

=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right) =\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}

para estabilizar el error necesitamos su dinámica:

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)

=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}

=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}

\Rightarrow \dot{\mathbf{e}}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

\Rightarrow \dot{\mathbf{e}}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

\mathbf{A}_{c\ell}

\mathbf{A}_{c\ell}

¿Qué debe cumplirse para que el sistema sea G.A.S.?

los eigenvalores/polos de $\mathbf{A}_{c\ell}$ estén todos en el lado izquierdo del plano complejo

$\mathbf{A}_{c\ell}$ sea Hurwitz o matriz de estabilidad

\equiv

\equiv

¿Qué debe cumplirse para que el sistema sea G.A.S.?

los eigenvalores/polos de $\mathbf{A}_{c\ell}$ estén todos en el lado izquierdo del plano complejo

$\mathbf{A}_{c\ell}$ sea Hurwitz o matriz de estabilidad

\equiv

\equiv

en esencia es el mismo problema que teníamos para el caso de control (!!)

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

si $\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)$ es un par C.O. y $\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)$ , entonces

Observación de sistemas LTI

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

si $\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)$ es un par C.O. y $\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)$ , entonces

¿Cómo seleccionar?

para que sea Hurwitz

Observación de sistemas LTI

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

si $\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)$ es un par C.O. y $\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)$ , entonces

¿Cómo seleccionar?

para que sea Hurwitz

 L = place(A', C', p)'

 L = lqr(A', C', B*B', eye(p))'

Observación de sistemas LTI

Pole placement

Regulador Lineal Cuadrático

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

si $\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)$ es un par C.O. y $\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)$ , entonces

¿Cómo seleccionar?

para que sea Hurwitz

 L = place(A', C', p)'

 L = lqr(A', C', B*B', eye(p))'

Observación de sistemas LTI

Pole placement

~~Regulador Lineal Cuadrático~~

¿Qué corresponde a la entrada? ¿Qué se penaliza?

Resulta que esto es más parecido a un filtro de Kalman (en estado estacionario) que propiamente un LQR

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}

si $\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)$ es un par C.O. y $\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)$ , entonces

¿Cómo seleccionar?

para que sea Hurwitz

 L = place(A', C', p)'

 L = lqr(A', C', B*B', eye(p))'

Observación de sistemas LTI

Pole placement

~~Regulador Lineal Cuadrático~~

¿Qué corresponde a la entrada? ¿Qué se penaliza?

Resulta que esto es más parecido a un filtro de Kalman (en estado estacionario) que propiamente un LQR

...más adelante

Diseñe un observador de Luenberger usando pole-placement, con $p_{1,2}=-3\pm\jmath$ , para el sistema:

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\ y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\ y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

Ejemplo

Diseñe un observador de Luenberger usando pole-placement, con $p_{1,2}=-3\pm\jmath$ , para el sistema:

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\ y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\ y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

Ejemplo

\Rightarrow \mathbf{L}=\begin{bmatrix} \ell_1 \\ \ell_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11/7 \\ 41/21 \end{bmatrix}

\Rightarrow \mathbf{L}=\begin{bmatrix} \ell_1 \\ \ell_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11/7 \\ 41/21 \end{bmatrix}

Ejemplo

Diseñe un observador de Luenberger usando pole-placement, con $p_{1,2}=-3\pm\jmath$ , para el sistema:

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\ y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\ y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}

\Rightarrow \mathbf{L}=\begin{bmatrix} \ell_1 \\ \ell_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11/7 \\ 41/21 \end{bmatrix}

\Rightarrow \mathbf{L}=\begin{bmatrix} \ell_1 \\ \ell_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11/7 \\ 41/21 \end{bmatrix}

ya con la matriz de ganancias, ¿Cómo implementamos el observador?

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

Implementando el observador

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

Implementando el observador

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

Implementando el observador

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

Implementando el observador

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

\mathbf{K}

\mathbf{K}

(-1)

(-1)

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

-\mathbf{K}\hat{\mathbf{x}}

-\mathbf{K}\hat{\mathbf{x}}

Implementando el observador

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\mathbf{x}}

\dot{\mathbf{x}}

\mathbf{x}

\mathbf{x}

\mathbf{K}

\mathbf{K}

(-1)

(-1)

