Muuttuva ympyräliike

Kappaleella on normaalikiihtyvyyden lisäksi tangenttikiihtyvyyttä.

Muuttuvassa ympyräliikkeessä kappaleen ratanopeus muuttuu.

Tangenttikiihtyvyys on ympyräradan tangentin suuntainen.

\color{Goldenrod}{a_t}=\dfrac{\Delta \color{CornflowerBlue}{v}}{\Delta t}

\color{Goldenrod}{a_t}=\dfrac{\Delta \color{CornflowerBlue}{v}}{\Delta t}

Tangenttikiihtyvyys

Muuttuva ympyräliike

Kiihtyvyyden suuruus saadaan laskettua pythagoraan lauseen avulla

\color{Goldenrod}{a_{kok}}=\sqrt{\color{Goldenrod}{a_n}^2+\color{Goldenrod}{a_t}^2}

a ​ k o k ​ ​ = \sqrt ​ a ​ n ​ ​ ​ 2 ​ ​ + a ​ t ​ ​ ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​

Kiihtyvyyden suunta saadaan laskettua tangentin avulla

\tan \color{Salmon}\alpha = \dfrac{\color{Goldenrod}{a_t}}{\color{Goldenrod}{a_n}}

tan α = \frac{​ a ​ t ​ ​ ​ ​}{​ a ​ n ​ ​ ​}

Muuttuva ympyräliike

Tangentin ja normaalin suuntaiset voimat aiheuttavat

Kokonaisvoima saadaan laskettua tangentin ja normaalin suuntaisen voiman vektorisummana.

tangentti- ja normaalikiihtyvyydet.

\overline{F}_{kok}=\overline{F}_n+\overline{F}_t

​ F ​ ​ ​ ​ k o k ​ ​ = ​ F ​ ​ ​ ​ n ​ ​ + ​ F ​ ​ ​ ​ t ​ ​

Kokonaisvoiman suuruus saadaan laskettua pythagoraan lauseen avulla.

F_{kok}=\sqrt{F_n^2+F_t^2}

F ​ k o k ​ ​ = \sqrt ​ F ​ n ​ 2 ​ ​ + F ​ t ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​

Esimerkki

Kuinka suurella nopeudella leikkiauton pitää saapua surmansilmukkaan, jonka säde on 20 cm, jotta se selviää silmukasta?

Ratkaisu

Piirretään kuva tilanteesta.

Kirjataan lähtöarvot

r=0,20 \text{ m}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2

r = 0, 20 m, g = 9, 81 m / s ​ 2 ​ ​

Tarkastellaan leikkiauton liikettä ylimmässä kohdassa tasaisena ympyräliikkeenä.

Tilanteessa, jossa auto juuri ja juuri selviää surmansilmukasta

\color{Salmon}N\approx 0 \text{ N}

N \approx 0 N

Newtonin 2. laki

\color{Salmon}{\overline{G}}+\color{Salmon}{\overline{N}}=m\color{Orange}{\overline{a}_n}

​ G ​ ​ ​ + ​ N ​ ​ ​ = m ​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

\color{Salmon}{\overline{G}}=m\color{Orange}{\overline{a}_n}

​ G ​ ​ ​ = m ​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

mg=m\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v_1}^2}{r}

m g = m \frac{​ v ​ 1 ​ ​ ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

gr=\color{CornflowerBlue}{v_1}^2

g r = v ​ 1 ​ ​ ​ 2 ​ ​

\color{CornflowerBlue}{v_1}=\sqrt{gr}

v ​ 1 ​ ​ = \sqrt ​ g r ​ ​ ​

\sum \overline{F}=m\overline{a}

\sum ​ F ​ ​ ​ = m ​ a ​ ​ ​

Oletetaan, että mekaaninen energia säilyy.

E_{aluksi}=E_{lopuksi}

E ​ a l u k s i ​ ​ = E ​ l o p u k s i ​ ​

Auton liike-energia muuttuu auton liike- ja

\dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{1}{2}mv_1^2+mgh

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v ​ 0 ​ 2 ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v ​ 1 ​ 2 ​ ​ + m g h

potentiaalienergiaksi.

v_0^2=v_1^2+2gh

v ​ 0 ​ 2 ​ ​ = v ​ 1 ​ 2 ​ ​ + 2 g h

v_0^2=v_1^2+2g \cdot \color{Goldenrod}{2r}

v ​ 0 ​ 2 ​ ​ = v ​ 1 ​ 2 ​ ​ + 2 g \cdot 2 r

v_1=\sqrt{gr}

v ​ 1 ​ ​ = \sqrt ​ g r ​ ​ ​

h=2r

h = 2 r

v_0^2=(\sqrt{gr})^2+4gr

v ​ 0 ​ 2 ​ ​ = (\sqrt ​ g r ​ ​ ​) ​ 2 ​ ​ + 4 g r

v_0^2=5gr

v ​ 0 ​ 2 ​ ​ = 5 g r

v_0=\sqrt{5gr}

v ​ 0 ​ ​ = \sqrt ​ 5 g r ​ ​ ​

Sijoitetaan tunnetut lukuarvot

v_0=\sqrt{5gr}

v ​ 0 ​ ​ = \sqrt ​ 5 g r ​ ​ ​

v_0=\sqrt{5\cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 0,20 \text{ m}}

