ympyräliike

Etenemisliikkeessä kappaleen paikka muuttuu.

Pyörimisliikkeessä kappaleen asento muuttuu.

  • Ympyräliikkeessä kappaleen rata on ympyrä.
  • Ympyräliikkeessä kappaleen paikka ja asento muuttuvat.

Ympyräliike on yhdistelmä etenemis- ja pyörimisliikettä.

Tasainen ympyräliike

Ympyräliikkeessä olevan kappaleen kulkeman matkan muutosnopeutta kutsutaan ratanopeudeksi.

\color{CornflowerBlue}{v}=\dfrac{s}{t}
=\dfrac{2\pi r}{t}

Ratanopeus

Tasaisessa ympyräliikkeessä kappaleen ratanopeuden suuruus ei muutu, mutta suunta muuttuu jatkuvasti.

Tasainen ympyräliike

Koska ratanopeuden suunta­ ei ole vakio, niin ympyrä­liikkeessä olevalla kappaleella on 

kiihtyvyyttä.

Tasaisessa ympyräliikkeessä kappaleella on vain normaalikiihtyvyyttä, jonka suunta on kohti ympyräradan keskipistettä.

\color{Goldenrod}{a_n}=\dfrac{v^2}{r}

Normaalikiihtyvyys

Muuttuva ympyräliike

Kappaleella on normaalikiihtyvyyden lisäksi tangenttikiihtyvyyttä.

Muuttuvassa ympyräliikkeessä kappaleen ratanopeus muuttuu. 

Tangenttikiihtyvyys on ympyräradan tangentin suuntainen.

Muuttuva ympyräliike

Kiihtyvyyden suuruus saadaan laskettua pythagoraan lauseen avulla

\color{Goldenrod}{a_{kok}}=\sqrt{\color{Goldenrod}{a_n}^2+\color{Goldenrod}{a_t}^2}

Ympyräliike ja Newtonin 2. laki

Newtonin 2. lain eli Dynamiikan peruslain mukaan kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima aiheuttaa kappaleen 

kiihtyvyyden

\color{Salmon}{\sum \overline{F}}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}}

Mikä voima pitää kaarteessa ajavan auton ympyräradalla?

Kitka!

Ympyräliike ja Newtonin 2. laki

Jos auto on tasaisessa ympyräliikkeessä, niin autolla on ainoastaan normaalikiihtyvyyttä.

\sum \overline{F}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}
\overline{G}+\overline{N}+\color{Salmon}{\overline{F}_{\mu0}}=m\dfrac{\color{CornflowerBlue}v^2}{r}
=0
\color{Salmon}{\overline{F}_{\mu0}}=m\dfrac{\color{CornflowerBlue}v^2}{r}

Esimerkki

Auto ajaa kaarteeseen, jonka kaarevuussäde on 80 m nopeudella 60 km/h. Kuinka suuri auton ja tien välinen lepokitkakerroin pitää olla, jotta auto pysyy tiellä?

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

r=80 \text{ m}, \ v=60 \text{ km/h}

Piirretään auton voimakuvio

\overline{N}
\overline{G}

Sivulta

\overline{F}_{\mu0}
\overline{a}_{n}

Päältä

\overline{F}_{\mu0}
\overline{a}_{n}
\overline{v}
\sum \overline{F}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}

Newtonin 2. lain mukaan

Tehdään voimatarkastelu x- ja y-suunnassa erikseen.

\overline{N}
\overline{G}

Sivulta

\overline{F}_{\mu0}
\overline{a}_{n}
\sum \overline{F}_y=\overline{0}

x

y

\color{Salmon}{\overline{N}}+\color{Salmon}{\overline{G}}=\overline{0}
\color{Salmon}{N}-\color{Salmon}{G}=0
\color{Salmon}{N}=mg
G=mg
\overline{N}
\overline{G}

Sivulta

\overline{F}_{\mu0}
\overline{a}_{n}

x

y

\sum \overline{F}_x=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}
\color{Salmon}{\overline{F}_{\mu 0}}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}
\mu_0 \color{Salmon}N=m\dfrac{\color{CornflowerBlue}v^2}{r}
\mu_0 mg=m\dfrac{\color{CornflowerBlue}v^2}{r}
\mu_0 =\dfrac{\color{CornflowerBlue}v^2}{gr}
F_{\mu0}=\mu_0 N
a_n = \dfrac{v^2}{r}
N=mg
\mu_0 =\dfrac{\Big(\dfrac{60}{3,6} \text{ m/s}\Big)^2}{9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 80 \text{ m}}
\mu_0 \approx 0,35

Esimerkki

Auto ajaa kaarteeseen, jonka kaarevuussäde on 80 m nopeudella 60 km/h. Kuinka suuri auton ja tien välinen lepokitkakerroin pitää olla, jotta auto pysyy tiellä?

