Esimerkki

Laiva etenee suoraviivaisesti kohti majakkaa. Kello 15:00 majakan huippu näkyy laivasta 25 asteen kulmassa. Kello 15:30, laivan edettyä 250 metriä, majakan huippu näkyy laivasta 47 asteen kulmassa. Kuinka korkealla majakka on vedenpinnasta?

25^\circ
47^\circ

2. Ratkaise tarvittavat kulmat:

133^\circ
x

1. Piirrä kuva:

\( 47^\circ \) vieruskulma on \(180^\circ-47^\circ=133^\circ \)

22^\circ

250

Kolmion kulmien summa on \(180^\circ\), joten puuttuva kulma on \( 180^\circ-25^\circ-133^\circ=22^\circ \)

25^\circ
47^\circ
133^\circ
x

3. Sinilause:

Ratkaistaan sivun \( x \) pituus sinilauseen avulla.

250

22^\circ
\dfrac{x}{\sin 133^\circ}=\dfrac{250}{\sin 22^\circ} \quad ||\cdot \sin 133^\circ
x=\sin 133^\circ \cdot \dfrac{250}{\sin 22^\circ }=1171,394 \ldots
25^\circ
47^\circ

2. Ratkaise tarvittavat kulmat:

133^\circ
x

1. Piirrä kuva:

\( 47^\circ \) vieruskulma on \(180^\circ-47^\circ=133^\circ \)

Kolmion kulmien summa on \(180^\circ\), joten puuttuva kulma on \( 180^\circ-25^\circ-133^\circ=22^\circ \)

22^\circ

250

25^\circ
x

4. Sini

Ratkaistaan korkeus \( h \) sinin avulla

h
\sin(25^\circ)=\dfrac{h}{x} \quad ||\cdot x
h=x \cdot \sin (25^\circ)
h= 1171,394 \cdot \sin (25^\circ) = 495,05 \approx 500 \ (\text{m})

Gravitaatiolaki

\overline{F}_{mk}
\overline{F}_{km}
F\color{White}{=\gamma \dfrac{m_{maa}m_{kuu}}{r^2}}

Gravitaatiolaki

\gamma
r

gravitaatiovakio

kappaleiden välinen etäisyys

r

Esimerkki

Ratkaise Kuun ratanopeus Maapallon ympäri.

Kuun ja Maan painopisteiden keskietäisyys on

392 508 km ja Maan massa on                     

5,9737 \cdot 10^{24} \text{ kg}.

Ratkaisu

\overline{a}_n
\overline{F}_G
\overline{v}

Kirjataan lähtöarvot

M_{maa}=5,9737 \cdot 10^{24} \text{ kg}, \ r=392 \ 508 \ 000 \text{ m}

Oletetaan, että Kuu on tasaisessa ympyräliikkeessä.

Newtonin 2. laki

\sum \overline{F}=m_{kuu}\overline{a}
\overline{F}_G\color{White}{=m_{kuu}}\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}
\gamma \cdot \dfrac{m_{kuu}M_{maa}}{r^2}\color{White}{=m_{kuu}}\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v}^2}{r}
a_n=\dfrac{v^2}{r}

Gravitaatiolaki

\gamma \cdot \dfrac{M_{maa}}{r^2}\color{White}{=}\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v}^2}{r}
\overline{a}_n
\overline{F}_G
\overline{v}
\gamma \cdot \dfrac{M_{maa}}{r^2}\color{White}{=}\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v}^2}{r}
\cdot r
\gamma \cdot \dfrac{M_{maa}}{r}\color{White}{=}{\color{CornflowerBlue}v}^2
\sqrt{}
{\color{CornflowerBlue}v}=\sqrt{\dfrac{\gamma M_{maa}}{r}}
{\color{CornflowerBlue}v}=\sqrt{\dfrac{6,67384 \cdot 10^{-11}\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\text{s}^2}\cdot 5,9737 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{392 \ 508 \ 000 \text{ m} }}
\approx 1007 \text{ m/s}

Vastaus:

Kuun ratanopeus Maapallon ympäri on noin 1007 m/s.