Sinusfunktionens derivata

En härledning

\(\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\frac{\sin(x) \cos(h) + \sin(h) \cos(x) - \sin(x)}{h}=\)

Låt \(y=\sin(x)\) och bilda differenskvoten

\(=\frac{\sin(x)\cos(h)-\sin(x)}{h}+\frac{\cos(x)\sin(h)}{h}=\)

\(=\sin(x)\cdot \frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\)

\(\lim\limits_{h\to 0}\left(\sin(x)\cdot \frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\right)\)

\(=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x)\)

\(y=\sin(x)\Rightarrow y'=\cos(x)\)

\(y=\cos(x)\Rightarrow y'=-\sin(x)\)

0.1

0.01

0.001

0.0001

\(\frac{\cos (h)-1}{h}\)

-0.04996

-0.00500

-0.00050

-0.00005

\(h\)

\(\frac{\sin (h)}{h}\)

0.9983342

0.9999833

0.9999998

1.0000000

För att dessa trevliga regler ska gälla måste vinkeln \(x\) vara angiven i radianer. Se detaljer på nästa slide...

Derivatan av sinusfunktionen - det viktiga

Motivering till det gränsvärdet då vinkeln ges i radianer

\(\bigtriangleup ABD=\frac{1\cdot \tan(x)}{2}\)

\(ABC= \frac{x\cdot 1^2}{2}=\frac{x}{2}\)

\(\bigtriangleup ABC=\frac{1\cdot \sin(x)}{2}\)

\(\frac{1}{2}\tan (x)\geq\frac{1}{2}x\geq\frac{1}{2}\sin(x)\)

\(\cos(x)\leq\frac{\sin(x)}{x}\leq 1\)

\(\Rightarrow\)

Dividera med \(\frac{1}{2}\sin(x)\) och invertera

\(\cos(x)\leq\frac{\sin(x)}{x}\leq 1\)

Då \(x\to 0\):

\(=1\)

\(=1\)

Detta uttryck för arean
gäller för \(x\) i radianer!

Måste bli 1, ty "instängd" mellan den övre och undre begränsningen som är 1.

\(1\)

Gränsvärdet \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\)

då vinkeln anges i radianer

Hur blir det då vinkeln anges i grader?

\(\bigtriangleup ABD=\frac{1\cdot \tan(x)}{2}\)

\(ABC= \pi\cdot 1^2\cdot\frac{x}{360}=\frac{\pi\cdot x}{360}\)

\(\bigtriangleup ABC=\frac{1\cdot \sin(x)}{2}\)

\(\frac{1}{2}\tan (x)\geq\frac{\pi x}{360}\geq\frac{1}{2}\sin(x)\)

\(\cos(x)\leq\frac{180}{\pi}\cdot\frac{\sin(x)}{x}\leq 1\)

\(\Rightarrow\)

Dividera med \(\frac{1}{2}\sin(x)\) och invertera

\(\cos(x)\leq\frac{180}{\pi}\cdot\frac{\sin(x)}{x}\leq 1\)

Då \(x\to 0\):

\(=1\)

\(=1\)

Detta uttryck för arean
gäller för \(x\) i grader!

Måste bli 1, ty "instängd" mellan den övre och undre begränsningen som är 1.

\(1\)

Gränsvärdet \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\)

då vinkeln anges i grader

\(\frac{180}{\pi}\cdot\frac{\sin (x)}{x}=1\Leftrightarrow\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\pi}{180}\)

\(f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\sin(x)\cdot \frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\right)\)

\(=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x)\)

\(=0\)

\(=1\)

Då \(f(x)=\sin(x)\) och \(x\) anges i radianer gäller

Då \(f(x)=\sin(x)\) och \(x\) anges i grader gäller

\(f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\sin(x)\cdot \frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\right)\)

\(=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot \frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{180}\cos(x)\)

\(=0\)

\(=\frac{\pi}{180}\)

0.1

0.01

0.001

0.0001

\(\frac{\cos (h)-1}{h}\), rad.

-0.04996

-0.00500

-0.00050

-0.00005

\(h\)

\(\frac{\sin (h)}{h}\), rad.

0.9983342

0.9999833

0.9999998

1.0000000

\(\frac{\cos (h)-1}{h}\), grad.

\(\frac{\sin (h)}{h}\), grad.

-0.00002

-0.00000

-0.00000

-0.00000

0.0174533

0.0174533

0.0174533

0.0174533

\(\to \frac{\pi}{180}\)

\(\to 1\)

\(\to 0\)

\(\to 0\)

Sammanfattning

Använd radianer vid derivering av trigonometriska funktioner! Det är ovanligt att använda grader i dessa sammanhang.

Denna regel behöver i allmänhet inte användas.

\(y=\sin(x)\Rightarrow y'=\cos(x)\)

\(y=\cos(x)\Rightarrow y'=-\sin(x)\)

För att dessa trevliga regler ska gälla måste vinkeln \(x\) vara angiven i radianer.

Först som sist - det viktiga

Derivatan av sin x

By Nikodemus Karlsson

Derivatan av sin x

Härleding av sinusfunktionens derivata för vinklar angivna i såväl radianer som grader

  • 22
Loading comments...

More from Nikodemus Karlsson