Esimerkki

Pitkä köysi sidotaan ovenkahvaan kiinni. Köyttä heilutetaan niin, että 10,0 sekunnissa tapahtuu 13 heilahdusta.

Köydessä etenevän aallon aallonpituus on noin 84 cm.

 

a) Mikä on aaltoliikkeen taajuus?

Ratkaisu

Lasketaan aaltoliikkeen jaksonaika.

T=\dfrac{13 \text{ s}}{10}
T=13 s10T=\dfrac{13 \text{ s}}{10}
=1,3 \text{ s}
=1,3 s=1,3 \text{ s}

Jaksonajan avulla saadaan ratkaistua taajuus.

f=\dfrac{1}{T}
f=1Tf=\dfrac{1}{T}
=\dfrac{1}{1,3 \text{ s}}
=11,3 s=\dfrac{1}{1,3 \text{ s}}
f \approx 0,77 \text{ Hz}
f≈0,77 Hzf \approx 0,77 \text{ Hz}

Vastaus:

Taajuus on noin 0, 77 Hz

Esimerkki

Laiturin ohi kulkee 15 aaltoa 25 sekunnissa. Kahden peräkkäisen aallonpohjan välinen etäisyys on noin 85 cm. Mikä on aaltoliikkeen jaksonaika?

Ratkaisu

Lasketaan aaltoliikkeen jaksonaika

T=\dfrac{25 \text{ s}}{15}
T=25 s15T=\dfrac{25 \text{ s}}{15}
T\approx 1,67 \text{ s}
T≈1,67 sT\approx 1,67 \text{ s}

Esimerkki

Kolibri hakkaa siipiään yhteen 70 kertaa sekunnissa.

Mikä on kolibrin tuottaman äänen taajuus?

 Ratkaisu

Lasketaan taajuus, kun tiedetään että taajuus on jaksonajan käänteisarvo.

f=\dfrac{1}{T}
f=1Tf=\dfrac{1}{T}
f=\dfrac{1}{\frac{1 \text{ s}}{70}}
f=11 s70f=\dfrac{1}{\frac{1 \text{ s}}{70}}
f=\dfrac{70}{1 \text{ s}}
f=701 sf=\dfrac{70}{1 \text{ s}}
f=70 \text{ Hz}
f=70 Hzf=70 \text{ Hz}

Fysiikan ylioppilaskoe S2012

 Ratkaisu 

  • Ääni on väliaineessa etenevää mekaanista aaltoliikettä.

  • Ääni on nesteissä ja kaasuissa pitkittäistä aaltoliikettä.

  • Ultraäänen taajuus on yli 20 kHz.

b)

a)

Äänen nopeus ilmassa on noin 343 m/s, kun ilman lämpötila on 20 celsiusastetta.

Äänen pienin mahdollinen aallonpituus on

\lambda_{min}=10 \cdot 0,65 \mu \text{m} = 6,5 \cdot 10^{-6} \text{ m}
λmin=10⋅0,65μm=6,5⋅10−6 m\lambda_{min}=10 \cdot 0,65 \mu \text{m} = 6,5 \cdot 10^{-6} \text{ m}

Ratkaistaan taajuus aaltoliikkeen perusyhtälöstä.

v=\lambda f
v=λfv=\lambda f
f=\dfrac{v}{\lambda}
f=vλf=\dfrac{v}{\lambda}
f_{max}=\dfrac{v}{\lambda_{min}}
fmax=vλminf_{max}=\dfrac{v}{\lambda_{min}}
f_{max}=\dfrac{343 \text{ m/s}}{6,5 \cdot 10^{-6} \text{ m}}
fmax=343 m/s6,5⋅10−6 mf_{max}=\dfrac{343 \text{ m/s}}{6,5 \cdot 10^{-6} \text{ m}}
f_{max}\approx 53 \text{ Mhz}
fmax≈53 Mhzf_{max}\approx 53 \text{ Mhz}

 

  • Kaikuluotas ja lääketieteellinen kuvantaminen, jotka perustuvat ultraäänen heijastumiseen aineesta.  

