Differentialekvationer
Samband mellan en funktion och dess derivator
Exempel
Ett föremål ändrar sin hastighet (\(v\)) lika mycket varje tidsenhet i fritt fall
Ökningen per tidsenhet av antalet individer (\(N\)) i en population är proportionell mot populationens storlek
Minskningen av temp-eraturen (\(T\)) av kaffe per tidsenhet är proportionell mot temperatur-skillnaden mot omgivingen
Uttryckt i ord
Differentialekvation
Differentialekvationens lösning
\(\frac{dv}{dt}=-9.82\)
\(\frac{dN}{dt}=kN\)
\(\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0)\)
\(v(t)=v_0-9.82t\)
\(v_0=0\) (t ex)
\(N(t)=Ce^{kt}\)
\(N(0)=C=10\) (t ex)
\(T(t)=T_0+Ce^{-kt}\)
Kaffets temp. från början var 90 °C och rumstemp. är 20 °C \(\Rightarrow T_0=20\) och \(C=70\).
\(\frac{dv}{dt}=-9.82\)
\(\frac{dN}{dt}=kN\)
\(\frac{dN}{dt}=kN\)
\(\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0)\)
Endast ett begynnelse-villkor visat!
\(T_0\)
Kategorisering av differentialekvationer
Exempel
Första ordningens homogena differentialekvationer
\frac{dN}{dt}=kN
\frac{dN}{dt}-kN=0
Enbart förstaderivata
Består enbart av konstant multipel av \(N\) och dess derivator
Första ordningens inhomogena differentialekvationer
\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0)
\frac{dT}{dt}+kT=kT_0
Enbart förstaderivata
Finns nollskild term som inte är konstant multipel av \(T\)
Andra ordningens homogena differentialekvationer
\frac{d^2y}{dt^2}+ky=0
Innehåller andraderivata
Kan innehålla förstaderivata
Homogen enl. tidigare exempel
F=-kx
v=\frac{dx}{dt}
a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}
F=-kx=ma=m\cdot\frac{d^2x}{dt^2}\Leftrightarrow
m\cdot\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0
Exempel
\(m\cdot\frac{d^2x}{dt^2}=-kx\)
\(m\cdot\frac{d^2x}{dt^2}=-kx\)
Differentialekvationer
By Nikodemus Karlsson
Differentialekvationer
En översikt vad en differentialekvation är samt vad en lösning innebär. Ma5.