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

-\mathbf{K}\hat{\mathbf{x}}

-\mathbf{K}\hat{\mathbf{x}}

software

Implementando el observador

\mathbf{B}

\mathbf{B}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{\int}

\boldsymbol{\int}

\mathbf{C}

\mathbf{C}

\mathbf{A}

\mathbf{A}

\mathbf{u}

\mathbf{u}

\mathbf{y}

\mathbf{y}

\dot{\hat{\mathbf{x}}}

\dot{\hat{\mathbf{x}}}

\hat{\mathbf{x}}

\hat{\mathbf{x}}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}

\mathbf{L}

\mathbf{L}

\boldsymbol{-}

\boldsymbol{-}

\boldsymbol{+}

\boldsymbol{+}

\hat{\mathbf{y}}

\hat{\mathbf{y}}

1. Dualidad entre los problemas de control y observación:

Algunos detalles adicionales

1. Dualidad entre los problemas de control y observación:

observamos que se emplearon las mismas herramientas para resolver ambos problemas

control:

observación:

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}

Algunos detalles adicionales

1. Dualidad entre los problemas de control y observación:

observamos que se emplearon las mismas herramientas para resolver ambos problemas

control:

observación:

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}

duales equivalentes

Algunos detalles adicionales

1. Dualidad entre los problemas de control y observación:

observamos que se emplearon las mismas herramientas para resolver ambos problemas

control:

observación:

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}

\to \mathbf{A}_{c\ell}^\top=\mathbf{A}^\top-\mathbf{C}^\top\mathbf{L}^\top

\to \mathbf{A}_{c\ell}^\top=\mathbf{A}^\top-\mathbf{C}^\top\mathbf{L}^\top

\sigma\left(\mathbf{A}_{c\ell}\right)=\sigma\left(\mathbf{A}_{c\ell}^\top\right)

\sigma\left(\mathbf{A}_{c\ell}\right)=\sigma\left(\mathbf{A}_{c\ell}^\top\right)

duales equivalentes

Algunos detalles adicionales

1. Dualidad entre los problemas de control y observación:

observamos que se emplearon las mismas herramientas para resolver ambos problemas

control:

observación:

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}

\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}

duales equivalentes

Algunos detalles adicionales

 obsv(A, C)
== ctrb(A', C')'

2. Diseño independiente de controlador y observador:

Algunos detalles adicionales

2. Diseño independiente de controlador y observador:

el principio de separación nos garantiza (para sistemas LTI) que las matrices $\mathbf{K}$ y $\mathbf{L}$ no se afectan entre sí

\begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}

Algunos detalles adicionales

2. Diseño independiente de controlador y observador:

el principio de separación nos garantiza (para sistemas LTI) que las matrices $\mathbf{K}$ y $\mathbf{L}$ no se afectan entre sí

\begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}

dinámica completa:

estabilización + observación

Algunos detalles adicionales

2. Diseño independiente de controlador y observador:

el principio de separación nos garantiza (para sistemas LTI) que las matrices $\mathbf{K}$ y $\mathbf{L}$ no se afectan entre sí

\begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}

dinámica completa:

estabilización + observación

Algunos detalles adicionales

3. Primero observación y luego estabilización:

Algunos detalles adicionales

3. Primero observación y luego estabilización:

no se recomienda hacer control hasta que se tenga un buen estimado del estado, por lo que el observador debe ser más agresivo que el control

Algunos detalles adicionales

3. Primero observación y luego estabilización:

no hay problema con que el observador sea agresivo ya que es software, sólo debe evitarse emplear (puede "apagarse" el control al inicio) los primeros estimados porque pueden ser muy grandes

Algunos detalles adicionales

3. Primero observación y luego estabilización:

no hay problema con que el observador sea agresivo ya que es software, sólo debe evitarse emplear (puede "apagarse" el control al inicio) los primeros estimados porque pueden ser muy grandes

Algunos detalles adicionales

>> ie3041_clase8_luenberger.m

4. Observación en sistemas no lineales:

Algunos detalles adicionales

4. Observación en sistemas no lineales:

Algunos detalles adicionales

para sistemas no lineales se suele emplear extensiones del filtro de Kalman

4. Observación en sistemas no lineales:

Algunos detalles adicionales

para sistemas no lineales se suele emplear extensiones del filtro de Kalman

por lo tanto primero debemos hablar del filtro de Kalman antes de llegar a esto

4. Observación en sistemas no lineales:

Algunos detalles adicionales

para sistemas no lineales se suele emplear extensiones del filtro de Kalman

por lo tanto primero debemos hablar del filtro de Kalman antes de llegar a esto

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