Biljardipallojen törmäys

Ennen törmäystä

Törmäyshetki

Törmäyksen jälkeen

Newtonin 3. laki

\Delta t_1 = \Delta t_2
\overline{F}_{21}=-\overline{F}_{12}
\overline{F}_{21} \Delta t_1 = -\overline{F}_{12} \Delta t_2
\overline{I}_1
-\overline{I}_2
=
\overline{v}_{1}
\overline{v}_{2}
\overline{F}_{21}
\overline{F}_{12}
\overline{u}_{1}
\overline{u}_{2}
\overline{I}_1
-\overline{I}_2
=

Molempiin palloihin kohdistuvat impulssit ovat yhtä suuret.

\Delta \overline{p}_1 = -\Delta \overline{p}_2

Ennen törmäystä

Törmäyshetki

Törmäyksen jälkeen

\overline{v}_{1}
\overline{v}_{2}
\overline{F}_{21}
\overline{F}_{12}
\overline{u}_{1}
\overline{u}_{2}
m\overline{u}_1 - m\overline{v}_1 =-m\overline{u}_2 + m\overline{v}_2
m\overline{u}_2 + m\overline{u}_1 =m\overline{v}_2 + m\overline{v}_1
|| \text{ impulssiperiaate}

liikemäärä lopuksi

liikemäärä aluksi

Liikemäärän säilymislaki

Kahden kappaleen eristetylle systeemille pätee

m\overline{v}_1+m_2\overline{v}_2=m_1\overline{u}_1+m_2\overline{u}_2

liikemäärät aluksi

liikemäärät lopuksi

Yleisesti eristetyllä systeemillä pätee

\sum \overline{p}_a = \sum \overline{p}_l

Täysin kimmoinen törmäys

Kappaleiden liikemäärien summa on yhtä suuri aluksi kuin lopuksi.

\sum \overline{p}_a = \sum \overline{p}_l

Liikemäärä säilyy

Liike-energia säilyy

Kappaleiden liike-energioiden summa aluksi on yhtä suuri kuin lopuksi.

E_{ka}=E_{kl}

Täysin kimmoton törmäys

Liikemäärä säilyy

Liike-energia ei säily

\sum \overline{p}_a = \sum \overline{p}_l
E_{ka} > E_{kl}

Osa energiasta kuluu muodonmuutoksiin ja muuttuu lämmöksi.

Kappaleiden liikemäärien summa on yhtä suuri aluksi kuin lopuksi.

Törmäytin!

Esimerkki

Jääkiekko, jonka massa on 200 g, lähestyy maalivahtia nopeudella 60 km/h.

 

Kuinka suurella nopeudella ja mihin suuntaan maalivahti liikkuu kopin saatuaan?

Levossa oleva maalivahti, jonka massa on 90 kg, ottaa kiekosta kopin.

Ratkaisu

Piirretään kuva tilanteesta

Kirjataan lähtöarvot

Tarkastellaan tilannetta 

kimmottomana törmäyksenä

Liikemäärä säilyy

\sum \overline{p}_a = \sum \overline{p}_l
m_0 = 0,200 \text{ kg}, \ v=60 \text{ km/h}, \ m_1=90 \text{ kg}
\overline{v}
\overline{u}
m_0 v = (m_0+m_1)u

Ratkaistaan kiekon ja pelaajan muodostaman systeemin loppunopeus.

u=\dfrac{m_0}{m_0+m_1}v
u=\dfrac{0,200 \text{ kg}}{0,200 \text{ kg} + 90 \text{ kg}}\cdot \dfrac{60}{3,6} \text{ m/s}
u \approx 0,037 \text{ m/s}

Esimerkki

Kuplavolkkari ja pakettiauto ajavat nokkakolarin ja takertuvat toisiinsa kiinni.

Kulpavolkkarin massa on 600 kg ja nopeus ennen törmäystä 80 km/h. Pakettiauton massa on 1200 kg ja nopeus ennen törmäystä 120 km/h.

Millä nopeudella autot jatkavat törmäyksen jälkeen?

Laske liike-energian muutos törmäyksessä.

a)

b)

Ratkaisu a-kohtaan

Kirjataan lähtöarvot

Piirretään kuvat ennen ja jälkeen törmäystä.

\overline{v}_2
\overline{v}_1
\overline{u}
m_1=1200 \text{ kg}, \ v_1=120 \text{km/h}, \ m_2=600 \text{ kg}, \ v_2=80\text{ km/h}
m_2
m_1
m_1+m_2

Tarkastellaan tilannetta 

kimmottomana törmäyksenä

Liikemäärä säilyy

\sum \overline{p}_a = \sum \overline{p}_l
m_1\overline{v}_1+m_2\overline{v}_2=(m_1+m_2)\overline{u}
m_1v_1-m_2v_2=(m_1+m_2)u
u=\dfrac{m_1v_1-m_2v_2}{m_1+m_2}
u=\dfrac{1200 \text{ kg} \cdot 120 \text{ km/h}- 600 \text{ kg} \cdot 80 \text{ km/h}}{1200 \text{ kg} + 600 \text{ kg}}
u \approx 53,3 \text{ km/h}

Vastaus:

53 km/h pakettiauton suuntaan.