Esimerkki

Ralliauto ajaa mäen päälle, jonka kaarevuussäde on 8,5 m. Kuinka suuri on ralliauton nopeuden oltava mäen päällä, jotta se irtoaisi tien pinnasta?

Ratkaisu

\overline{N}
\overline{G}
\overline{v}
\overline{a}_n

Tarkastellaan tilannetta mäen päällä.

 

Ralliauto on hetkellisesti tasaisessa ympyräliiikkeessä.

\sum \overline{F}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}
\color{Salmon}{\overline{G}}+\color{Salmon}{\overline{N}}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}

Rajatilanteessa, jossa auto juuri ja juuri irtoaa tiestä 

\color{Salmon}N \approx 0 \text{ N}
\color{Salmon}{\overline{G}}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}
mg=m\dfrac{\color{CornflowerBlue}v^2}{r}
gr=\color{CornflowerBlue}v^2
\color{CornflowerBlue}v= \sqrt{gr}

Ratkaisu

\overline{N}
\overline{G}
\overline{v}
\overline{a}_n
\color{CornflowerBlue}v= \sqrt{9,81 \text{m/s}^2 \cdot 8,5 \text{ m}}
\color{CornflowerBlue}v \approx 9,1 \text{ m/s}
\color{CornflowerBlue}v= \sqrt{gr}

Sijoitetaan lukuarvot

Vastaus:

Auton on ajettava vähintään nopeudella 9,1 m/s.

Fysiikan ylioppilaskoe, kevät 2013

Ratkaisu a-kohtaan

Piirretään heilurin voimakuvio

x

y

\color{Salmon}G \text{ heilurin paino}
\color{Salmon}T \text{ langan jannitysvoima}
\color{CornflowerBlue}{a_n} \text{ heilurin kiihtyvyys}

Ratkaisu b-kohtaan

Kirjataan lähtöarvot

\color{Goldenrod}l=1,25 \text{ m}, \ m=0,087 \text{ kg}, \ \color{CornflowerBlue}\alpha = 41^{\circ}

x

y

Oletetaan, että heiluri on tasaisessa ympyräliikkeessä.

Newtonin 2. lain mukaan

\sum \overline{F}=m\overline{a}_n

Jaetaan voimatarkastelu x- ja y-suuntiin.

\sum \overline{F}_y=\overline{0}
\color{Salmon}{\overline{T}_y}+\color{Salmon}{\overline{G}}=\overline{0}
\color{Salmon}T \cos \alpha-\color{Salmon}{G}=\overline{0}
\color{Salmon}T =\dfrac{mg}{\cos \alpha}

Ympyräradan säde on 

r = \color{Goldenrod}l \sin\color{CornflowerBlue} \alpha
=1,25 \text{ m} \cdot \sin 41^{\circ}
\approx 0,820 \text{ m}

x

y

\sum \overline{F}_x=m\color{CornflowerBlue}{\overline{a}_n}
\color{Salmon}{\overline{T}_x}=m\color{CornflowerBlue}{\overline{a}_n}
\color{Salmon}T \sin\alpha=m\dfrac{v^2}{r}
T =\dfrac{mg}{\cos \alpha}
\dfrac{mg}{\cos \alpha} \sin\alpha=m\dfrac{v^2}{r}
\dfrac{g}{\cos \alpha} \sin\alpha=\dfrac{v^2}{r}
g \tan \alpha=\dfrac{v^2}{r}
\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

x

y

g \tan \alpha=\dfrac{v^2}{r}
gr \tan \alpha=v^2
v=\sqrt{gr \tan \alpha}
v=\sqrt{9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 0,820 \text{ m} \cdot\tan 41^{\circ}}
v \approx 2,644 \text{ m/s}

x

y

Toisaalta ratanopeus saadaan laskettua

v=\dfrac{2 \pi r}{T}

, josta

T=\dfrac{2 \pi r}{v}
T=\dfrac{2 \pi\cdot 0,820 \text{ m}}{2,644 \text{ m/s}}
T \approx 1,9 \text{ s}

Kiertoliikkeen jaksonaika on noin 1,9 sekuntia

Ratkaisu c-kohtaan

x

y

Edellisessä kohdassa johdettiin langan jännitysvoimalle lauseke

\color{Salmon}T =\dfrac{mg}{\cos \alpha}
\color{Salmon}T =\dfrac{0,082 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2}{\cos 41^{\circ}}
\color{Salmon}T \approx 1,1 \text{ N}

Langan jännitysvoima on noin 1,1 N.