  • Tuholaisten karkoitus, joka perustuu eläinten kuuloalueen häirintään.

Ultraäänen sovelluksia ovat esimerkiksi

c)

Fysiikan ylioppilaskoe, syksy 2008

 Ratkaisu a-kohtaan

Kirjataan lähtöarvot

f_{min}=1,2 \text{ Hz}, \ f_{max}=130 \ 000 \text{ Hz}
fmin=1,2 Hz, fmax=130 000 Hzf_{min}=1,2 \text{ Hz}, \ f_{max}=130 \ 000 \text{ Hz}

Äänen nopeus vedessä on noin 1484 m/s, kun veden lämpötila on 20 celsiusastetta.

Käytetään aaltoliikkeen perusyhtälöä

v=f\lambda
v=fλv=f\lambda
\lambda=\dfrac{v}{f}
λ=vf\lambda=\dfrac{v}{f}
||:f
∣∣:f||:f
\lambda_{max}=\dfrac{v}{f_{min}}
λmax=vfmin\lambda_{max}=\dfrac{v}{f_{min}}
\lambda_{min}=\dfrac{v}{f_{max}}
λmin=vfmax\lambda_{min}=\dfrac{v}{f_{max}}
=\dfrac{1484 \text{ m/s}}{1,2 \text{ Hz}}
=1484 m/s1,2 Hz=\dfrac{1484 \text{ m/s}}{1,2 \text{ Hz}}
=\dfrac{1484 \text{ m/s}}{130 \ 000 \text{ Hz}}
=1484 m/s130 000 Hz=\dfrac{1484 \text{ m/s}}{130 \ 000 \text{ Hz}}
\approx 1200 \text{ m}
≈1200 m\approx 1200 \text{ m}
\approx 0,011 \text{ m}
≈0,011 m\approx 0,011 \text{ m}

Vastaus:

Aallonpituus alue on 11 mm .... 1200 m

 Ratkaisu B-kohtaan

 

  • ultaäänen lähettämiseen

  • ultraäänen heijastumiseen

  • heijastuneen aallon vastaanottamiseen

lähetetty aalto

heijastunut aalto

x
xx
2\color{Goldenrod}{x}=vt_{k}
2x=vtk2\color{Goldenrod}{x}=vt_{k}
\color{Goldenrod}{ x}=\dfrac{vt_{k}}{2}
x=vtk2\color{Goldenrod}{ x}=\dfrac{vt_{k}}{2}
t_{k}
tkt_{k}

on aika pulssin lähdöstä heijastuneen pulssin vastaanottamiseen.

v
vv

on aallon etenemisnopeus väliaineessa

||:2
∣∣:2||:2

Kaikuluotaus perustuu

x_1
x1x_1
x_2
x2x_2

 Ratkaisu C-kohtaan

Lasketaan etäisyydet        ja       , kun tiedetään ultraäänipulssien edestakaiseen matkaan käyttämät ajat ja aallon etenemisnopeus väliaineessa.

\color{Goldenrod}{ x_1}
x1\color{Goldenrod}{ x_1}
\color{Goldenrod}{ x_2}
x2\color{Goldenrod}{ x_2}

Jos ultraäänipulssien lähetyshetkien aikaero on        , niin kohteen nopeus on

v\color{Black}{=\dfrac{\color{Goldenrod}{\Delta x}}{\Delta t}}
v=ΔxΔtv\color{Black}{=\dfrac{\color{Goldenrod}{\Delta x}}{\Delta t}}

Nopeus saadaan määritettyä

  • mittaamalla peräkkäisten pulssien edestakaiseen matkaan käyttämät ajat.

  • laskemalla nopeus, kun tiedetään kohteen paikan muutos ja ultraäänipulssien lähetyshetkien aikaero.

\Delta t
Δt\Delta t