MAA5: Analyyttinen geometria 3/5

SUORA

SUORAN SUUNTA

SUORAN YHTÄLÖ

SUORIEN LEIKKAUSPISTE

SUORIEN VÄLINEN KULMA

SUORIEN KOHTISUORUUS

Suoran suunta

Kulmakerroin

(x_1,y_1)
(x_2,y_2),
x_1\neq x_2,
k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Pisteiden

ja

kautta kulkevan suoran kulmakerroin on

\Delta x
\Delta y

HUOM! Pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa.

Suoran suuntavektori

Määritä kullekin suoralle jokin suuntavektori.

Suuntakulma

Tason suoran suuntakulma on suoran ja x-akselin positiivisen suunnan välinen kulma, jonka etumerkki määritetään seuraavasti:

Nouseva suora

Laskeva suora

Vaakasuora

Pystysuora

0^{o} <\alpha <90^{o}
-90^{o} <\alpha <0^{o}
\alpha=0^o
\alpha=90^o

Lause

Suoran kulmakerroin k on suuntakulman       tangentti eli

\alpha
k=\tan \alpha,\text{ kun }-90^o<\alpha <90^o.

Lause

Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos ja vain jos

  1. niillä on sama kulmakerroin
  2. molemmat suorat ovat y-akselin suuntaisia.

Suoran yhtälö

Lause

Jos suora kulkee pisteen               kautta ja sen kulmakerroin on k, suoran yhtälö on

(x_0,y_0)
y-y_0=k(x-x_0)

Suoran yhtälön ratkaistu muoto

y=kx+b

Suoran yhtälön normaalimuoto

ax+by+c=0, a\neq 0, b\neq 0

Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, b)

y=\frac{1}{4}x+2
4y-x-8=0

Harjoittele suoran yhtälön määrittämistä kulmakertoimen ja vakiotermin avulla:

Määritä suoran yhtälö kahden pisteen avulla. Tarkista ratkaisusi syöttämällä suoran yhtälö vastauskenttään. Saat malliratkaisun näkyville klikkaamalla Ratkaisu-painiketta.

Suorien leikkauspiste

  • Suorien leikkauspisteellä tarkoitetaan sitä pistettä, jossa suorat leikkaavat. Kyseisessä pisteessä molempien suorien x- ja y-koordinaatit ovat samat.
  • Suorien leikkauspiste voidaan ratkaista
    • graafisesti eli piirtämällä
    • algebrallisesti eli laskemalla.
      • Kuvasta katsomalla ei saada selville leikkauspisteen tarkkoja koordinaatteja, joten leikkauspiste täytyy selvittää laskemalla!
      • Leikkauspisteen koordinaatit saadaan selville yhtälöparin avulla

Yhtälöparin ratkaiseminen

  • sijoitusmenetelmä
  • yhteenlasku- eli eliminointimenetelmä
  • CAS-laskenta
    • ​GeoGebra: Ratkaise(<Yhtälölista>,<muuttujalista>)

Opetus.tv: Yhtälöpari

Suorien välinen kulma

Lause

Jos suorat m ja n eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden välinen kulma      toteuttaa yhtälön

\alpha
m:y=k_1x+b_1
n:y=k_2x+b_2
\tan\alpha=|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|

Suorien kohtisuoruus

Lause

Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos ja vain jos niiden kulmakertoimien tulo on -1 tai suorat ovat koordinaattiakselien suuntaiset.

k_1\cdot k_2=-1

Pisteen etäisyys suorasta

ax+by+c=0
\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Pisteen               etäisyys suorasta                                 on

(x_0,y_0)