v ​ 0 ​ ​ = \sqrt ​ 5 \cdot 9, 81 m / s ​ 2 ​ ​ \cdot 0, 20 m ​ ​ ​

v_0\approx 3,1 \text{ m/s}

v ​ 0 ​ ​ \approx 3, 1 m / s

Auton pitää tulla surmansilmukkaan vähintään nopeudella 3,1 m/s, jotta se selviäisi surmansilmukasta.

Vastaus

Esimerkki

Auto ajaa liikenneympyrään. Auton nopeus kasvaa arvosta 10 km/h arvoon 40 km/h 3,0 sekunnissa. Liikenneympyrän säde on 35 m.

Kuinka suuri ja minkä suuntainen kokonaisvoima autoon vaikuttaa, kun sen nopeus on 30 km/h? Auton massa on 950 kg

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

Piirretään kuva tilanteesta

v_0=10 \text{ km/h}, \ v_1=30 \text{ km/h}, \ v_2 = 40 \text{ km/h}

v ​ 0 ​ ​ = 10 k m / h, v ​ 1 ​ ​ = 30 k m / h, v ​ 2 ​ ​ = 40 k m / h

r=35 \text{ m}, \ \Delta t = 3,0 \text{ s}, \ m=950 \text{ kg}

r = 35 m, Δ t = 3, 0 s, m = 950 k g

Tangenttikiihtyvyys

Normaalikiihtyvyys

\color{Orange}{a_n} = \dfrac{v_1^2}{r}

a ​ n ​ ​ = \frac{​ v ​ 1 ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

=\dfrac{\Big( \frac{30}{3,6} \text{ m/s} \Big)^2}{35 \text{ m}}

= \frac{​ ( \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ 3 , 6 ​} m / s ) ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ 3 5 m ​}

\approx 1,98 \text{ m/s}^2

\approx 1, 98 m / s ​ 2 ​ ​

\color{Orange}{a_t}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}

a ​ t ​ ​ = \frac{​ Δ v ​ ​}{​ Δ t ​}

\approx 2,78 \text{ m/s}^2

\approx 2, 78 m / s ​ 2 ​ ​

=\dfrac{\frac{40}{3,6} \text{ m/s}-\frac{10}{3,6} \text{ m/s}}{3,0 \text{ s}}

= \frac{​ \frac{​ 4 0 ​ ​}{​ 3 , 6 ​} m / s - \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ 3 , 6 ​} m / s ​ ​}{​ 3 , 0 s ​}

Kokonaiskiihtyvyys

\color{Orange}{a_{kok}}=\sqrt{\color{Orange}{a_t}^2+\color{Orange}{a_n}^2}

a ​ k o k ​ ​ = \sqrt ​ a ​ t ​ ​ ​ 2 ​ ​ + a ​ n ​ ​ ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​

=\sqrt{(2,78 \text{ m/s}^2)^2+(1,98 \text{ m/s}^2)^2}

= \sqrt ​ (2, 78 m / s ​ 2 ​ ​) ​ 2 ​ ​ + (1, 98 m / s ​ 2 ​ ​) ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​

\approx 3,41 \text{ m/s}^2

\approx 3, 41 m / s ​ 2 ​ ​

Newtonin 2. laki

\color{Salmon}{\overline{F}_{kok}}=m\color{Orange}{\overline{a}_{kok}}

​ F ​ ​ ​ ​ k o k ​ ​ = m ​ a ​ ​ ​ ​ k o k ​ ​

=950 \text{ kg} \cdot 3,41 \text{ m/s}^2

= 950 k g \cdot 3, 41 m / s ​ 2 ​ ​

\approx 3,3 \text{ kN}

\approx 3, 3 k N

Kokonaisvoiman suunta on sama kuin kokonaiskiihtyvyyden suunta.

\tan \color{Green} \beta = \dfrac{\color{Orange}{a_t}}{\color{Orange}{a_n}}

tan β = \frac{​ a ​ t ​ ​ ​ ​}{​ a ​ n ​ ​ ​}

\tan \color{Green} \beta = \dfrac{2,78 \text{ m/s}^2}{1,98 \text{ m/s}^2}

tan β = \frac{​ 2 , 7 8 m / s ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ 1 , 9 8 m / s ​ 2 ​ ​ ​}

\color{Green} \beta \approx 54^{\circ}

β \approx 5 4 ​ \circ ​ ​

Voiman suuruus on noin 3,3 kN ja suunta poikkeaa normaalikiihtyvyyden suunnasta 54 astetta.

Vastaus

Esimerkki

Hämähäkkimies heilahtaa seittinsä varassa