Radio-ohjattavan auton liike

Auton paikka ajan funktiona

Aika (s)

Paikka (m)

Kahden pisteen kautta piirretyn suoran kulmakerroin kuvaa (t, x)-koordinaatistossa kappaleen keskinopeutta.

Keskinopeus

matka 

siirtymä

\text{keskinopeus}=\dfrac{\color{CornflowerBlue}{\text{siirtyma}}}{\text{kulunut aika}}
keskinopeus=siirtymakulunut aika\text{keskinopeus}=\dfrac{\color{CornflowerBlue}{\text{siirtyma}}}{\text{kulunut aika}}
v_k=\dfrac{\color{CornflowerBlue}{\Delta x}}{\Delta t }
vk=ΔxΔtv_k=\dfrac{\color{CornflowerBlue}{\Delta x}}{\Delta t }
[v_k]=\dfrac{[\Delta x]}{[ \Delta t]}=\dfrac{1 \text{ m}}{1 \text{ s}}=1 \text{ m/s}
[vk]=[Δx][Δt]=1 m1 s=1 m/s[v_k]=\dfrac{[\Delta x]}{[ \Delta t]}=\dfrac{1 \text{ m}}{1 \text{ s}}=1 \text{ m/s}
v_k \cdot \Delta t =\color{CornflowerBlue}{\Delta x}
vk⋅Δt=Δxv_k \cdot \Delta t =\color{CornflowerBlue}{\Delta x}
|| \cdot \Delta t
∣∣⋅Δt|| \cdot \Delta t

Esimerkki

Ryhävalas ui vuodessa noin 12 000 mailia uidessaan Meksikosta Antarktikselle ja takaisin.

Laske ryhävalaan keskivauhti yksikössä km/h

Jos ryhävalaan elinikä on noin 40 vuotta, niin kuinka pitkän matkan se ui elämänsä aikana?

a)

b)

Ratkaisu a-kohtaan

Merkitään ylös lähtöarvot

s=12 \ 000 \text{ mailia}, \ t=1 \text{ a}
s=12 000 mailia, t=1 as=12 \ 000 \text{ mailia}, \ t=1 \text{ a}

Keskinopeuden määritelmä

v_k=\dfrac{s}{t}
vk=stv_k=\dfrac{s}{t}

1 maili on 1609,344 metriä, joten matka kilometreinä on

s = 12\ 000 \text{ mailia}
s=12 000 mailias = 12\ 000 \text{ mailia}
= 12 \ 000 \cdot 1609,344 \text{ m}
=12 000⋅1609,344 m= 12 \ 000 \cdot 1609,344 \text{ m}
=19 \ 312 \ 128 \text{ m}
=19 312 128 m=19 \ 312 \ 128 \text{ m}
=19 \ 312 ,128 \text{km}
=19 312,128km=19 \ 312 ,128 \text{km}

1 vuodessa on 365 päivää ja päivässä on 24 tuntia, joten aika tunteina on

t = 365 \cdot 24 \text{ h} =8760 \text{ h}
t=365⋅24 h=8760 ht = 365 \cdot 24 \text{ h} =8760 \text{ h}

Lasketaan keskivauhti

v_k=\dfrac{19 \ 312,128 \text{ km}}{8760 \text{ h}}
vk=19 312,128 km8760 hv_k=\dfrac{19 \ 312,128 \text{ km}}{8760 \text{ h}}
\approx 2,2 \text{ km/h}
≈2,2 km/h\approx 2,2 \text{ km/h}

Ratkaisu b-kohtaan

Vuodessa valas ui 19 312,128 km, joten 40 vuodessa valas ui

s_{40}=40\cdot 19 \ 312 ,128 \text{km} = 772 \ 485,12 \text{ km}
s40=40⋅19 312,128km=772 485,12 kms_{40}=40\cdot 19 \ 312 ,128 \text{km} = 772 \ 485,12 \text{ km}

Valas ui 40 vuodessa noin 770 000 km.

\dfrac{772 \ 485,12 \text{ km}}{2 \pi \cdot 6400 \text{ km} } \approx 19
772 485,12 km2π⋅6400 km≈19\dfrac{772 \ 485,12 \text{ km}}{2 \pi \cdot 6400 \text{ km} } \approx 19

Tämä olisi noin 19 kertaa maapallon ympäri.

Pohdintaa

Esimerkki

Polkypyöräilijä etenee nopeudella 15 km/h (kilometriä per tunti)

Ilmoita polkupyöräilijän nopeus käyttäen yksikkönä m/s (metriä per sekunti).

Ratkaisu

15\text{ km/h}=\dfrac{15 \text{ km}}{1 \text{h}}
15 km/h=15 km1h15\text{ km/h}=\dfrac{15 \text{ km}}{1 \text{h}}
=\dfrac{15\ 000 \text{ m}}{60 \text{ min}}
=15 000 m60 min=\dfrac{15\ 000 \text{ m}}{60 \text{ min}}
=\dfrac{15\ 000 \text{ m}}{3600 \text{ s}}
=15 000 m3600 s=\dfrac{15\ 000 \text{ m}}{3600 \text{ s}}
(1000
(1000(1000
=\dfrac{15 }{3,6 } \text{ m/s}
=153,6 m/s=\dfrac{15 }{3,6 } \text{ m/s}
\approx 4,2 \text{ m/s}
≈4,2 m/s\approx 4,2 \text{ m/s}

Lentokone lentää nopeudella 200 m/s (metriä per sekunti)

Ilmoita lentokoneen nopeus käyttäen yksikköä km/h (kilometriä per tunti)

Esimerkki

Ratkaisu

200 \text{ m/s}
200 m/s200 \text{ m/s}
=200 \cdot 3,6 \text{ km/h}
=200⋅3,6 km/h=200 \cdot 3,6 \text{ km/h}
=720 \text{ km/h}
=720 km/h=720 \text{ km/h}
=200 \dfrac{\frac{1}{1000}\text{ km}}{\frac{1}{3600} \text{ h}}
=20011000 km13600 h=200 \dfrac{\frac{1}{1000}\text{ km}}{\frac{1}{3600} \text{ h}}

km/h

m/s

:3,6
:3,6:3,6
\cdot3,6
⋅3,6\cdot3,6

Nopeuden yksikkömuunnokset

Esimerkki

Karhu lähtee 15 km päässä olevaan metsään katkomaan oksia. Jos karhun keskinopeus on 4,3 km/h, niin kuinka kauan karhulla kuluu matkan taittamiseen?

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

\Delta x=15 \text{ km}, v_k = 4,3 \text{ km/h}
Δx=15 km,vk=4,3 km/h\Delta x=15 \text{ km}, v_k = 4,3 \text{ km/h}

Ratkaistaan keskinopeuden suureyhtälöstä aika t.

v_k = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \quad ||\cdot \Delta t
vk=ΔxΔt∣∣⋅Δtv_k = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \quad ||\cdot \Delta t
v_k \Delta t = \Delta x \quad ||:v_k
vkΔt=Δx∣∣:vkv_k \Delta t = \Delta x \quad ||:v_k
t = \dfrac{s}{v_k}
t=svkt = \dfrac{s}{v_k}

Sijoitetaan lukuarvot.

t = \dfrac{15 \text{ km}}{4,3 \text{ km/h}}
t=15 km4,3 km/ht = \dfrac{15 \text{ km}}{4,3 \text{ km/h}}
t \approx 3,49 \text{ h}
t≈3,49 ht \approx 3,49 \text{ h}
\approx 3 \text{ h} \ 29 \text{ min}
≈3 h 29 min \approx 3 \text{ h} \ 29 \text{ min}