Sinusfunktionens derivata
En härledning
\(\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\frac{\sin(x) \cos(h) + \sin(h) \cos(x) - \sin(x)}{h}=\)
Låt \(y=\sin(x)\) och bilda differenskvoten
\(=\frac{\sin(x)\cos(h)-\sin(x)}{h}+\frac{\cos(x)\sin(h)}{h}=\)
\(=\sin(x)\cdot \frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\)
\(\lim\limits_{h\to 0}\left(\sin(x)\cdot \frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\right)\)
\(=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x)\)
\(y=\sin(x)\Rightarrow y'=\cos(x)\)
\(y=\cos(x)\Rightarrow y'=-\sin(x)\)
0.1
0.01
0.001
0.0001
\(\frac{\cos (h)-1}{h}\)
-0.04996
-0.00500
-0.00050
-0.00005
\(h\)
\(\frac{\sin (h)}{h}\)
0.9983342
0.9999833
0.9999998
1.0000000
För att dessa trevliga regler ska gälla måste vinkeln \(x\) vara angiven i radianer. Se detaljer på nästa slide...
Derivatan av sinusfunktionen - det viktiga
Motivering till det gränsvärdet då vinkeln ges i radianer
\(\bigtriangleup ABD=\frac{1\cdot \tan(x)}{2}\)
⌔\(ABC= \frac{x\cdot 1^2}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\bigtriangleup ABC=\frac{1\cdot \sin(x)}{2}\)
\(\frac{1}{2}\tan (x)\geq\frac{1}{2}x\geq\frac{1}{2}\sin(x)\)
\(\cos(x)\leq\frac{\sin(x)}{x}\leq 1\)
\(\Rightarrow\)
Dividera med \(\frac{1}{2}\sin(x)\) och invertera
\(\cos(x)\leq\frac{\sin(x)}{x}\leq 1\)
Då \(x\to 0\):
\(=1\)
\(=1\)
Detta uttryck för arean
gäller för \(x\) i radianer!
Måste bli 1, ty "instängd" mellan den övre och undre begränsningen som är 1.
\(1\)
Gränsvärdet \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\)
då vinkeln anges i radianer
Hur blir det då vinkeln anges i grader?
\(\bigtriangleup ABD=\frac{1\cdot \tan(x)}{2}\)
⌔\(ABC= \pi\cdot 1^2\cdot\frac{x}{360}=\frac{\pi\cdot x}{360}\)
\(\bigtriangleup ABC=\frac{1\cdot \sin(x)}{2}\)
\(\frac{1}{2}\tan (x)\geq\frac{\pi x}{360}\geq\frac{1}{2}\sin(x)\)
\(\cos(x)\leq\frac{180}{\pi}\cdot\frac{\sin(x)}{x}\leq 1\)
\(\Rightarrow\)
Dividera med \(\frac{1}{2}\sin(x)\) och invertera
\(\cos(x)\leq\frac{180}{\pi}\cdot\frac{\sin(x)}{x}\leq 1\)
Då \(x\to 0\):
\(=1\)
\(=1\)
Detta uttryck för arean
gäller för \(x\) i grader!
Måste bli 1, ty "instängd" mellan den övre och undre begränsningen som är 1.
\(1\)
Gränsvärdet \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\)
då vinkeln anges i grader
\(\frac{180}{\pi}\cdot\frac{\sin (x)}{x}=1\Leftrightarrow\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\pi}{180}\)
\(f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\sin(x)\cdot \frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\right)\)
\(=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x)\)
\(=0\)
\(=1\)
Då \(f(x)=\sin(x)\) och \(x\) anges i radianer gäller
Då \(f(x)=\sin(x)\) och \(x\) anges i grader gäller
\(f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\sin(x)\cdot \frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\right)\)
\(=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot \frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{180}\cos(x)\)
\(=0\)
\(=\frac{\pi}{180}\)
0.1
0.01
0.001
0.0001
\(\frac{\cos (h)-1}{h}\), rad.
-0.04996
-0.00500
-0.00050
-0.00005
\(h\)
\(\frac{\sin (h)}{h}\), rad.
0.9983342
0.9999833
0.9999998
1.0000000
\(\frac{\cos (h)-1}{h}\), grad.
\(\frac{\sin (h)}{h}\), grad.
-0.00002
-0.00000
-0.00000
-0.00000
0.0174533
0.0174533
0.0174533
0.0174533
\(\to \frac{\pi}{180}\)
\(\to 1\)
\(\to 0\)
\(\to 0\)
Sammanfattning
Använd radianer vid derivering av trigonometriska funktioner! Det är ovanligt att använda grader i dessa sammanhang.
Denna regel behöver i allmänhet inte användas.
\(y=\sin(x)\Rightarrow y'=\cos(x)\)
\(y=\cos(x)\Rightarrow y'=-\sin(x)\)
För att dessa trevliga regler ska gälla måste vinkeln \(x\) vara angiven i radianer.
Först som sist - det viktiga
Derivatan av sin x
By Nikodemus Karlsson
Derivatan av sin x
Härleding av sinusfunktionens derivata för vinklar angivna i såväl radianer som grader
