Fysiikan ylioppilaskoe S2014

Ratkaisu

Kirjataan lähtöarvot

\omega

ω

r\color{White}{=0,14 \text{ m}}

r = 0, 14 m

r

d

d=0,015 \text{ m}

d = 0, 015 m

s

s=0,25 \text{ m}

s = 0, 25 m

\rho=1360 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}

ρ = 1360 \frac{​ k g ​ ​}{​ m ​ 3 ​ ​ ​}

p_r=3500 \text{ Pa}

p ​ r ​ ​ = 3500 P a

Tarkastellaan sinisellä merkittyä hunajakerroksen osaa.

m=\rho V

m = ρ V

m=\rho Ad

m = ρ A d

\omega

ω

\overline{v}

​ v ​ ​ ​

r

Oletetaan, että linko on tasaisessa pyörimisliikkeessä, jolloin tarkasteltava hunajakennon osanen on tasaisessa ympyräliikkeessä.

\overline{N}

​ N ​ ​ ​

\overline{a}_n

​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

Newtonin 2. lain mukaan

\sum \overline{F}=m\overline{a}

\sum ​ F ​ ​ ​ = m ​ a ​ ​ ​

\color{Salmon}{\overline{N}}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}

​ N ​ ​ ​ = m ​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

\color{Salmon}{N}=m\dfrac{\color{CornflowerBlue}v^2}{r}

N = m \frac{​ v ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

Hunajakennon osaseen kohdistuva paine

p=\dfrac{\color{Salmon}N}{A}

p = \frac{​ N ​ ​}{​ A ​}

, josta

\color{Salmon}N=pA

N = p A

\omega

ω

\overline{v}

​ v ​ ​ ​

r

\overline{N}

​ N ​ ​ ​

\overline{a}_n

​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

\color{Salmon}{N}=m\dfrac{\color{CornflowerBlue}v^2}{r}

N = m \frac{​ v ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

N=pA

N = p A

m=\rho Ad

m = ρ A d

pA=\rho A d\dfrac{\color{CornflowerBlue}v^2}{r}

p A = ρ A d \frac{​ v ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

pr=\rho d\color{CornflowerBlue}v^2

p r = ρ d v ​ 2 ​ ​

\color{CornflowerBlue}v^2=\dfrac{pr}{\rho d}

v ​ 2 ​ ​ = \frac{​ p r ​ ​}{​ ρ d ​}

\color{CornflowerBlue}v=\sqrt{\dfrac{pr}{\rho d}}

v = \sqrt ​ \frac{​ p r ​ ​}{​ ρ d ​} ​ ​ ​

\cdot \dfrac{r}{A}

\cdot \frac{​ r ​ ​}{​ A ​}

: \rho d

: ρ d

\sqrt{}

\sqrt

Selvitetään hunajakennon osasen ratanopeus.

\omega

ω

\overline{v}

​ v ​ ​ ​

r

\overline{N}

​ N ​ ​ ​

\overline{a}_n

​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

\color{CornflowerBlue}v=\sqrt{\dfrac{pr}{\rho d}}

v = \sqrt ​ \frac{​ p r ​ ​}{​ ρ d ​} ​ ​ ​

Hunajakenno kestää 3500 Pa suuruisen paineen, joten rajatilanteessa ratanopeudeksi saadaan

\color{CornflowerBlue}v=\sqrt{\dfrac{3500 \text{ Pa}\cdot 0,14 \text{ m}}{1360 \text{ kg/m}^3 \cdot 0,015 \text{ m}}}

v = \sqrt ​ \frac{​ 3 5 0 0 P a \cdot 0 , 1 4 m ​ ​}{​ 1 3 6 0 k g / m ​ 3 ​ ​ \cdot 0 , 0 1 5 m ​} ​ ​ ​

\color{CornflowerBlue}v=\sqrt{\dfrac{3500 \text{ Pa}\cdot 0,14 \text{ m}}{1360 \text{ kg/m}^3 \cdot 0,015 \text{ m}}}

v = \sqrt ​ \frac{​ 3 5 0 0 P a \cdot 0 , 1 4 m ​ ​}{​ 1 3 6 0 k g / m ​ 3 ​ ​ \cdot 0 , 0 1 5 m ​} ​ ​ ​

\color{CornflowerBlue}v \approx 4,901 \text{ m/s}

v \approx 4, 901 m / s

\omega

ω

\overline{v}

​ v ​ ​ ​

r

\overline{N}

​ N ​ ​ ​

\overline{a}_n

​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

\color{CornflowerBlue}v=\omega r

v = ω r

Muutetaan ratanopeus kierrosnopeudeksi

\omega = 2 \pi n

ω = 2 π n

\color{CornflowerBlue}v=2 \pi n r

v = 2 π n r

:2 \pi r

: 2 π r

n=\dfrac{\color{CornflowerBlue}v}{2\pi r}

n = \frac{​ v ​ ​}{​ 2 π r ​}

n=\dfrac{4,901 \text{ m/s}}{2\pi \cdot 0,14 \text{ m}}

n = \frac{​ 4 , 9 0 1 m / s ​ ​}{​ 2 π \cdot 0 , 1 4 m ​}

n \approx 5,57 \frac{1}{\text{s}}

n \approx 5, 57 \frac{​ 1 ​ ​}{​ s ​}

n \approx 330 \frac{1}{\text{min}}

n \approx 330 \frac{​ 1 ​ ​}{​ m i n ​}

Vastaus:

Linkoa voidaan pyörittää enintään 330 kierrosta minuutissa siten, että kenno ei rikkoudu.