Ratkaisu b-kohtaan

\overline{v}_2
\overline{v}_1
\overline{u}
m_2
m_1
m_1+m_2
E_{ka}=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v^2
=\dfrac{1}{2}\cdot 1200 \text{ kg} \cdot \Big( \frac{120}{3,6} \text{ m/s}\Big)^2+\dfrac{1}{2}\cdot 600 \text{ kg} \cdot \Big( \frac{80}{3,6} \text{ m/s}\Big)^2
E_{kl}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)u^2
=\dfrac{1}{2}\Big( 1200 \text{kg} + 600 \text{ kg}\Big) \Big(\frac{53,33}{3,6} \text{ m/s} \Big)^2
\approx 814,8 \text{ kJ}
\approx 197,5 \text{ kJ}

Vastaus:

\Delta E_k = E_{kl}-E{ka}\approx -620 \text{ kJ}

noin -620 kJ.

koejärjestely

Ilmakiväärin luodin lähtönopeus

Ammutaan ilmakiväärillä paikoillaan olevaa ilmatyynyradan vaunua. 

Ammus, sinitarra ja vaunu lähtevät 
yhdessä liikkeelle.

Tarkastellaan tapahtumaa 

\sum \overline{p}_a = \sum \overline{p}_l
\overline{v}_{0}
\overline{v}_{1}
\overline{p}_a
=m_{lu}
\overline{v}_0
\overline{v}_1
=(m_{lu}+m_{va})
\overline{p}_l

Tilanne aluksi

 

Luoti liikkuu

    Vaunu levossa

Tilanne lopuksi

Luoti + Vaunu liikkuu

kimmottomana törmäyksenä.

Liikemäärä säilyy!

=
\overline{p}_a \quad \overline{p}_l
m_{lu}
\overline{v}_0
=(m_{lu}+m_{va})
\overline{v}_{1}
v_0
=\dfrac{m_{lu}+m_{va}}{m_{lu}}
v_{1}

|| Oletetaan, että 

|| Ratkaistaan luodin lähtönopeus.

|| Sijoitetaan mitatut suureet.

liikemäärä säilyy.

=\dfrac{0,186 \text{ kg} +0,0005\text{ kg}}{0,0005\text{ kg}}
\cdot 0,459 \text{ m/s}
v_0
v_0
\approx 170 \text{ m/s}

Vastaus: 

Ilmakiväärin luodin lähtönopeus on noin 170 m/s.

koejärjestely

Mitataan luodin massa 

Mitataan sinitarran, paperilapun ja ilmatyynyradan vaunun massa

m_{lu}=0,00050 \text{ kg}
m_{va}=0,186 \text{ kg}
\Delta x=0,0444 \text{ m}
\Delta t=0,096803 \text{ s}

Loppunopeuden määritys

Paperiliuskan leveys

Kulunut aika

v_1=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{0,0444 \text{ m}}{0,096803 \text{ s}}
\approx 0,459 \text{ m/s}

Mittausten tekeminen

\overline{v}_{1}
=m_{lu}
\overline{v}_0
\overline{v}_1
=(m_{lu}+m_{va})
\overline{p}_l

Tilanne aluksi

 

Luoti liikkuu

    Vaunu levossa

Tilanne lopuksi

\overline{p}_l
=
\overline{p}_a \quad \overline{p}_l
m_{lu}
\overline{v}_0
=(m_{lu}+m_{va})
\overline{v}_{1}
\overline{v}_0
=\dfrac{m_{lu}+m_{va}}{m_{lu}}
\overline{v}_{1}

|| Oletetaan, että 

|| Ratkaistaan luodin lähtönopeus.

|| Sijoitetaan mitatut suureet.

Luoti + Vaunu liikkuu

liikemäärä säilyy.

Alkunopeuden ratkaiseminen

Fysiikan ylioppilaskoe, kevät 2011, tehtävä 5 

Urheiluharjoituksissa kilpaillaan siitä, kuka liu'uttaa voimistelupatjaa pisimmälle hyppäämällä vauhdilla sen päälle.

 

Poika, jonka massa on 29 kg, hyppää patjalle vaakasuoralla nopeudella 5,0 m/s, jolloin patja ja poika liukuvat yhdessä 1,3 m.

 

Laske patjan ja lattian välinen liukukitkakerroin, kun

patjan massa on 21 kg. 

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

Kimmoton törmäys

Liikemäärä säilyy

\overline{p}_{aluksi}=\overline{p}_{lopuksi}
m_0 v =(m_0+m_1)u
u=\dfrac{m_0}{m_0+m_1}v_0
m_0
m_0+m_1
u=\dfrac{29 \text{ kg}}{29 \text{ kg}+21 \text{ kg}} \cdot 5,0 \text{ m/s}
u=2,9 \text{ m/s}
m_0=29 \text{ kg}, \ m_1=21 \text{ kg}, v=5,0 \text{ m/s}

1. vaihe

poika juoksee

poika ja patja liukuvat

2. vaihe

poika ja patja liukuvat

poika ja patja levossa

m_0+m_1
m_0+m_1

Patjan ja pojan muodostama systeemi on levossa y-suunnassa, joten Newtonin 2. lain mukaan

\sum \overline{F}_y = \overline{0}
\overline{G}+\overline{N}=\overline{0}
N=(m_0+m_1)g
-G+N=0

Sovelletaan työperiaatetta.

m_0+m_1
m_0+m_1
W=\Delta E_k

= 0 

F_\mu \Delta x = \dfrac{1}{2}(m_0+m_1)u^2
\mu N\Delta x=\dfrac{1}{2}(m_0+m_1)u^2
\mu (m_0+m_1)g\Delta x=\dfrac{1}{2}(m_0+m_1)u^2
\dfrac{1}{2}u^2=\mu g\Delta x
\mu= \dfrac{u^2}{2g\Delta x}
\mu= \dfrac{(2,9 \text{ m/s})^2}{2\cdot 9,81 \text{ m/s}^2\cdot 1,3 \text{ m}}
\mu \approx 0,33
-F_\mu\Delta x = E_{kl}-E_{ka}

Vastaus: