MAA5: Analyyttinen geometria 2/5

PISTEJOUKKO KOORDINAATISTOSSA

PISTEJOUKON YHTÄLÖ

KÄYRÄ JA FUNKTIO

LEIKKAUSPISTEITÄ

Ennakkotehtävä 1

a) Merkitse xy-koordinaatistoon kolme pistettä, joiden x-koordinaatti on -2.

b) Kuvaile, missä sijaitsevat koordinaatiston kaikki pisteet, joiden x-koordinaatti on -2.

c) Ilmaise yhtälönä sääntö "x-koordinaatti on -2", kun yhtälössä x tarkoittaa x-koordinaattia.

d) Kuvaile, missä sijaitsevat koordinaatiston kaikki pisteet (x, y), joiden y-koordinaatti on yhden suurempi kuin x-koordinaatti.

Ennakkotehtävä 2

a) Kirjoita GeoGebran syöttökenttään yksitellen yhtälöt y = 2, y = -1, x = 3 j y = x. Selitä, miten yhtälöiden perusteella voidaan tietää, mikä kuvaaja vastaa mitäkin yhtälöä.

b) Etsi ne koordinaatiston pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat yhtälöt

y+x^2=1

y-x+1=0.

Ennakkotehtävä 2

\begin{aligned}y+x^2&=1\\y+x^2-1&=0\end{aligned}

y-x+1=0

\begin{aligned}y+x^2-1&=y-x+1&&\|-y\\x^2-1&=-x+1&&\|+x-1\\x^2+x-2&=0\end{aligned}

\begin{aligned}x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}\\&=\frac{-1\pm3}{2}\end{aligned}

c) Määritä ilman teknisiä apuvälineitä ne koordinaatiston pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat b-kohdan yhtälöt.

x=1\text{ tai } x=-2

y-koordinaatti saadaan sijoittamalla x-koordinaatin arvo jompaan kumpaan yhtälöön:

\begin{aligned}y+1^2&=1\\y+1&=1&&\|-1\\y&=0\end{aligned}

x=1:

\begin{aligned}y+(-2)^2&=1\\y+4&=1&&\|-4\\y&=-3\end{aligned}

x = -2:

Vastaus: (1, 0) ja (-2, -3)

Pistejoukon yhtälö

Suoran jokaisen pisteen (x,y) koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön.

Tason jokainen piste (x,y), joka toteuttaa suoran yhtälön, on suoralla.

Perus

Pistejoukon yhtälö

Piste (x,y) kuuluu pistejoukkoon, jos ja vain jos pisteen koordinaatit toteuttavat pistejoukon yhtälön.

Pistejoukon yhtälö on muuttujien x ja y yhtälö, jolla on seuraava ominaisuus:

Esimerkki 1

Piste (x,y) on suoralla, jos ja vain jos

y=\frac{1}{2}x

Esimerkki 2

Pistejoukon muodostavat ne pisteet, joiden y-koordinaatti on yhtä suuri kuin x-koordinaatin toinen potenssi vähennettynä yhdellä.

a) Muodosta pistejoukon yhtälö.

b) Kuuluvatko pistejoukkoon pisteet

(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})\text{ ja }(1,2)?

Ratkaisu

a) Pistejoukon yhtälö:

y=x^2-1

b) Sijoitetaan piste pistejoukon yhtälöön:

x=\frac{1}{2},y=-\frac{3}{4}

2=1^2-1

-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}-1

-\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}

Sijoitetaan piste pistejoukon yhtälöön:

x=1,y=2

2=1-1

-\frac{3}{4}=(\frac{1}{2})^2-1

2\neq 0

Piste toteuttaa pistejoukon yhtälön, joten piste kuuluu pistejoukkoon.

Piste ei toteuta pistejoukon yhtälöä, joten piste ei kuulu pistejoukkoon.

Pistejoukko, käyrä, funktio

Tason käyrä on pistejoukko, joka voidaan ajatella koordinaatistossa liikkuvan pisteen radaksi.

käyrän yhtälö

pistejoukon yhtälö

HUOM! Vaikka käyrä on pistejoukko, pistejoukko ei välttämättä ole käyrä.

Funktio liittää jokaiseen muuttujan x arvoon täsmälleen yhden funktion arvon (y-koordinaatti).

Käyrä vai funktio?

Funktion kuvaajalla ei voi olla kahta pistettä, joilla on sama x-koordinaatti!

Funktiot: B, C, D, E, H

Perus

Lause

\text{Pisteiden }(x_1,y_1) \text{ ja }(x_2,y_2) \text{ välinen etäisyys on}

\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Taitaja