Fysiikan ylioppilaskoe S2011

Ratkaisu a-kohtaan

Piirretään teräskuulan voimakuvio.

Kun kuula on irronnut tapista, niin kuulaan vaikuttaa ainoastaan pinnan tukivoima ja paino.

(Kitka jätetään huomioimatta)

Ratkaisu b-kohtaan

Kirjataan lähtöarvot

\color{CornflowerBlue}\alpha=25^{\circ}

α = 2 5 ​ \circ ​ ​

r=0,32 \text{ m}

r = 0, 32 m

Oletetaan, että kuula on tasaisessa ympyräliikkeessä

Newtonin 2. lain mukaan

\sum \overline{F}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}

\sum ​ F ​ ​ ​ = m ​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

Jaetaan voimatarkastelu x- ja y-suuntiin.

\sum \overline{F}_y=\overline{0}

\sum ​ F ​ ​ ​ ​ y ​ ​ = ​ 0 ​ ​ ​

\color{Salmon}{\overline{N}_y}+\color{Salmon}{\overline{G}}=\overline{0}

​ N ​ ​ ​ ​ y ​ ​ + ​ G ​ ​ ​ = ​ 0 ​ ​ ​

\color{Salmon}{N_y} = \color{Salmon}G

N ​ y ​ ​ = G

\color{Salmon}N \cos \color{CornflowerBlue}\alpha = \color{Salmon}G

N cos α = G

\color{Salmon}N \cos \color{CornflowerBlue}\alpha =\color{Salmon} G

N cos α = G

\color{Salmon}N = \dfrac{mg}{\cos \color{CornflowerBlue}\alpha}

N = \frac{​ m g ​ ​}{​ cos α ​}

\sum \overline{F}_x=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}

\sum ​ F ​ ​ ​ ​ x ​ ​ = m ​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

\color{Salmon}{\overline{N}_x}=m\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}

​ N ​ ​ ​ ​ x ​ ​ = m ​ a ​ ​ ​ ​ n ​ ​

\color{Salmon}N \sin \color{CornflowerBlue}\alpha=m\dfrac{v^2}{r}

N sin α = m \frac{​ v ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

a_n = \dfrac{v^2}{r}

a ​ n ​ ​ = \frac{​ v ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

N = \dfrac{mg}{\cos \alpha}

N = \frac{​ m g ​ ​}{​ cos α ​}

\dfrac{mg}{\cos \color{CornflowerBlue}\alpha} \sin \color{CornflowerBlue}\alpha=m\dfrac{v^2}{r}

\frac{​ m g ​ ​}{​ cos α ​} sin α = m \frac{​ v ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

mg \tan\color{CornflowerBlue}\alpha=m\dfrac{v^2}{r}

m g tan α = m \frac{​ v ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

mg \tan\color{CornflowerBlue}\alpha=m\dfrac{v^2}{r}

m g tan α = m \frac{​ v ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

: m

g \tan\color{CornflowerBlue}\alpha=\dfrac{v^2}{r}

g tan α = \frac{​ v ​ 2 ​ ​ ​ ​}{​ r ​}

\cdot r

\cdot r

g r\tan\color{CornflowerBlue}\alpha=v^2

g r tan α = v ​ 2 ​ ​

v=\sqrt{g r\tan\color{CornflowerBlue}\alpha}

v = \sqrt ​ g r tan α ​ ​ ​

v=\sqrt{g r\tan\color{CornflowerBlue}\alpha}

v = \sqrt ​ g r tan α ​ ​ ​

Sijoitetaan lukuarvot

v=\sqrt{9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 0,32 \text{ m}\cdot \tan 25^{\circ}}

v = \sqrt ​ 9, 81 m / s ​ 2 ​ ​ \cdot 0, 32 m \cdot tan 2 5 ​ \circ ​ ​ ​ ​ ​

v \approx 1,2099 \text{ m/s}

v \approx 1, 2099 m / s

Ratkaistaan kulmanopeus

v=\omega r, \text{ josta } \omega=\dfrac{v}{r}

v = ω r, j o s t a ω = \frac{​ v ​ ​}{​ r ​}

\omega = \dfrac{1,2099 \text{ m/s}}{0,32 \text{ m}}

ω = \frac{​ 1 , 2 0 9 9 m / s ​ ​}{​ 0 , 3 2 m ​}

\approx 3,8 \text{ rad/s}

\approx 3, 8 r a d / s

Vastaus:

Irtoamishetkellä kulmanopeus on noin 3,8 rad/s.