Differentialekvationer

Samband mellan en funktion och dess derivator

Exempel

Ett föremål ändrar sin hastighet (\(v\)) lika mycket varje tidsenhet i fritt fall

Ökningen per tidsenhet av antalet individer (\(N\)) i en population är proportionell mot populationens storlek

Minskningen av temp-eraturen (\(T\)) av kaffe per tidsenhet är proportionell mot temperatur-skillnaden mot omgivingen

Uttryckt i ord

Differentialekvation

Differentialekvationens lösning

\(\frac{dv}{dt}=-9.82\)

\(\frac{dN}{dt}=kN\)

\(\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0)\)

\(v(t)=v_0-9.82t\)

\(v_0=0\) (t ex)

\(N(t)=Ce^{kt}\)

\(N(0)=C=10\) (t ex)

\(T(t)=T_0+Ce^{-kt}\)

Kaffets temp. från början var 90 °C och rumstemp. är 20 °C \(\Rightarrow T_0=20\) och \(C=70\).

\(\frac{dv}{dt}=-9.82\)

\(\frac{dN}{dt}=kN\)

\(\frac{dN}{dt}=kN\)

\(\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0)\)

Endast ett begynnelse-villkor visat!

\(T_0\)

Kategorisering av differentialekvationer

Exempel

Första ordningens homogena differentialekvationer

\frac{dN}{dt}=kN
\frac{dN}{dt}-kN=0

Enbart förstaderivata

Består enbart av konstant multipel av \(N\) och dess derivator

Första ordningens inhomogena differentialekvationer

\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0)
\frac{dT}{dt}+kT=kT_0

Enbart förstaderivata

Finns nollskild term som inte är konstant multipel av \(T\)

Andra ordningens homogena differentialekvationer

\frac{d^2y}{dt^2}+ky=0

Innehåller andraderivata

Kan innehålla förstaderivata

Homogen enl. tidigare exempel

F=-kx
v=\frac{dx}{dt}
a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}
F=-kx=ma=m\cdot\frac{d^2x}{dt^2}\Leftrightarrow
m\cdot\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0

Exempel

\(m\cdot\frac{d^2x}{dt^2}=-kx\)

\(m\cdot\frac{d^2x}{dt^2}=-kx\)

Differentialekvationer

By Nikodemus Karlsson

Differentialekvationer

En översikt vad en differentialekvation är samt vad en lösning innebär. Ma5.

  • 492
Loading comments...

More from Nikodemus Karlsson